江西省南昌市高三高考數(shù)學一模試卷（文科）

2021年江西省南昌市高考數(shù)學一模試卷（文科）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{y|y＝sinx}，則A∩B＝（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[0，1]2．復數(shù)z滿足zi＝2+3i，則|z|＝（）A． B． C． D．3．已知||＝，||＝5，?＝10，則向量，夾角的余弦值為（）A． B． C． D．4．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，B＝45°，C＝75°，則b＝（）A．2 B． C． D．5．已知A是△ABC內(nèi)角，命題p：；命題q：，則q是p的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知圓O：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，則下列選項所對應的圖形中，與圓O相切的是（）A．x2+y2＝1 B．（x﹣4）2+（y﹣5）2＝16 C．x+y＝1 D．x﹣y＝27．如圖，將框圖輸出的y看成輸入的x的函數(shù)，得到函數(shù)y＝f（x），則y＝f（x）的圖象（）A．關于直線x＝1對稱 B．關于直線x＝﹣1對稱 C．關于y軸對稱 D．關于點（0，0）對稱8．如圖E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，得到空間四邊形ABCD，在折起過程中，下列說法正確的是（）A．直線EF，HG有可能平行 B．直線EF，HG一定異面 C．直線EF，HG一定相交，且交點一定在直線AC上 D．直線EF，HG一定相交，但交點不一定在直線AC上9．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于點對稱，則下列選項中能使得g（x）＝cos（x+φ）取得最大值的是（）A． B． C． D．10．如圖所示某加油站地下圓柱體儲油罐示意圖，已知儲油罐長度為d，截面半徑為r（d，r為常量），油面高度為h，油面寬度為w，油量為v（h，w，v為變量），則下列說法：①w是v的是函數(shù)；②v是w的函數(shù)；③h是w的函數(shù)；④w是h的函數(shù)．其中正確的是（）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④11．許多建筑融入了數(shù)學元素，更具神韻，數(shù)學賦予了建筑活力，數(shù)學的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致．已知圖1是單葉雙曲面（由雙曲線繞虛軸旋轉形成立體圖形）型建筑，圖2是其中截面最細附近處的部分圖像，上、下底面與地面平行．現(xiàn)測得下底直徑米，上底直徑米，AB與CD間的距離為80米，與上下底面等距離的G處的直徑等于CD，則最細部分處的直徑為（）A．10米 B．20米 C．米 D．米12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為6，E是線段D1C1上的點，且D1E＝2EC1，P是平面A1DC1內(nèi)一動點，則D1P+PE的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分）.13．將120個個體依次編號：1，2，…，120，用系統(tǒng)（等距）抽樣的方法從中抽取出一個容量為10的樣本，若抽到的第一個個體的編號為9，則最后一個個體的編號為．14．已知橢圓3x2+4y2＝12的左頂點為A，上頂點為B，則|AB|＝．15．已知實數(shù)x，y滿足條件，則z＝2x+y的最大值為．16．已知f（x）＝|ln（x+a）|+ex的最小值為1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則a＝．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知{an}為公差不為0的等差數(shù)列，且a1＝3，a1，a4，a13成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．18．2020年，全球展開了某疫苗研發(fā)競賽，我國處于領先地位，為了研究疫苗的有效率，在某地進行臨床試驗，對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗．一周后有20人感染，為了驗證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組，各組感染人數(shù)如表：調(diào)查人數(shù)x300400500600700感染人數(shù)y33667（Ⅰ）求y與x的回歸方程；（Ⅱ）同期，在人數(shù)均為10000的條件下，以擬合結果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為N；注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為n，估計該疫苗的有效率．（疫苗的有效率為1﹣，結果保留3位有效數(shù)字）（參考公式：＝+x，﹣1≈0.009132）19．如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△AA1C1是等邊三角形．E，F(xiàn)分別為棱AA1，AC的中點，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1．（Ⅰ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為3，求AA1；（Ⅱ）在線段BF上是否存在點G，使得AG∥平面B1EF，證明你的結論．20．