線性代數(shù)ppt課件-第三章-矩陣的初等變換與線性方程組――習(xí)題課

線性代數(shù)9/18/2023線性代數(shù)課件線性代數(shù)8/6/2023線性代數(shù)課件1第三章

矩陣的初等變換與線性方程組9/18/2023線性代數(shù)課件第三章

矩陣的初等變換與線性方程組8/6/2023線性代29/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件39/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件4１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換9/18/2023線性代數(shù)課件１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換8/6/2023線5初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類(lèi)型的初等變換．9/18/2023線性代數(shù)課件初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是8/66反身性傳遞性對(duì)稱(chēng)性２矩陣的等價(jià)9/18/2023線性代數(shù)課件反身性傳遞性對(duì)稱(chēng)性２矩陣的等價(jià)8/6/2023線性代數(shù)課件7三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣．9/18/2023線性代數(shù)課件三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣8（１）換法變換：對(duì)調(diào)兩行（列），得初等矩陣．9/18/2023線性代數(shù)課件（１）換法變換：對(duì)調(diào)兩行（列），得初等8/6/2023線9（２）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣．9/18/2023線性代數(shù)課件（２）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（8/6/2023線10（３）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣．9/18/2023線性代數(shù)課件（３）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另8/6/202311經(jīng)過(guò)初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元．例如４行階梯形矩陣9/18/2023線性代數(shù)課件經(jīng)過(guò)初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩例如４行階梯形矩12經(jīng)過(guò)初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡(jiǎn)形矩陣9/18/2023線性代數(shù)課件經(jīng)過(guò)初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一例如５行最簡(jiǎn)形矩13對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形9/18/2023線性代數(shù)課件對(duì)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)14所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣．9/18/2023線性代數(shù)課件所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一8/6/202315定義７矩陣的秩定義9/18/2023線性代數(shù)課件定義７矩陣的秩定義8/6/2023線性代數(shù)課件16定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．８矩陣秩的性質(zhì)及定理9/18/2023線性代數(shù)課件定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．８矩陣秩的性質(zhì)及定理179/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件18定理定理９線性方程組有解判別定理9/18/2023線性代數(shù)課件定理定理９線性方程組有解判別定理8/6/2023線性代數(shù)課19

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫(xiě)出通解．

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫(xiě)出通解．10線性方程組的解法9/18/2023線性代數(shù)課件齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形非齊次線性方程20定理11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論9/18/2023線性代數(shù)課件定理11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論8/6/2023線21一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題9/18/2023線性代數(shù)課件一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、22求矩陣的秩有下列基本方法（１）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開(kāi)始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩9/18/2023線性代數(shù)課件求矩陣的秩有下列基本方法（１）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)23（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩．第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用．9/18/2023線性代數(shù)課件（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或第一種方法當(dāng)矩24例１求下列矩陣的秩解對(duì)施行初等行變換化為階梯形矩陣9/18/2023線性代數(shù)課件例１求下列矩陣的秩解對(duì)施行初等行變換化為階梯形矩陣8259/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件26

注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．9/18/2023線性代數(shù)課件注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可8/6/2023線27當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等行變換求方程的解．當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組9/18/2023線性代數(shù)課件當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與28例２求非齊次線性方程組的通解．解對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形．9/18/2023線性代數(shù)課件例２求非齊次線性方程組的通解．解對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)299/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件309/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件31由此可知，而方程組(1)中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量.9/18/2023線性代數(shù)課件由此可知，而方程組(1)中未知8/6/2032例３當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數(shù)矩陣的行列式為9/18/2023線性代數(shù)課件例３當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非解法一系數(shù)矩陣339/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件34從而得到方程組的通解9/18/2023線性代數(shù)課件從而得到方8/6/2023線性代數(shù)課件359/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件369/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件37解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形9/18/2023線性代數(shù)課件解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形8/6/2023線389/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件39三、求逆矩陣的初等變換法9/18/2023線性代數(shù)課件三、求逆矩陣的初等變換法8/6/2023線性代數(shù)課件40例４求下述矩陣的逆矩陣．解9/18/2023線性代數(shù)課件例４求下述矩陣的逆矩陣．解8/6/2023線性代數(shù)課件419/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件42

注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．9/18/2023線性代數(shù)課件注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終8/6/2023線43四、解矩陣方程的初等變換法或者9/18/2023線性代數(shù)課件四、解矩陣方程的初等變換法或者8/6/2023線性代數(shù)課件44例５解9/18/2023線性代數(shù)課件例５解8/6/2023線性代數(shù)課件459/18/2023線性代數(shù)課件8/6/2023線性代數(shù)課件46第三章測(cè)試題一、填空題(每小題4分，共24分)．1．若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解．2．齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足的條件是．9/18/2023線性代數(shù)課件第三章測(cè)試題一、填空題(每小題4分，共24分)．1．若474．線性方程組有解的充要條件是9/18/2023線性代數(shù)課件4．線性方程組有解的充要條件是8/6/2023線性代數(shù)課件48二、計(jì)算題(第1題每小題8分，共16分；第2題每小題9分，共18分；第3題12分)．9/18/2023線性代數(shù)課件二、計(jì)算題(第1題每小題8分，共16分；第2題每8492．求解下列線性方程組9/18/2023線性代數(shù)課件2．求解下列線性方程組8/6/2023線性代數(shù)課件50有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，求其通解．9/18/2023線性代數(shù)課件有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，8/6/202351三、