廣東省梅州市名校2024屆數(shù)學九上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

廣東省梅州市名校2024屆數(shù)學九上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知⊙O半徑為3，M為直線AB上一點，若MO=3，則直線AB與⊙O的位置關系為（）A．相切 B．相交 C．相切或相離 D．相切或相交2．如果兩個相似三角形的相似比為2：3，那么這兩個三角形的面積比為（）A．2：3 B．： C．4：9 D．9：43．如圖，在平行四邊形中，為的中點，為上一點，交于點，，則的長為（）A． B． C． D．4．矩形的周長為12cm，設其一邊長為xcm，面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關系式及其自變量x的取值范圍均正確的是（）A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）5．拋物線y＝x2+6x+9與x軸交點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．若點在拋物線上，則的值（）A．2021 B．2020 C．2019 D．20187．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，將△ABC繞邊AC所在直線旋轉一周得到圓錐，則該圓錐的側面積是A．25π B．65π C．90π D．130π8．已知二次函數(shù)，當自變量取時，其相應的函數(shù)值小于0，則下列結論正確的是（）A．取時的函數(shù)值小于0B．取時的函數(shù)值大于0C．取時的函數(shù)值等于0D．取時函數(shù)值與0的大小關系不確定9．如圖，在菱形中，，是線段上一動點（點不與點重合），當是等腰三角形時，（）A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°10．如圖坐標系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），將△OAB沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，若OE＝，則AC：AD的值是（）A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：811．拋物線y=2x2＋3與兩坐標軸的公共點個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個12．拋物線的對稱軸為直線（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，將△ABC繞著點A順時針旋轉40°后得到△ADE，則∠BAE＝_____．14．如圖，△ABC周長為20cm，BC=6cm,圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點M、N，則△AMN的周長為________cm.15．已知,相似比為,且的面積為,則的面積為__________．16．如圖，把直角三角形的斜邊放在定直線上，按順時針方向在上轉動兩次，使它轉到的位置.設，，則頂點運動到點的位置時，點經(jīng)過的路線長為_________．17．如圖，位似圖形由三角尺與其燈光下的中心投影組成，相似比為2：5，且三角尺的一邊長為8cm，則投影三角形的對應邊長為_______㎝．18．一塊含有角的直角三角板按如圖所示的方式放置，若頂點的坐標為，直角頂點的坐標為，則點的坐標為______.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖以的一邊為直徑作⊙，⊙與邊的交點恰好為的中點，過點作⊙的切線交邊于點.（1）求證：；（2）若，求的值.20．（8分）先化簡，再求值：(1+)，其中，x＝﹣1．21．（8分）為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元，市場調查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=﹣2x+1．設這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關系式．（2）該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？22．（10分）已知二次函數(shù)的頂點坐標為A(1，﹣4)，且經(jīng)過點B(3，0)．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）判斷點C(2，﹣3)，D(﹣1，1)是否在該函數(shù)圖象上，并說明理由．23．（10分）如圖，是一張盾構隧道斷面結構圖．隧道內(nèi)部為以O為圓心，AB為直徑的圓．隧道內(nèi)部共分為三層，上層為排煙道，中間為行車隧道，下層為服務層．點A到頂棚的距離為1.6m，頂棚到路面的距離是6.4m，點B到路面的距離為4.0m．請求出路面CD的寬度．（精確到0.1m）24．（10分）某商店購進一批單價為16元的日用品,銷售一段時間后,為了獲取更多利潤,商店決定提高銷售價格,經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn),若按每件20元的價格銷售時,每月能賣360件;若按每件25元的價格銷售時,每月能賣210件.假定每月銷售件數(shù)y(件)是價格x(元/件)的一次函數(shù).(1)試求y與x之間的函數(shù)關系式;(2)在商品不積壓,且不考慮其他因素的條件下,問銷售價格為多少時,才能使每月獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?(總利潤=總收入-總成本).25．（12分）點為圖形上任意一點，過點作直線垂足為，記的長度為.定義一:若存在最大值，則稱其為“圖形到直線的限距離”，記作；定義二:若存在最小值，則稱其為“圖形到直線的基距離”，記作；（1）已知直線，平面內(nèi)反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象記作則．（2）已知直線，點，點是軸上一個動點，的半徑為，點在上，若求此時的取值范圍，（3）已知直線恒過定點，點恒在直線上，點是平面上一動點，記以點為頂點，原點為對角線交點的正方形為圖形，若請直接寫出的取值范圍．26．如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點，AE＝ED，DF=DC，連結EF并延長交BC的延長線于點G，連結BE．（1）求證：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解題分析】試題解析“因為垂線段最短，所以圓心到直線的距離小于等于1．此時和半徑1的大小不確定，則直線和圓相交、相切都有可能．故選D．點睛：直線和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系：若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．2、C【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方解答．【題目詳解】∵兩個相似三角形的相似比為2：3，∴這兩個三角形的面積比為4：9，故選：C．【題目點撥】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．3、B【分析】延長，交于，由，，即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，延長CB交FG與點H∵四邊形ABCD為平行四邊形∴BC=AD=DF+AF=6cm，BC∥AD∴∠FAE=∠HBE又∵E是AB的中點∴AE=BE在△AEF和△BEH中∴△AEF≌△BEH(ASA)∴BH=AF=2cm∴CH=8cm∵BC∥CD∴∠FAG=∠HCG又∠FGA=∠CGH∴△AGF∽△CGH∴∴CG=4AG=12cm∴AC=AG+CG=15cm故答案選擇B.【題目點撥】本題考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵.4、D【分析】已知一邊長為xcm，則另一邊長為（6-x）cm，根據(jù)矩形的面積公式即可解答．【題目詳解】解：已知一邊長為xcm，則另一邊長為（6-x）cm．

