有關(guān)定積分問題的常見題型解析(全題型)(完整版)資料

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有關(guān)定積分問題的常見題型解析(全題型)（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）有關(guān)定積分問題的常見題型解析題型一利用微積分基本定理求積分例1、求下列定積分：（1）（2）（3）分析：根據(jù)求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)互為逆運(yùn)算，找到被積函數(shù)得一個原函數(shù)，利用微積分基本公式代入求值。評注：利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找出的函數(shù)。如果原函數(shù)不好找，則可以嘗試找出畫出函數(shù)的圖像，圖像為圓或者三角形則直接求其面積。題型二利用定積分求平面圖形的面積例2如圖，求直線y=2x+3與拋物線y=x所圍成的圖形面積。分析：從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個梯形與一個曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求出面積。為了確定出被積函數(shù)和積分和上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。評注：求平面圖形的面積的一般步驟：⑴畫圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；⑵對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上、下限；⑶確定被積函數(shù)；⑷求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值之和。關(guān)鍵環(huán)節(jié)：①認(rèn)定曲邊梯形，選定積分變量；②確定被積函數(shù)和積分上下限。知識小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：（1）由三條直線x=a、x=b（a＜b）、x軸，一條曲線y=（≥0）圍成的曲邊梯形的面積：S＝，如圖1。（2）由三條直線x=a、x=b（a＜b）、x軸，一條曲線y=（≤0）圍成的曲邊梯形的面積：S＝，如圖2。（3）由兩條直線x=a、x=b（a＜b）、兩條曲線y=、y=（）圍成的平面圖形的面積：S＝，如圖3。題型三解決綜合性問題例3、在曲線（x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為。試求：（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過切點(diǎn)A的切線方程。分析：設(shè)出切點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程，然后利用定積分求出所圍成平面圖形的面積，從而確定切點(diǎn)A的坐標(biāo)，使問題解決。評注：本題將導(dǎo)數(shù)與定積分聯(lián)系起來，解題的關(guān)鍵是求出曲線三角形AOC的面積。定積分的兩種非常規(guī)用法定積分是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，它不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)注入了新鮮血液，還給學(xué)生提供了數(shù)學(xué)建模的新思路、“用數(shù)學(xué)”的新意識，通常利用定積分可以求平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體體積、變速直線運(yùn)動的路程及變力作功等。另外，利用定積分也能求物體所受的力、證明不等式。一、求物體所受的力例1.矩形閘門寬a米，高h(yuǎn)米垂直放在水中，上沿與水面平齊，則該閘門所受水的壓力F等于（）其中水的密度為kg/m3，g單位是m/s2，A.B.C.D.二、利用積分證明不等式例3.求證16＜＜17.例析定積分的解題功能定積分是通過無限分割、近似替代、借助求和再利用極限來達(dá)到計(jì)算的目的.在此過程中，因?yàn)闊o限分割，所以求和時可以近似替代即“以直代曲”、“以勻速代變速”、“以均勻代非均勻”……這就是定積分處理問題的基本思想，下面通過具體例子來展示這種思想在解題中的具體體現(xiàn)。一、求由一條曲線y=f(x)直線所圍成平面圖形的面積例1.求由曲線y=sinx與x軸在區(qū)間[0,2π]上所圍成圖形的面積S.分析因?yàn)閥=sinx在[0,π]上的積分為正值，在[π,2π]上的積分為負(fù)值，其面積應(yīng)取絕對值．二、求由兩條曲線和直線所圍成圖形的面積例2.求曲線y=ex,y=e-x及x=1所圍成的圖形面積．分析根據(jù)條件作出圖形，由曲線方程解出積分上、下限，利用圖形確定被積函數(shù)，利用定積分求出面積．三、求變速直線運(yùn)動的路程例3一點(diǎn)在直線上從時刻t=0(s)開始以速度v=t2-4t+3(m/s)運(yùn)動，求：(1)在t=4s的位置；(2)在t=4s運(yùn)動的路程．四、變力作功例4.由胡克定律知，把彈簧拉長所需要的力與彈簧的伸長量成正比．現(xiàn)已知1N的力能使一個彈簧伸長0.01m,求把彈簧拉長0.1m所作的功．五、定積分的綜合應(yīng)用例5.已知拋物線y=x2-2x及直線x=0,x=a,y=0圍成的平面圖形的面積為，求a的值．分析：根據(jù)a的取值的不同分類討論，通過解方程求解．略談定積分的應(yīng)用數(shù)學(xué)在生活中誕生，在應(yīng)用中發(fā)展；定積分也是如此，它從計(jì)算曲邊梯形的面積開始到計(jì)算曲線的弧長，再求變速直線運(yùn)動的物體的位移，到后來在幾何、物理、力學(xué)等都有十分廣泛的應(yīng)用，充分展現(xiàn)了定積分的威力。當(dāng)然，由于我們目前的基礎(chǔ)知識有限，我們可以掌握的應(yīng)用是有限的，本文在課本的基礎(chǔ)上再向同學(xué)們介紹一點(diǎn)另外的應(yīng)用，供學(xué)習(xí)時參考。1、求面積例1、求由與直線所圍成圖形的面積2、求體積例2、將拋物線在第一象限與、所轉(zhuǎn)成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積。