已知拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，過點F且斜率為k（k≠0）的動直線l與拋物線交于A，B兩點，直線l'過點A（x1，y1），且點F關于直線l'的對稱點為R（x1，﹣1）．（Ⅰ）求拋物線E的方程，并證明直線l'是拋物線E的切線；（Ⅱ）過點A且垂直于l'的直線交y軸于點G（0，4），求△ABG的面積．21．已知函數(shù)（a＞0，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當b＝2時，討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求的最大值．選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)），直線l的極坐標方程為：．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（Ⅱ）設A，B是曲線C與直線l的公共點，P（2，0），求||PA|﹣|PB||的值．[選修45：不等式選講]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|ax+2|（a＞0）．（Ⅰ）當a＝2時，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若不等式恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{y|y＝sinx}，則A∩B＝（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[0，1]解：∵A＝{x|0≤x≤2},B＝{y|y＝sinx}＝{y|﹣1≤y≤1},∴A∩B＝[0,1]．故選：D．2．復數(shù)z滿足zi＝2+3i，則|z|＝（）A． B． C． D．【解答】解:∵復數(shù)z滿足zi＝2+3i，∴z＝＝＝3﹣2i,∴|z|＝＝．故選：C．3．已知||＝，||＝5，?＝10，則向量，夾角的余弦值為（）A． B． C． D．解：由已知得||＝，||＝5，?＝10，故＝＝．故選：B．4．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，B＝45°，C＝75°，則b＝（）A．2 B． C． D．解：由題意可知，A＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可知＝，所以b＝sinB?＝×＝2．故選：C．5．已知A是△ABC內(nèi)角，命題p：；命題q：，則q是p的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：A為△ABC的內(nèi)角，則A∈（0，π），若命題p：成立，說明；而命題q：成立，說明；因此由q可以推得p成立，由p不可以推得q成立，可見p是q的充分非必要條件．故選：A．6．已知圓O：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，則下列選項所對應的圖形中，與圓O相切的是（）A．x2+y2＝1 B．（x﹣4）2+（y﹣5）2＝16 C．x+y＝1 D．x﹣y＝2解：根據(jù)題意，圓O：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，其圓心為（1，1），半徑R＝1，依次分析選項：對于A，x2+y2＝1，其圓心為（0，0），半徑r＝1，圓心距d＝＝＜R+r，兩圓不相切，不符合題意，對于B，（x﹣4）2+（y﹣5）2＝16，其圓心為（4，5），半徑r＝4，圓心距d＝＝5＝R+r，兩圓外切，符合題意，對于C，x+y＝1，圓O的圓心（0，0）到直線的距離d＝＝＜R，直線與圓相交，不符合題意，對于D，x﹣y＝2，圓O的圓心（0，0）到直線的距離d＝＝＞R，直線與圓相離，不符合題意，故選：B．7．如圖，將框圖輸出的y看成輸入的x的函數(shù)，得到函數(shù)y＝f（x），則y＝f（x）的圖象（）A．關于直線x＝1對稱 B．關于直線x＝﹣1對稱 C．關于y軸對稱 D．關于點（0，0）對稱解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)y＝的值，可得當x≥0時，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）是關于直線x＝1對稱的二次函數(shù)；當x＜0時，y＝﹣x2﹣2x＝﹣x（x+2）是以直線x＝﹣1為對稱軸的二次函數(shù)，由此可知，該函數(shù)關于原點對稱，即f（x）+f（﹣x）＝0，則y＝f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．故選：D．8．如圖E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，得到空間四邊形ABCD，在折起過程中，下列說法正確的是（）A．直線EF，HG有可能平行 B．直線EF，HG一定異面 C．直線EF，HG一定相交，且交點一定在直線AC上 D．直線EF，HG一定相交，但交點不一定在直線AC上解：∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴，則EH∥BD，且EH＝，又CF＝2FB，CG＝2GD，∴，則FG∥BD，且FG＝，∴EH∥FG，且EH≠FG，∴四邊形EFGH為平面四邊形，故直線EF，HG一定共面，故B錯誤；若直線EF與HG平行，則四邊形EFGH為平行四邊形，可得EH＝GF，與EH≠FG矛盾，故A錯誤；由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝，F(xiàn)G＝，可得直線EF，HG一定相交，設交點為O，則O∈EF，又EF?平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直線EF，HG一定相交，且交點一定在直線AC上，故C正確，D錯誤．故選：C．9．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于點對稱，則下列選項中能使得g（x）＝cos（x+φ）取得最大值的是（）A． B． C． D．