總結(jié)求逆矩陣

PAGEPAGE1求逆矩陣的方法與矩陣的秩一、矩陣的初等行變換定義2.13矩陣的初等行變換是指對(duì)矩陣進(jìn)行下列三種變換：(1)將矩陣中某兩行對(duì)換位置；(2)將某一行遍乘一個(gè)非零常數(shù)k；(3)將矩陣的某一行遍乘一個(gè)常數(shù)k加至另一行.并稱(1)為對(duì)換變換，稱(2)為倍乘變換，稱(3)為倍加變換.矩陣A經(jīng)過初等行變換后變?yōu)锽，用ABij表示，并稱矩陣B與Aijiji（下面我們把）第行和第j行的對(duì)換變換，簡(jiǎn)記為“，”；把第行遍乘k倍的倍乘變換，簡(jiǎn)記為“k”；第j行的k倍加至第行上的倍加變換，簡(jiǎn)記為“+k”.iji①，②例如，矩陣A=①，②③k③k②+①k②+①k（關(guān)于初等矩陣內(nèi)容請(qǐng)大家自己閱讀教材）二、運(yùn)用初等行變換求逆矩陣由定理2.7的推論“任何非奇異矩陣均能經(jīng)過初等行變換化為單位陣”可知，對(duì)于任意一個(gè)n階可逆矩陣A，經(jīng)過一系列的初等行變換可以化為單位陣I，那么用一系列同樣的初等行變換作用到單位陣I上，就可以把I化成.因此，我們得到用初等行變換求逆矩陣的方法：在矩陣A的右邊寫上一個(gè)同階的單位矩陣I，構(gòu)成一個(gè)n2n矩陣(A,I)，用初等行變換將左半部分的A化成單位矩陣I，與此同時(shí)，右半部分的I就被化成了.即(A,I)(I,)例1設(shè)矩陣A=求逆矩陣.解因?yàn)棰?①(-1)=3\*GB3③+①(-2)[②+①(-1)=3\*GB3③+①(-2)①+=3\*GB3③(-1)②①+=3\*GB3③(-1)②+=3\*GB3③(-1)=1\*GB3①+=2\*GB3②②(1/2)=3\*GB3③+=2\*GB3②所以=所求逆矩陣是否正確，可以通過計(jì)算乘積矩陣A進(jìn)行驗(yàn)證.如果A=I成立，則正確，否則不正確.對(duì)給定的n階矩陣A，用上述方法也可以判斷A是否可逆.即在對(duì)矩陣[A,I]進(jìn)行初等行變換的過程中，如果[A,I]中的左邊的方陣出現(xiàn)零行，說明矩陣A是奇異的，即，可以判定A不可逆；如果[A,I]中的左邊的方陣被化成了單位陣I，說明A是非奇異的，可以判定A是可逆的，而且這個(gè)單位矩陣I右邊的方陣就是A的逆矩陣，它是由單位矩陣I經(jīng)過同樣的初等行變換得到的.例2設(shè)矩陣A=，問A是否可逆？解因?yàn)閇A,I]=[A,I]中的左邊的矩陣A經(jīng)過初等行變換后出現(xiàn)零行，所以矩陣A是奇異的，A不可逆.（下面利用矩陣求逆運(yùn)算求解矩陣方程.）例3解矩陣方程AX=B，其中A=，B=解[思路]如果矩陣A可逆，則在矩陣方程AX=B等號(hào)的兩邊同時(shí)左乘，可得AX=B，X=B因此，先用初等行變換法判別A是否可逆，若可逆，則求出，然后計(jì)算B，求出X.因?yàn)閇A,I]=所以A可逆，且=X=B==三、矩陣的秩前面給出了利用矩陣行列式判別方陣A是否可逆的方法，除了這種方法外，還可以利用矩陣A的特征之一——矩陣的秩來判別方陣A的可逆性.矩陣的秩是線性代數(shù)中非常有用的一個(gè)概念，它不僅與討論可逆矩陣的問題有密切關(guān)系，而且在討論線性方程組的解的情況中也有重要應(yīng)用.在給出矩陣的秩的概念之前，先要定義矩陣的子式.定義2.15在矩陣A中，位于任意選定的k行、k列交叉點(diǎn)上的個(gè)元素，按原來次序組成的k階子陣的行列式，稱為A的一個(gè)k階子式.如果子式的值不為零.就稱為非零子式.例4設(shè)矩陣A=取其第一、二行與第二、四列交叉點(diǎn)上的4個(gè)元素按原次序組成行列式稱為A的一個(gè)二階子式，而且是它的非零子式.定義2.16矩陣A的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作或秩(A).規(guī)定：零矩陣O的秩為零，即=0.例4中的矩陣已經(jīng)有一個(gè)二階非零子式，通過計(jì)算可知，矩陣A的所有三階子式均為零，（該矩陣沒有四階子式），所以=2.例5設(shè)A為n階非奇異矩陣，求.解由于A為非奇異矩陣，即A對(duì)應(yīng)的行列式，所以A有n階非零子式，故=n.例5的逆命題亦成立，即對(duì)一個(gè)n階方陣A，若=n，則A必為非奇異的.因此n階方陣A為非奇異的等價(jià)于=n.稱=n的n階方陣為滿秩矩陣.用定義求矩陣的秩，需要計(jì)算它的子式，計(jì)算量常常是較大的.利用教材中的定理2.10計(jì)算矩陣的秩是比較方便的.定理2.10設(shè)A為矩陣，則=k的充分必要條件為：通過初等行變換能將A化為具有k個(gè)非零行的階梯陣.例如，階梯陣A=，B=因?yàn)锳的非零行有二行，而B的非零行有三行，所以A的秩等于2，B的秩等于3，即=2，=3.那么一個(gè)矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯陣后，它的秩是否會(huì)發(fā)生變化呢？不會(huì)的.教材中的定理2.9已經(jīng)說明這一點(diǎn).定理2.9矩陣經(jīng)過初等行變換后，其秩不變.（證明見教材）定理2.10給了我們求矩陣的秩的一種簡(jiǎn)便方法，即利用初等行變換將一個(gè)矩陣A化成階梯陣，然后算出矩陣A的秩.例6設(shè)矩陣A=，B=求，，.解因