人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （垂直于弦的直徑）圓課件

垂直于弦的直徑

如圖，是1400多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋．趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）是37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m．你想知道怎么求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？

歸納把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸．探究如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸．（2）線段：AE=BE?。涸颍河蓤A的對(duì)稱性可知，將圓沿著CD折疊時(shí)，A會(huì)與B重合，所以相應(yīng)的線段和弧相等．歸納垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。箯蕉ɡ淼耐评砥椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對(duì)的兩條?。畷?shū)寫(xiě)規(guī)范運(yùn)用垂徑定理時(shí)，如何書(shū)寫(xiě)過(guò)程呢？∵CD是直徑，CD⊥AB∴AE=BE，類(lèi)似的，若要運(yùn)用垂徑定理的推論，你會(huì)寫(xiě)過(guò)程了嗎？∵CD是直徑，AE=BE∴CD⊥AB，幾何語(yǔ)言表達(dá)垂徑定理①CD是直徑②CD⊥AB③AE=BE垂徑定理的推理①CD是直徑③AE=BE②CD⊥AB知二推三①CD是直徑②CD⊥AB③AE=BE其實(shí)垂徑定理可以進(jìn)一步地推廣，以上五個(gè)條件中，只要其中任意兩個(gè)成立，就可以得到另外三個(gè)結(jié)論．這就是所謂的“知二推三”應(yīng)用條件下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是否是否概念辨析判斷下列說(shuō)法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直線有無(wú)數(shù)條如果弦是直徑會(huì)怎樣？概念辨析判斷下列說(shuō)法的正誤⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧

垂直平分線是直線直徑是線段，能相等嗎？如果弦是直徑會(huì)怎樣？例題如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.練習(xí)如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=AED.C練習(xí)如圖，連接OA，OB，設(shè)AO=BO，求證：AC=BD．提示：作OE⊥ABE練習(xí)已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD．提示：作OE⊥ABE練習(xí)已知：⊙O中弦AB∥CD．求證：提示：作直徑MN⊥ABMN例題如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．解：作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接AO，在Rt△AOE中答：⊙O的半徑為5cm.總結(jié)：

已知半徑，弦長(zhǎng)，圓心到弦的距離這三個(gè)中的任意兩個(gè)，可以求第三個(gè)．趙州橋拱半徑問(wèn)題如圖，用

表示主橋拱，設(shè)

所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是

的中點(diǎn)，CD就是拱高．在圖中，AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2R-7.218.7在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得：R≈27.9（m）∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.歸納對(duì)于一個(gè)圓中的弦長(zhǎng)a、圓心到弦的距離d、圓半徑r、弓形高h(yuǎn)，這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩個(gè)量，就可以求出另外兩個(gè)量，如圖有：（1）d+h=r特別的，若已知h和a，則需要設(shè)未知數(shù)，列方程求解什么是垂徑定理？如何利用垂徑定理計(jì)算？垂徑定理已知弦長(zhǎng)和弦弧距怎么求半徑？已知弦長(zhǎng)和弦弧距求半徑練習(xí)如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=________cm．16練習(xí)如圖，在圓O中，半徑r=13，弦AB=24，則圓心O到AB的距離為_(kāi)_____．5練習(xí)如圖，在圓O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)M，AM=18，BM=8，則CD的長(zhǎng)為??________．24練習(xí)如圖，圓O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OM的最小值是??________．3練習(xí)如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直徑CD的長(zhǎng)．答案：CD=26．練習(xí)一圓柱形排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑為1m，水面寬AB為1.6m．由于天氣干燥，水管水面下降，此時(shí)排水管水面寬變?yōu)?.2m，求水面下降的高度．答案：0.2米．練習(xí)某地有一座圓弧形拱橋圓心為Ｏ，橋下水面寬度為7.2m，過(guò)O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的貨船要經(jīng)過(guò)拱橋，此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋？答案：半徑是3.9m，MN＞3，能通過(guò).練習(xí)1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．練習(xí)2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．構(gòu)造垂徑求長(zhǎng)度如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．提示：過(guò)點(diǎn)C作BD的垂徑總結(jié)：要求弦長(zhǎng)，就要想到作垂徑，利用垂徑定理．什么情況下需要構(gòu)造垂徑？怎么構(gòu)造垂徑進(jìn)行計(jì)算？構(gòu)造垂徑的技巧平行弦間的距離已知圓O的半徑是10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，則AB與CD的距離是________________．總結(jié)：看到?jīng)]圖的問(wèn)題，就要考慮到多解的可能．14cm或2cm怎么求平行弦之間的距離？如果題目沒(méi)給圖，應(yīng)該想到什么？與垂徑定理有關(guān)的多解問(wèn)題總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了什么？垂徑定理①CD是直徑②CD⊥AB③AE=BE垂徑定理的推理①CD是直徑③AE=BE②CD⊥AB總結(jié)利用垂徑定理計(jì)算的技巧對(duì)于一個(gè)圓中的弦長(zhǎng)a、圓心到弦的距離d、圓半徑r、弓形高h(yuǎn)，這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩個(gè)量，就可以求出另外兩個(gè)量，如圖有：（1）d+h=r特別的，若已知h和a，則需要設(shè)未知數(shù)，列方程求解.第二十四章圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)垂直于弦的直徑