解：因為函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于點對稱，所以f()＝0,即sin(2×+φ)＝sin(+φ)＝0,因為0＜φ＜π,所以+φ∈（），則φ＝π，所以φ＝，所以g(x)＝cos(x+),令x+,解得x＝2k,此時函數(shù)g(x)取得最大值，當k＝0時，x＝﹣,函數(shù)g(x)取得最大值，故選：A．10．如圖所示某加油站地下圓柱體儲油罐示意圖，已知儲油罐長度為d，截面半徑為r（d，r為常量），油面高度為h，油面寬度為w，油量為v（h，w，v為變量），則下列說法：①w是v的是函數(shù)；②v是w的函數(shù)；③h是w的函數(shù)；④w是h的函數(shù)．其中正確的是（）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④解：根據(jù)圓柱的體積公式的實際應用，油面高度為h，會影響油面的寬度w，從而影響油量v，對于①，w是v的函數(shù)；由于v確定，故h確定，w就確定，故①正確；對于②，v是w的函數(shù)，由于w確定，h有兩個（上下對稱），所以v有兩個，故與函數(shù)的定義相矛盾，不是函數(shù)，故②錯誤；對于③，h是w的函數(shù)，同②，w確定，所以有兩個h（上下對稱）故與函數(shù)的定義相矛盾，不是函數(shù)，故③錯誤；對于④，w是h的函數(shù)，h確定，則w確定，故④正確．故①④正確．故選：A．11．許多建筑融入了數(shù)學元素，更具神韻，數(shù)學賦予了建筑活力，數(shù)學的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致．已知圖1是單葉雙曲面（由雙曲線繞虛軸旋轉形成立體圖形）型建筑，圖2是其中截面最細附近處的部分圖像，上、下底面與地面平行．現(xiàn)測得下底直徑米，上底直徑米，AB與CD間的距離為80米，與上下底面等距離的G處的直徑等于CD，則最細部分處的直徑為（）A．10米 B．20米 C．米 D．米解：建立如圖的坐標系，由題意可知D(10,20),B(10,﹣60),設雙曲線方程為：,∴,解得a2＝100,b2＝400,|EF|＝2a＝20，故選：B．12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為6，E是線段D1C1上的點，且D1E＝2EC1，P是平面A1DC1內(nèi)一動點，則D1P+PE的最小值為（）A． B． C． D．解：如圖，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為6，∴三棱錐D1﹣A1DC1為正三棱錐，側棱長為6，底面邊長為，設△A1DC1的外心為G，連接D1G并延長至D2，則D1與D2關于平面A1DC1對稱，連接D2E，交平面A1DC1于P，則D1P+PE的最小值為D2E，在等邊三角形A1DC1中，求得C1G＝＝，，∴cos，在△D1D2E中，∠C1D1D2＝＝32，可得．即D1P+PE的最小值為．故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．將120個個體依次編號：1，2，…，120，用系統(tǒng)（等距）抽樣的方法從中抽取出一個容量為10的樣本，若抽到的第一個個體的編號為9，則最后一個個體的編號為117．解：由題意知，抽樣間隔為120÷10＝12，抽到的第一個個體的編號為9，則最后一個個體的編號為9+（10﹣1）×12＝117．故答案為：117．14．已知橢圓3x2+4y2＝12的左頂點為A，上頂點為B，則|AB|＝．解：橢圓的標準方程為：,則a2＝4,b2＝3,所以a＝2,b＝,則A（﹣2,0），B（0，），所以|AB|＝，故噶按為：．15．已知實數(shù)x，y滿足條件，則z＝2x+y的最大值為10．解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（4，2），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由圖可知，當直線y＝﹣2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為10．故答案為：10．16．已知f（x）＝|ln（x+a）|+ex的最小值為1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則a＝．解：f（x）＝|ln（x+a）|+ex＝，當x≥1﹣a時，，因為x+a＞0，故f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在[1﹣a，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）min＝f（1﹣a）＝e（1﹣a）＝e﹣ea，當﹣a＜x＜1﹣a時，，令f′（x）＝0，解得，當時，f'（x）＞0，故f（x）在上單調(diào)遞增，當時，f'（x）＜0，故f（x）在上單調(diào)遞減，所以當﹣a＜x＜1﹣a時，，綜上所述，，解得．故答案為：．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知{an}為公差不為0的等差數(shù)列，且a1＝3，a1，a4，a13成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．解：（Ⅰ）設數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由題設可得：a42＝a1a13，又a1＝3，∴(3+3d)2＝3(3+12d)，解得：d＝2，∴an＝3+2(n﹣1)＝2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：＝＝(﹣)，∴Sn＝(1﹣+﹣+???+﹣)＝(1﹣)＝．18．2020年，全球展開了某疫苗研發(fā)競賽，我國處于領先地位，為了研究疫苗的有效率，在某地進行臨床試驗，對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗．