北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （探索勾股定理）勾股定理教學(xué)課件

探索勾股定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)利用拼圖法、等積法驗(yàn)證勾股定理的正確性．2．能利用勾股定理解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題．新課導(dǎo)入直角三角形的兩銳角有什么關(guān)系？直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角．a(chǎn)ABCbc∟直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2．勾股定理你知道怎么驗(yàn)證勾股定理嗎?合作探究小組活動(dòng)：請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形．合作探究

合作探究aaaabbbbcccc驗(yàn)證【方法一】大正方形的面積可以表示為_(kāi)_______；也可以表示為_(kāi)__________.(a+b)2c2+4·∵(a+b)2=c2+4·a2+2ab+b2=c2+2ab∴a2+b2=c2合作探究abc驗(yàn)證【方法二】：趙爽弦圖大正方形的面積可以表示為_(kāi)_____；也可以表示為_(kāi)_________________.∵c2=4·+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴a2+b2=c2c24·+(b-a)2合作探究美國(guó)【總統(tǒng)】證法∵S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2)又∵S梯形ABCD=S△AED+S△ECDS+S△EBC=ab+ba+2=(2ab+c2)bcabcaABCDE∴比較上面二式得c2=a2+b2典例精析例1、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的長(zhǎng)；（2）求△ADB的面積．解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：∴AB=10；∴的面積為典例精析例2、我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎?公路BCA400m500m解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敵方汽車10s行駛了300m，那么它1h行駛的距離為30×3600=108000（m），即它行駛的速度為108km/h.典例精析例3、一個(gè)25米長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)的AO距離為24米，如果梯子的頂端A沿墻下滑4米，那么梯子的底端B也外移4米，對(duì)嗎？為什么？解：不對(duì)．理由：如圖，由題意得AB＝25米，AO＝24米，BO2＝AB2－AO2＝252－242＝72，所以BO＝7米．移動(dòng)后，A′O＝20米，B′O2＝A′B′2－A′O2＝252－202＝225＝152，則BB′＝15－7＝8(米)，即梯子的底端B外移8米．隨堂練習(xí)1.如圖，等腰三角形ABC底邊上的高AD為4cm，周長(zhǎng)為16cm，則△ABC的面積是()A．14cm2B．13cm2C．12cm2D．8cm2C隨堂練習(xí)2.如圖，帶陰影的矩形面積是()A．9平方厘米 B．24平方厘米C．45平方厘米 D．51平方厘米C隨堂練習(xí)3.現(xiàn)在人們鍛煉身體的意識(shí)日漸增強(qiáng)，但是一些人保護(hù)環(huán)境的意識(shí)卻很淡?。鐖D是昌平濱河公園的一角，有人為了抄近道而避開(kāi)橫平豎直的路的拐角∠ABC，而走“捷徑AC”，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“路AC”．已知AB＝40米，BC＝30米．(1)他們踩壞了多少米的草坪？解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，∴由AC2＝AB2＋BC2，可得AC＝50米．答：他們踩壞了50米的草坪．隨堂練習(xí)3.現(xiàn)在人們鍛煉身體的意識(shí)日漸增強(qiáng)，但是一些人保護(hù)環(huán)境的意識(shí)卻很淡薄．如圖是昌平濱河公園的一角，有人為了抄近道而避開(kāi)橫平豎直的路的拐角∠ABC，而走“捷徑AC”，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“路AC”．已知AB＝40米，BC＝30米．(2)只為少走多少米的路？解：30＋40－50＝20(米)．答：只為少走20米的路．隨堂練習(xí)4.如圖，一根旗桿在離地面9m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處.旗桿原來(lái)有多高?12m9m解：設(shè)旗桿頂部到折斷處的距離為xm，根據(jù)勾股定理得92+122=x2解得x=15,15+9=24(m).答：旗桿原來(lái)高24m.隨堂練習(xí)5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝14，c＝10，求Rt△ABC的面積．解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2＝100.∴(a＋b)2－2ab＝100.∴142－2ab＝100.∴ab＝48.∴S△ABC＝ab＝24.課堂小結(jié)勾股定理的探索勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用探索勾股定理第一章勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時(shí)

情境引入1.了解勾股定理的內(nèi)容，理解并掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（重點(diǎn)）2.能夠運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課如圖，這是一幅美麗的圖案，仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)這幅圖中的奧秘嗎？帶著疑問(wèn)我們來(lái)一起探索吧.情境引入（圖中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面積是

平方厘米；（2）正方形Q的面積是

平方厘米；（3）正方形R的面積是

平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2勾股定理的初步認(rèn)識(shí)一講授新課上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？做一做：觀察正方形瓷磚鋪成的地面.填一填：觀察右邊兩幅圖：完成下表（每個(gè)小正方形的面積為單位1）.

A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

？怎樣計(jì)算正方形C的面積呢？9

16

9

方法一：割方法二：補(bǔ)方法三：拼分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形.補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積.將幾個(gè)小塊拼成若干個(gè)小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形.分析表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個(gè)直角三角形ABC，測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，然后驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立.13512ABC做一做幾何語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟總結(jié)歸納定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2．勾股定理求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):練一練8x17125x解：由勾股定理可得：82+x2=172即:x2=172-82

x=15解:由勾股定理可得：

52+122=x2即：x2=52+122

x=13

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如下圖所示）：ABC穿越畢達(dá)哥拉斯做客現(xiàn)場(chǎng)正方形A的面積正方形B的面積正方形C的面積+=一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=知識(shí)鏈接例1已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長(zhǎng).利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算二典例精析解：由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34方法總結(jié)

由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個(gè)規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．例2

如圖，已知AD是△ABC的中線．求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E方法總結(jié)

構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來(lái)．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問(wèn)題時(shí)，通常沿著這個(gè)思路去分析問(wèn)題．解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長(zhǎng)為25＋20＋15＝60.例3

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長(zhǎng)．題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長(zhǎng)為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為42或60.方法總結(jié)解析：因?yàn)锳E＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因?yàn)锳E2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又因?yàn)锳C2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為AB2＝.例4

如圖，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為_(kāi)_______，陰影部分的面積為_(kāi)_______．方法總結(jié)

求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時(shí)，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來(lái)，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．求下列圖形中未知正方形的面積及未知邊的長(zhǎng)度（口答）：

已知直角三角形兩邊，求第三邊.練一練當(dāng)堂練習(xí)1.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm22.

求下列圖中未知數(shù)x、y的值：解：由勾股定理可得：81+144=x2即:x2=225

x=15解：由勾股定理可得：

y2+144=169即:y2=25

y=53.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=6，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.4.若直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)是3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方為（）

A25B14C7D7或25105D5.一高為2.5米的木梯,架在高為2.4米的墻上(如圖),這時(shí)梯腳與墻的距離是多少?ABC解：在Rt△ABC