12學(xué)習(xí)目標(biāo)3理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推導(dǎo).(難點(diǎn))能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明.（重點(diǎn)）通過(guò)圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài).觀察思考

把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。你能用數(shù)學(xué)方法證明剛才的結(jié)論嗎？

如圖，AB是⊙O的任一條直徑，C是⊙O上點(diǎn)A,B以外任意一點(diǎn)∵在△OCD中，OC=OD,∴△OCD是等腰三角形∵OE⊥CD∴CE=ED即AB是CD的垂直平分線。這就是說(shuō)對(duì)于圓上任意一點(diǎn)C，在圓上都有關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D，因此⊙O關(guān)于直線AB對(duì)稱?！CBEAD過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交⊙O于點(diǎn)D，垂足為E連接OC,OD

根據(jù)軸對(duì)稱圖形性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？ABCDOECE=DE⌒AC=ADBC=BD⌒⌒⌒觀察思考CD是⊙O的一條弦，直徑AB⊥CD，垂足為E.求證：CE=DE,⌒⌒AC=AD,⌒⌒

BC=BD.ABCDOE分析：要證CE=DE，只要證CE,DE構(gòu)成的三角形全等.要證，只需證明C點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于直徑AB對(duì)稱.⌒⌒AC=AD,⌒⌒

BC=BD同位討論同位討論CD是⊙O的一條弦，直徑AB⊥CD，垂足為E.求證：CE=DE,⌒⌒AC=AD,⌒⌒

BC=BD.ABCDOE證明：連接OC,OD,則OC=OD在Rt△OCE和Rt△ODE中：

______________________________________∴Rt△OCE≌Rt△ODE（）∴CE=_____∴點(diǎn)_____和點(diǎn)_____關(guān)于AB對(duì)稱∵⊙O關(guān)于AB對(duì)稱∴當(dāng)圓沿著直線AB對(duì)折時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，重合，重合∴_________,________________,________________OE=OEOC=ODHLDECD⌒⌒AC與AD⌒⌒

BC與BDCE=DEAC=AD,⌒⌒

BC=BD.⌒⌒歸納總結(jié)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。符號(hào)語(yǔ)言：∵①AB是直徑（），②AB⊥CD

∴③CE=DE，④AC=AD，⑤BC=BD.⌒⌒⌒⌒·OCEABD①過(guò)圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧1、判斷下列圖是否是表示垂徑定理的圖形。是不是是練一練是是注意：垂徑定理中的垂徑可以是

、半徑或過(guò)圓心的直線或

，其本質(zhì)是“過(guò)圓心”直徑線段如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？想一想·OCEABD

舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：②AB⊥CD，垂足為E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小組討論①AB是直徑

舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：②AB⊥CD，垂足為E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小組討論①AB是直徑思考：CD可以是直徑嗎？CDCDD

舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：②AB⊥CD，垂足為E

③CE=DE（CD不是直徑）④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小組討論①AB是直徑垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧?！撷貯B是直徑②CE=DE且CD不是直徑符號(hào)語(yǔ)言：∴③AB⊥CD，④AC=AD，⑤BC=BD.⌒⌒⌒⌒歸納總結(jié)·OCEABD例題探究

趙州橋（如圖）是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，垂足為點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)C，連結(jié)OA.根據(jù)垂徑定理，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23m，即趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.例題探究

弦a，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：★弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

方法總結(jié)例題變式如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為6cm，圓心O到AB的距離（弦心距）為4cm，求⊙O的半徑．ABOE34解：

在Rt△AOE中

,,(垂徑定理）過(guò)圓心O作OE⊥AB于E，

在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過(guò)連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.★涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法OABC·方法總結(jié)知識(shí)小結(jié)垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足