初中數(shù)學(xué)圓的輔助線八種作法

中考數(shù)學(xué)的輔助線在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本文只通過(guò)分析探索歸納幾種圓中常見(jiàn)的輔助線的作法。下面以幾道題目為例加以說(shuō)明。1.有弦，可作弦心距在解決與弦、弧有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出弦心距、半徑等輔助線，以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問(wèn)題。例1 如圖1,。0的弦AB、CD相交于點(diǎn)P,且AC=BD。求證：PO平分/APD。分析1：由等弦AC=BD可得出等弧=C(d,進(jìn)一步得出(b=(d，從而可證等弦八8二?口，由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對(duì)應(yīng)的弦，因此可作輔助線OE±AB,OFLCD,易證△OPE/AOPF,得出PO平分/APD。證法1：作OELAB于E,OFLCD于F一AC=BDAc>(d= (b=>(d= =>AB=CD=>OE=OF、，ZOEP=ZOFP=90° =>△OPE5OPF0OP=OP=>ZOPE=ZOpF=>PO平分/APD分析2：如圖1-1,欲證PO平分/APD,即證

ZOPA=ZOPD,可把乙OPA與乙OPD構(gòu)造在兩個(gè)三角形中，證三角形全等，于是不妨作輔助線即半徑OA,0D,因此易證△ACP/ADBP,得AP=DP,從而易證△OPA/AOPD。證法2：連結(jié)OA,ODo=>AACP^ADBPZCAP=ZBDP二=>AACP^ADBPZAPC=ZDPB>AC=BD=>AP=DPOA=t)D=>AOPA^AOPD=>ZOPA=ZOPD=〉PO平分心APDOP二6P2,有直徑，可作直徑上的2,有直徑，可作直徑上的周角對(duì)于關(guān)系到直徑的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這個(gè)性質(zhì)。例2如圖2,在AABC中，AB=AC,以AB為直徑作OO交BC于點(diǎn)D,過(guò)D作。0的切線DM交AC于M。求證DMIACo分析：由AB是直徑，很自然想到其所對(duì)的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD,得/ADB=Rt乙又由等腰三角形性質(zhì)可得乙1二42,再由弦切角的性質(zhì)可得/42,再由弦切角的性質(zhì)可得/ADM=/B,故易證/AMD二4ADB二90°,從而DM，AC。證明連結(jié)ADAC。證明連結(jié)AD。AB為。O的直徑=>ZADB=RtZAB=AC=>Z1=Z2DM切。DM切。O于D=>/ADM二4B=>Z1+ZB=Z2+ZADM=>ZAMD=ZADB=Rt4=>DM1AC說(shuō)明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角3.中有切線常連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑或過(guò)切點(diǎn)的弦3.中有切線常連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑或過(guò)切點(diǎn)的弦例3如圖3,AB是。O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD=OB,DC切。。于C點(diǎn)。求4A的度數(shù)。分析：由過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線，于是可作輔助線即半徑OC,得RtA,再由解直角三角形可得/COB的度數(shù)，從而可求乙A的度數(shù)。解：連結(jié)OC。DC切。。于C=>ZOCD=90°OC=OB=BD=>COSZCOD=OC/OD=1/2=>ZCOB=60°OC=OB=BD=>4A二1/24COB二30°說(shuō)明,由過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于切線想到連結(jié)半徑。例4如圖4,已知AABC中，乙1二42,