一周后有20人感染，為了驗證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組，各組感染人數(shù)如表：調(diào)查人數(shù)x300400500600700感染人數(shù)y33667（Ⅰ）求y與x的回歸方程；（Ⅱ）同期，在人數(shù)均為10000的條件下，以擬合結果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為N；注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為n，估計該疫苗的有效率．（疫苗的有效率為1﹣，結果保留3位有效數(shù)字）（參考公式：＝+x，﹣1≈0.009132）解：（Ⅰ）（300+400+500+600+700）＝500，，＝＝0.011，，∴y關于x的回歸方程為；（Ⅱ）當x＝10000時，，故N＝109.5，又n＝20，∴疫苗的有效率為：1﹣≈0.817．19．如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△AA1C1是等邊三角形．E，F(xiàn)分別為棱AA1，AC的中點，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1．（Ⅰ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為3，求AA1；（Ⅱ）在線段BF上是否存在點G，使得AG∥平面B1EF，證明你的結論．解：（Ⅰ）設AA1＝a，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△AA1C1是等邊三角形．E，F(xiàn)分別為棱AA1，AC的中點，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1．∴＝＝，點A到平面A1B1C1的距離h＝＝，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為3，∴V＝＝＝3，解得a＝2，∴AA1＝2．（Ⅱ）由題意可知OB1⊥面AA1C1，所以以O點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，設AA1＝2，證明如下：O（0，0，0），A（0，0，），C（0，1，0），F(xiàn)（0，1，），B（，1，），B1（，0，0），G（m，1，），E（0，﹣，），則，，，設平面B1EF的一個法向量為，則，令y＝1得x＝，z＝，所以，由可得m＝，所以0＜m＜，綜上所述，線段BF上存在點G，使得AG∥平面B1EF．20．已知拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，過點F且斜率為k（k≠0）的動直線l與拋物線交于A，B兩點，直線l'過點A（x1，y1），且點F關于直線l'的對稱點為R（x1，﹣1）．（Ⅰ）求拋物線E的方程，并證明直線l'是拋物線E的切線；（Ⅱ）過點A且垂直于l'的直線交y軸于點G（0，4），求△ABG的面積．解：（Ⅰ）R（x1，﹣1），A（x1，y1），因為點R與F關于直線l′對稱，A點在l′上，所以|AF|＝|AR|，由拋物線的定義可知﹣＝﹣1，解得p＝2，所以拋物線的方程為x2＝4y，因為kFR＝＝﹣，因為FR⊥l′，所以kl′＝＝，因為y＝，y′＝，所以A點處的切線斜率為k＝＝kl′，所以l′是拋物線E的切線．（Ⅱ）設B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x0，y0），因為＝＝＝，所以kAC＝＝＝﹣，解得x3＝﹣﹣x1，設直線l為y＝kx+1，聯(lián)立x2＝4y，得x2﹣4kx﹣4＝0，所以x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，所以x2＝﹣，直線AC的方程為y﹣＝﹣（x﹣x1），令x＝0，得y＝+2，即G點坐標為（0，+2），因為A、G、C三點共線，B、G、D三點共線，且x3＝﹣﹣x1，同理得x4＝﹣﹣x2，所以＝＝＝5+[﹣2?+（﹣2）]＝5+[﹣2?+（﹣2）?]＝5+（+）≥5+2＝9，當且僅當x12＝4時，成立，所以的取值范圍為[9，+∞）．21．已知函數(shù)（a＞0，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當b＝2時，討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求的最大值．解：（Ⅰ）當b＝2時，f（x）＝（x﹣2）ex﹣（x﹣1）2，f′（x）＝（x﹣2）ex+ex﹣?2（x﹣1）＝（x﹣1）ex﹣a（x﹣1）＝（x﹣1）（ex﹣a），令f′（x）＝0，得x＝1或x＝lna，當lna＝1時，即a＝e時，f′（x）≥0，在R上恒成立，即f（x）在R上單調(diào)遞增，當lna＜1時，即0＜a＜e時，令f′（x）＞0得x＜lna或x＞1，令f′（x）＜0，得lna＜x＜1，所以f（x）在（﹣∞，lna），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（lna，1）上單調(diào)遞減．當lna＞1時，即a＞e時，令f′（x）＞0得x＞lna或x＜1，令f′（x）＜0，得1＜x＜lna，所以f（x）在（﹣∞，1），（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，lna）上單調(diào)遞減．綜上所述，當a＝e時，f（x）在R上單調(diào)遞增，當0＜a＜e時，f（x）在（﹣∞，lna），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（lna，1）上單調(diào)遞減．當a＞e時，f（x）在（﹣∞，1），（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，l