則y=x（6-x）化簡可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），

故選：D．【題目點撥】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式的知識，解題的關鍵是用x表示出矩形的另一邊，此題難度一般．5、B【分析】根據(jù)題意，求出b2﹣4ac與0的大小關系即可判斷.【題目詳解】∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0∴二次函數(shù)y＝x2+6x+9的圖象與x軸有一個交點．故選：B．【題目點撥】此題考查的是求二次函數(shù)與x軸的交點個數(shù)，掌握二次函數(shù)與x軸的交點個數(shù)和b2﹣4ac的符號關系是解決此題的關鍵.6、B【分析】將P點代入拋物線解析式得到等式，對等式進行適當變形即可．【題目詳解】解：將代入中得所以．故選：B．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)上點的坐標特征，等式的性質．能根據(jù)等式的性質進行適當變形是解決此題的關鍵．7、B【解題分析】解：由已知得，母線長l=13，半徑r為5，∴圓錐的側面積是s=πl(wèi)r=13×5×π=65π．故選B．8、B【分析】畫出函數(shù)圖象，利用圖象法解決問題即可；【題目詳解】由題意，函數(shù)的圖象為：∵拋物線的對稱軸x=，設拋物線與x軸交于點A、B，∴AB＜1，∵x取m時，其相應的函數(shù)值小于0，∴觀察圖象可知，x=m-1在點A的左側，x=m-1時，y＞0，故選B．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是學會利用函數(shù)圖象解決問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．9、C【分析】根據(jù)是等腰三角形，進行分類討論【題目詳解】是菱形，，不符合題意所以選C10、B【分析】過A作AF⊥OB于F，如圖所示：根據(jù)已知條件得到AF=1，OF=1，OB=6，求得∠AOB=60°，推出△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=∠ABO=60°，根據(jù)折疊的性質得到∠CED=∠OAB=60°，求得∠OCE=∠DEB，根據(jù)相似三角形的性質得到BE=OB﹣OE=6﹣=，設CE=a，則CA=a，CO=6﹣a，ED=b，則AD=b，DB=6﹣b，于是得到結論．【題目詳解】過A作AF⊥OB于F，如圖所示：∵A(1，1)，B(6，0)，∴AF=1，OF=1，OB=6，∴BF=1，∴OF=BF，∴AO=AB，∵tan∠AOB=，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=∠ABO=60°，∵將△OAB沿直線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，∴∠CED=∠OAB=60°，∵∠OCE+∠COE=∠OCE+60°=∠CED+∠DEB=60°+∠DEB，∴∠OCE=∠DEB，∴△CEO∽△EDB，∴==，∵OE=，∴BE=OB﹣OE=6﹣=，設CE=a，則CA=a，CO=6﹣a，ED=b，則AD=b，DB=6﹣b，則，，∴6b=10a﹣5ab①，24a=10b﹣5ab②，②﹣①得：24a﹣6b=10b﹣10a，∴，即AC:AD=2:1．故選：B．【題目點撥】本題考查了翻折變換-折疊問題，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，證得△AOB是等邊三角形是解題的關鍵．11、B【分析】根據(jù)一元二次方程2x2＋3=1的根的判別式的符號來判定拋物線y=2x2＋3與x軸的交點個數(shù)，當x=1時，y=3，即拋物線y=2x2＋3與y軸有一個交點．【題目詳解】解：當y=1時，2x2＋3=1．

