人教A版（2023）必修第一冊《第四章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)》單元測試(含解析)

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）若函數(shù)f（x）=x2lga-2x+1的圖象與x軸有兩個交點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.0＜a＜10B.1＜a＜10

C.0＜a＜1D.0＜a＜1或1＜a＜10

2.（5分）若，則用表示為

A.B.C.D.

3.（5分）已知，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為

A.B.C.D.

4.（5分）已知函數(shù)函數(shù)若關(guān)于的方程有個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是

A.B.

C.D.

5.（5分）若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是

A.或B.

C.或D.

6.（5分）已知集合，則函數(shù)，的值域是

A.B.C.D.

7.（5分）已知函數(shù)的周期為，當時，，如果，則函數(shù)的所有零點之和為

A.B.C.D.

8.（5分）已知是定義在上的函數(shù)，和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，，若函數(shù)在上有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）求值：_____.

10.（5分）函數(shù)的反函數(shù)______．

11.（5分）若函數(shù)的一個零點是，則函數(shù)的零點是__________.

12.（5分）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍為_________.

13.（5分）設(shè)函數(shù)零點為，，則______.

三、解答題（本大題共5小題，共60分）

14.（12分）已知，求的值

計算：．

15.（12分）化簡求值：

；

16.（12分）已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)．

證明函數(shù)在上為增函數(shù)．

若方程有兩個不相等的實根，有一根小于，且另一根在內(nèi)，求的取值范圍．

17.（12分）化簡求值：

Ⅰ；

Ⅱ已知，求的值．

18.（12分）已知函數(shù)且

判斷的奇偶性并予以證明

若一元二次不等式的解集為，求不等式的解集.

四、多選題（本大題共5小題，共25分）

19.（5分）已知函數(shù)和的零點分別為、，若，則下列可能符合，的取值的有

A.，B.，

C.，D.，

20.（5分）已知函數(shù)，，，則

A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

C.函數(shù)在區(qū)間上的值域為

D.

21.（5分）若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，且，則的值可能為

A.B.C.D.

22.（5分）任何一個正整數(shù)可以表示成，，此時，．

真數(shù)

常用對數(shù)

近似值

下列結(jié)論正確的是

A.是位數(shù)

B.是位數(shù)

C.是位數(shù)

D.一個位正整數(shù)的次方根仍是一個正整數(shù)，這個次方根為

23.（5分）下列說法正確的是

A.在中，

B.在中，若，則

C.在中，若，則；若，則

D.在中，

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：∵函數(shù)f（x）=lga-2x+1的圖象與x軸有兩個交點，

∴l(xiāng)ga≠0且△=4-4lga＞0，

解得0＜a＜1或1＜a＜10．

故選D．

2.【答案】D;

【解析】

此題主要考查對數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．

由，可得，，再利用對數(shù)的運算法則將用表示即可．

解：，

，，

，

故選

3.【答案】D;

【解析】解：實數(shù)，滿足，

所以，，

即，，

所以和是方程的根，

由于方程的根唯一．

所以，，整理得，

所以

故選：

首先對函數(shù)的關(guān)系式進行變換，進一步求出關(guān)系式的方程的具體的形式的根，

進一步求出結(jié)果．

此題主要考查函數(shù)與方程、對數(shù)運算，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題．

4.【答案】B;

【解析】解：作出函數(shù)和的圖象如圖：

由圖可知，當時，不滿足題意，則；

當直線經(jīng)過點時，，此時與函數(shù)圖象有個交點，滿足；

當為的切線時，設(shè)切點，

則，故有，解得，即有切點為，

此時與有個交點，滿足題意；

綜上：當，

故選：．

利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

這道題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷和應用，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一定的難度．

5.【答案】A;

【解析】解：原題等價于，

當時，；

當，即時，令，滿足，解得．

綜上，實數(shù)的取值范圍為或．

故選：．

根據(jù)題意，原題等價于，再討論即可得到結(jié)論．

該題考查函數(shù)的零點，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)根的分布問題，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】A;

【解析】

此題主要考查先由指數(shù)不等式解得的取值范圍，再求函數(shù)的值域.

解：由，

得，

得，

解得

函數(shù)，

設(shè)，，

所以，最小為，，最大為

故選

7.【答案】A;

【解析】

該題考查函數(shù)的零點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，正確作出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．

分別作出函數(shù)、的圖象，結(jié)合函數(shù)的對稱性，即可求得結(jié)論．

解：當時，，函數(shù)的周期為，

圖象關(guān)于軸對稱的偶函數(shù)向右平移一個單位得到函數(shù)，

則關(guān)于對稱，可作出函數(shù)的圖象：

函數(shù)的零點，即為函數(shù)圖象交點橫坐標，

當時，，此時函數(shù)圖象無交點，

又兩函數(shù)在上有個交點，

由對稱性知它們在上也有個交點，且它們關(guān)于直線對稱，

所以函數(shù)的所有零點之和為：，

故選：．

8.【答案】C;

【解析】解：是定義在上的函數(shù)，和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，

可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，并且關(guān)于對稱，

當時，，則上的函數(shù)的圖象，如圖：

函數(shù)在上有四個零點，

可知函數(shù)與的圖象有個交點，

結(jié)合函數(shù)的圖象可知：．

故選：．

利用已知條件畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)在上有四個零點，實數(shù)的取值范圍即可．

該題考查函數(shù)的圖象的應用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力．

9.【答案】;

【解析】

此題主要考查指數(shù)與指數(shù)冪的運算和對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)指數(shù)和指數(shù)冪以及對數(shù)的運算法則直接計算求解即可.