圓O過(guò)A、圓O過(guò)A、D兩點(diǎn)，且與BC切于D點(diǎn)。求證EF//BC。分析：欲證EF//BC,可找同位角或內(nèi)錯(cuò)角是否相等，顯然同位角相等不易證，于是可連結(jié)DE,得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角/BDE與4DEF,由圓的性質(zhì)可知這兩個(gè)角分別等于41和42,故易證EF//BC。證明連結(jié)DE。BC切。。于D二〉/BDE二41 、42二4DEF=>ZBDE=4DEF=〉EF//BC41二42一說(shuō)明，由有切線且在同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當(dāng)兩相切，可作公切線或連心線4.當(dāng)兩相切，可作公切線或連心線例5已知：如圖5,。01與。02外切于點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)作兩條直線分別交。01與。02于點(diǎn)A、B、C、D。求證PB?PC=PA?PD。分析：欲證PB?PC=PA?PD,即證PA:PB=PC：PD,由此可作輔助線AC、BD,并證AC//DB,要證平行，需證一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，如/C二4D,然后考慮到這兩個(gè)角分別與弦切角有關(guān)，進(jìn)而再作輔助線即兩圓公切線MN,從而問(wèn)題迎刃而解。證明連結(jié)AC、BD,過(guò)P點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線MN=>ZAPM=ZC,ZBPN=ZDzapm=4BpNzc=zd=>AC//DB=>PA:PB=PC：PD=>PB*PC=PA*PD說(shuō)明，由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對(duì)的圓周角想到作公切線和作弦。例6已知：如圖6，。01與。02內(nèi)切于點(diǎn)「經(jīng)過(guò)切點(diǎn)T的直線與。O1與。02分別相交于點(diǎn)A和B。TOC\o"1-5"\h\z求證TA：TB=OA：OB。1 2圖6分析：欲證TA:TB=O1A：O2B,可考慮證這四條線段所在的三角形相似，即證aTo1A二ATOzB,于是只需連結(jié)O2O『并延長(zhǎng)，必過(guò)切點(diǎn),則產(chǎn)生ATO1A和ATOzB,由41=Z2=ZT,則01A//0月易證線段比相等。證明連結(jié)并延長(zhǎng)Ooi 1 200］和00；內(nèi)1切于點(diǎn)T0M必過(guò)切點(diǎn)T01A=0：=>；）2：!-Z2=>OA//0B02T=02B=>Z2=ZT i2=>ATO1AsATO2B=>TA：TB=O1A：02B說(shuō)明，由連心線必過(guò)切點(diǎn)可構(gòu)造三角形證全等想到作連心線。

5．當(dāng)兩圓相交，可作公共弦或連心線。5．當(dāng)兩圓相交，可作公共弦或連心線。例7如圖7,。01與。O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作。02的切線交3。1于點(diǎn)C,直線CB交。O2于點(diǎn)D,DA延長(zhǎng)線交。O1于點(diǎn)E,連結(jié)CE。求證CA=CE。分析：欲證CA=CE,考慮在三角形中證它們所對(duì)的角相等，即4E=/CAE,又由/DAF=/CAE,想到弦切角/DAF與所夾弧對(duì)的圓周角相等，故需作輔助線：公共弦AB,得/E=/DBA,易證CA=CE。證明連結(jié)AB。CA切。02于A=>ZDAF=ZDBA)四邊形ABCE內(nèi)接于。O1=〉/E=/DBAzdaf=Lcae=>ZE=ZCAE=>CA=CE '說(shuō)明,由兩圓相交及用到弦切角和圓內(nèi)接四邊形想到作公共弦。圖8

圖8例8如圖8,在梯形ABCD中，以兩腰AD、BC分別為直徑的兩個(gè)圓相交于M、N兩點(diǎn)，過(guò)M、N的直線與梯形上、下底交于E、F。求證：MNIABo分析：因?yàn)镸N是公共弦，若作輔助線O1O2,必有MNLO1O2,再由O1O2是梯形的中位線，得O1O2//AB,從而易證MNLAB。證明連結(jié)O1O2交EF于G=>MN1O1O2 1DO1=O1A,CO2=O2B=>O1O2是梯形ABCD的中位線=>O1O2//AB6．有半圓，可作整=>ZEFA=ZEGO1=RtZ=>MN1AB說(shuō)明，由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。6．有半圓，可作整例9如圖9,BC為。。的直徑，(A=F,AD交BF于E。求證分析：欲證AE=BE,可考慮在三角形中證這兩邊 ，H一一J所對(duì)角相等。即/ABF=/BAE,再考慮證這兩個(gè)圓周唐9所對(duì)的弧相等，故需補(bǔ)全。O,可證(H=,(H故有F,=易證AE=BE.證明補(bǔ)全。O,延長(zhǎng)AD交。。于H,直徑8^八口二>A(H](A二(F,J=>(=(F=>ZABF=ZBAH=>AE=BE說(shuō)明，由平分弦的直徑必平分弦所對(duì)的弧想到補(bǔ)全圓。7．相交兩圓中至少有一個(gè)圓經(jīng)過(guò)另一個(gè)圓的圓心，遇到這類問(wèn)題，常用的輔助線是連結(jié)過(guò)交點(diǎn)的半徑例10如圖10,。01與。02相交于A、B兩點(diǎn)，且02在。01上，點(diǎn)P在。01上，點(diǎn)Q在。02上，若4APB=40°,求乙AQB的度數(shù)。

P A圖10分析連結(jié)O2A、O2B，在。O1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得/AO2B=140°,在。O2中，/AQB=1/24AO2B=70°。證明過(guò)程略。說(shuō)明，由同圓內(nèi)同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半想到連結(jié)過(guò)