∵△=12-4×2×3=-24＜1，

∴一元二次方程2x2＋3=1沒有實數(shù)根，即拋物線y=2x2＋3與x軸沒有交點；

當x=1時，y=3，即拋物線y=2x2＋3與y軸有一個交點，

∴拋物線y=2x2＋3與兩坐標軸的交點個數(shù)為1個．

故選B．【題目點撥】本題考查了拋物線與x軸、y軸的交點．注意，本題求得是“拋物線y=2x2＋3與兩坐標軸的交點個數(shù)”，而非“拋物線y=2x2＋3與x軸交點的個數(shù)”．12、C【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式為直線，代入求解即可．【題目詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，故答案為C．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，熟記公式是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、100°【分析】根據(jù)旋轉角可得∠CAE=40°，然后根據(jù)∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【題目詳解】解：∵△ABC繞著點A順時針旋轉40°后得到△ADE，

∴∠CAE=40°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．

故答案是：100°．【題目點撥】考查了旋轉的性質，解題的關鍵是運用旋轉的性質（圖形和它經(jīng)過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角；對應線段相等，對應角相等）得出∠CAE=40°．14、8【分析】先作出輔助線,連接切點,利用內(nèi)切圓的性質得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代換即可解題.【題目詳解】解：∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，MN是圓O的切線,如下圖,連接各切點,有切線長定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC周長為20cm,BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是8【題目點撥】本題考查了三角形內(nèi)接圓的性質,切線長定理的應用,中等難度,熟練掌握等量代換的方法是解題關鍵.15、【分析】根據(jù)相似三角形的性質，即可求解．【題目詳解】∵，相似比為，∴與，的面積比等于4：1，∵的面積為，∴的面積為1．故答案是：1．【題目點撥】本題主要考查相似三角形的性質定理，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關鍵．16、【分析】根據(jù)題意得到直角三角形在直線上轉動兩次點A分別繞點B旋轉120°和繞C″旋轉90°，將兩條弧長求出來加在一起即可．【題目詳解】解：在Rt△ABC中，∵BC=1，，∴AB=2，∠CBA=60°，∴弧AA′=；弧A′A′′=；∴點A經(jīng)過的路線的長是；故答案為：.【題目點撥】本題考查了弧長的計算方法及勾股定理，解題的關鍵是根據(jù)直角三角形的轉動過程判斷點A是以那一點為圓心轉動多大的角度．17、20cm【題目詳解】解：∵位似圖形由三角尺與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2：5，三角尺的一邊長為8cm，∴投影三角形的對應邊長為：8÷=20cm．故選B．【題目點撥】本題主要考查了位似圖形的性質以及中心投影的應用，根據(jù)對應邊的比為2：5，再得出投影三角形的對應邊長是解決問題的關鍵．18、【分析】過點B作BD⊥OD于點D，根據(jù)△ABC為直角三角形可證明△BCD∽△CAO，設點B坐標為（x，y），根據(jù)相似三角形的性質即可求解．【題目詳解】過點B作BD⊥OD于點D，∵△ABC為直角三角形，∴，∴△BCD∽△CAO，∴，設點B坐標為(x,y)，則，，∴=AC=2，∵有圖知，，∴，解得：，則y=3.即點B的坐標為.故答案為【題目點撥】本題考查了坐標與圖形性質、相似三角形的判定及性質、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是要求出BC和AC的值和30度角的三角函數(shù)聯(lián)系起來，作輔助線構造直角三角形為三角函數(shù)作鋪墊．三、解答題（共78分）19、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）直接利用三角形中位線定理結合切線的性質得出DE⊥BC；