解：

，

故答案為

10.【答案】（x）=2x-1（x≥2）;

【解析】解：，，由，解得，

故．

故答案為：．

由，可得，由，解得，把與互換即可得出反函數(shù)．

該題考查了反函數(shù)的求法、指數(shù)與對數(shù)的互化，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】或;

【解析】由題意知的解為，所以，所以，令，則或

12.【答案】;

【解析】

此題主要考查函數(shù)與方程思想，考查學生的轉(zhuǎn)化化歸能力.

將兩函數(shù)圖象存在對稱點轉(zhuǎn)化為方程有根問題，繼而利用零點的存在性定理來列不等關(guān)系.

解：設(shè)的圖象上的點關(guān)于軸對稱的點在的圖象上，

則，即，

由題意，方程有負根，

而函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以，解得

故答案為

13.【答案】;

【解析】

此題主要考查零點存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.

由于函數(shù)為增函數(shù)，且，，所以函數(shù)的零點在內(nèi)，可得結(jié)果．

解：由于函數(shù)為增函數(shù)，

且，，

所以函數(shù)的零點在內(nèi)，

又，

所以

故答案為

14.【答案】解：（1）因為，

所以2x=16-2x，化簡得2x=8，

所以x=3．

（2）==18．;

【解析】

根據(jù)對數(shù)的定義和指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求出的值，

根據(jù)對數(shù)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求出．

該題考查了指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】解：（1）原式=×+-1=×+22-1=2+4-1=5．

（2）原式=3+0+lg100=3+2×=3+1=4．;

【解析】

利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解．

利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．

此題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】解：（1）設(shè)1≤＜，

則f（）-f（）=+--=（-）+=（-）（1-）=（-），

∵1≤＜，m＜1，

∴＞1，則-m＞0，-＜0，

∴f（）-f（）＜0

得f（）＜f（），

即f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．

（2）=+m+mx+2x-=+（m+2）x+m-，

若方程g（x）=0有兩個不相等的實根，有一根小于1，且另一根在（1，2）內(nèi)，

則得

得得-＜m＜-，

即實數(shù)m的取值范圍是-＜m＜-．;

【解析】

利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

求出的解析式，結(jié)合一元二次函數(shù)根的分布建立不等式關(guān)系進行求解即可．

這道題主要考查函數(shù)與方程的應用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義以及一元二次函數(shù)根的分布是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力，難度中等．

17.【答案】解：Ⅰ原式，

Ⅱ，

，

，

，

，

．;

【解析】該題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)和指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

Ⅰ根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出；

Ⅱ根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求出．

18.【答案】解：要使有意義，必須且，

解得，所以函數(shù)的定義域為，

是奇函數(shù).

證明如下：

的定義域為，關(guān)于原點對稱，

，

為奇函數(shù).

由不等式的解集為，

得，，

，得，

為減函數(shù)，

解得：，

所以解集為;

【解析】此題主要考查奇偶性的判定，一元二次不等式與相應函數(shù)和方程的關(guān)系、對數(shù)不等式的求解，屬于中檔題

先求出定義域，運用定義法判定并證明奇偶性；

先求出，的值，再解對數(shù)不等式即可.

19.【答案】BD;

【解析】解：函數(shù)，可得，函數(shù)的零點就是方程的根；

，可得，函數(shù)的零點就是方程的根；

與互為反函數(shù)，所以滿足，即，

所以選項，不滿足題意，選項、滿足題意，

故選：

利用函數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)互為反函數(shù)，推出，然后判斷選項的正誤即可．

此題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，反函數(shù)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．

20.【答案】BC;

【解析】解：對：，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故錯誤；

對：，則，令，，，

故在上單調(diào)遞減，故，即，故在上單調(diào)遞減，故正確；

對：，，故，令，則，

故在單調(diào)遞減，故，即等價于，故正確；

故：由可得由，故，故錯誤；

故選：

驗證即可判斷；求導分析導函數(shù)正負可判斷；令，求導分析單調(diào)性，可得可判斷；由，可判斷

此題主要考查命題真假性的判斷，涉及函數(shù)與方程的綜合運用，導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題．

21.【答案】BC;

【解析】解：由方程，可得

令，則有，即

令函數(shù)，則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

作出圖象如圖所示，要使關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，且，

結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實根，，

且，，，

所以，，解得，

故

故選：

化簡方程，令，得到構(gòu)造函數(shù)，則，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于的方程三個不相等的實數(shù)解，，，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實根，，結(jié)合韋達定理，推出所求表達式的關(guān)系式，然后求解即可．

此題主要考查導數(shù)與方程解的問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、以及運算求解能力和推理論證能力，是中檔偏難題．

22.【答案】ACD;

【解析】解：，，

由于是兩位數(shù)，則是位數(shù)，故A正確，不正確；

設(shè)，則，

，

是位數(shù)，故C正