（2）過O點作OF⊥AB，分別用AO表示出FO，BF的長進而得出答案．【題目詳解】（1）連接∵為⊙的切線,∴∵為中點,為的中點∴∴(2)過作,則在中，∴,∵,，∴在中，.【題目點撥】此題主要考查了切線的性質以及垂徑定理、解直角三角形，正確表示出BF的長是解題關鍵．20、，1﹣【分析】根據(jù)分式混合運算的運算順序及運算法則進行化簡，再把x的值代入計算即可．【題目詳解】解：原式，當時，原式．【題目點撥】本題主要考查分式化簡求值，解決本題的關鍵是要熟練掌握分式通分和分式加減乘除運算法則．21、(1);(2)該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤2元;(3)該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元．【分析】（1）根據(jù)銷售額=銷售量×銷售價單x，列出函數(shù)關系式．（2）用配方法將（2）的函數(shù)關系式變形，利用二次函數(shù)的性質求最大值．（3）把y=150代入（2）的函數(shù)關系式中，解一元二次方程求x，根據(jù)x的取值范圍求x的值．【題目詳解】解：（1）由題意得：，∴w與x的函數(shù)關系式為：．（2），∵﹣2＜0，∴當x=30時，w有最大值．w最大值為2．答：該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤2元．（3）當w=150時，可得方程﹣2（x﹣30）2+2=150，解得x1=25，x2=3．∵3＞28，∴x2=3不符合題意，應舍去．答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元．22、（1）；（2）C在，D不在，見解析【分析】（1）根據(jù)點A的坐標設出二次函數(shù)的頂點式，再代入B的值即可得出答案；（2）將C和D的值代入函數(shù)解析式即可得出答案.【題目詳解】解：（1）設二次函數(shù)的解析式是，∵二次函數(shù)的頂點坐標為∴又經(jīng)過點∴代入得：解得：∴函數(shù)解析式為：（2）將x=2代入解析式得∴點在該函數(shù)圖象上將x=-1代入解析式得∴點不在該函數(shù)圖象上【題目點撥】本題考查的是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題關鍵是根據(jù)頂點坐標設出頂點式.23、11.3m.【分析】連接OC，求出OC和OE，根據(jù)勾股定理求出CE，根據(jù)垂徑定理求出CD即可．【題目詳解】連接OC，求出OC和OE，根據(jù)勾股定理求出CE，根據(jù)垂徑定理求出CD即可．【解答】解：如圖，連接OC，AB交CD于E，由題意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，所以OC＝OB＝6，OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，由題意可知：AB⊥CD，∵AB過O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，∴CD＝2CE＝8≈11.3m，所以路面CD的寬度為11.3m．【題目點撥】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能求出CE的長是解此題的關鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦．24、（1）；（2）.【分析】（1）先利用待定系數(shù)法確定每月銷售量y與x的函數(shù)關系式y(tǒng)=-30x+960；

（2）根據(jù)每月獲得的利潤等于銷售量乘以每件的利潤得到w=（-30x+960）（x-16），接著展開后進行配方得到頂點式P=-30（x-24）2+1920，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．【題目詳解】(1)設y=kx+b，∵當x=20時，y=360；x=25時，y=210∴，解得∴y=-30x+960(16≤x≤32)；(2)設每月所得總利潤為w元,則w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+1920.∵-30<0∴當x=24時，w有最大值.即銷售價格定為24元/件時,才能使每月所獲利潤最大,每月的最大利潤為1920元.25、（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）作直線：平行于直線，且與H相交于點P，連接PO并延長交直線于點Q，作PM⊥x軸，根據(jù)只有一個交點可求出b，再聯(lián)立求出P的坐標，從而判斷出PQ平分∠AOB，再利用直線表達式求A、B坐標證明OA=OB，從而證出PQ即為最小距離，最后利用勾股定理計算即可；（2）過點作直線，可判斷出上的點到直線的最大距離為，然后根據(jù)最大距離的范圍求出TH的范圍，從而得到FT的范圍，根據(jù)范圍建立不等式組求解即可；（3）把點P坐標帶入表達式，化簡得到關于a、b的等式，從而推出直線的表達式，根據(jù)點E的坐標可確定點E所在直線表達式，再根據(jù)最小距離為0，推出直線一定與圖形K相交，從而分兩種情況畫圖求解即可．【題目詳解】解：（1）作直線：平行于直線，且與H相交于點P，連接PO并延長交直線于點Q，作PM⊥x軸，∵直線：與H相交于點P，∴，即，只有一個解，∴，解得，∴，聯(lián)立，解得，即，∴，且點P在第一、三象限夾角的角