3、物體的作功例3、一彈簧在彈性限度內(nèi)，拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長的長度成正比，如果的力能使彈簧伸長，求把彈簧從平衡位置拉長（在彈性限度內(nèi)）時所做的功。一道定積分問題的多種解法計(jì)算定積分。解法一：（利用定積分的定義）1）分割：把區(qū)間等份成個小區(qū)間，其長度為，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形，其面積記為。（2）近似代替：用小矩形面積代替小曲邊梯形面積，。（3）作和：。（4）求極限：。所以。解法二：（利用定積分的幾何意義）所求定積分為由圍成的圖形的面積。如圖所示，所求定積分即為陰影部分的面積，且面積為。所以。解法三：（利用微積分基本定理）。用定積分求面積的技巧求平面圖形的面積是定積分在幾何中的重要應(yīng)用.把求平面圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.求解此類題常常用到以下技巧.一、巧選積分變量求平面圖形面積時，要注意選擇積分變量，以使計(jì)算簡便.例1求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積．二、巧用對稱性在求平面圖形面積時，注意利用函數(shù)的奇偶性等所對應(yīng)曲線的對稱性解題，也是簡化計(jì)算過程的常用手段.例2求由三條曲線所圍圖形的面積.三、分割計(jì)算例3求由拋物線及其在點(diǎn)和點(diǎn)處兩條切線所圍成的圖形的面積．用定積分求面積的兩個常用公式求平面圖形圍成的面積是定積分重要應(yīng)用之一，下面介紹求面積的兩個常用公式及其應(yīng)用．一、兩個常用公式公式一：由連續(xù)曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b與y＝0所圍成的曲邊梯形的面積A為A＝．特別地，⑴當(dāng)f(x)≥0時(如圖1)，A＝；⑵當(dāng)f(x)≤0時(如圖2)，A＝－；⑶當(dāng)f(x)有正有負(fù)時(如圖3)，A＝－．公式二：由連續(xù)曲線y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)≥g(x)及直線x＝a，x＝b所圍成的圖形(如圖4)的面積A為A＝．走出定積分運(yùn)用的誤區(qū)通過定積分與微積分基本定理部分知識的學(xué)習(xí)，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)．同時體會微積分的產(chǎn)生對人類文化發(fā)展的意義和價值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神．在實(shí)際解題中，由于這部分知識的特殊性，經(jīng)常會由于種種原因出現(xiàn)一些錯誤，下面結(jié)合實(shí)際加以剖析．1．公式應(yīng)用出錯微積分基本定理為：一般地，如果是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且=，那么=．2．幾何意義出錯我們知道，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上恒為正時，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積．在一般情況下，定積分的幾何意義是介于x軸，函數(shù)的圖象以及直線x=a，x=b之間各部分面積的代數(shù)和．3．實(shí)際應(yīng)用出錯利用定積分可以用來解決平面幾何中的面積問題．其實(shí)，除幾何方面外，定積分在工程物理等方面的應(yīng)用也極其廣泛，可以用來處理變速直線運(yùn)動的路程和速度問題，也可以用來解決變力的作功問題等．一元二次方程重點(diǎn)題型一．選擇題（共7小題）定義1．（2021?涼山州模擬）下列方程中，一元二次方程共有（）個①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4一般形式2．（2021春?榮成市期中）關(guān)于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，則它的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣13．（2021春?寧國市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9一元二次方程的解4．（2021?山西校級模擬）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，則該方程一定有一個根為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．25．（2021?詔安縣校級模擬）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．6．（2021?濟(jì)寧校級模擬）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，則它的一個根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．27．（2021?詔安縣校級模擬）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，二．填空題（共12小題）8．（2021春?長興縣月考）用配方法將方程x2+6x﹣7=0化為（x+m）2=n的形式為．9．（2021?羅平縣校級模擬）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為．（9題）（10題）10．學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為600平方米，求小道的寬．若設(shè)小道的寬為x米，則可列方程為．11．（2021?丹東模擬）某藥店響應(yīng)國家政策，某品牌藥連續(xù)兩次降價，由開始每盒16元下降到每盒14元．設(shè)每次降價的平均百分率是x，則列出關(guān)于x的方程是．11．（2021?松江區(qū)二模）某商品原價289元，經(jīng)連續(xù)兩次降價后售價為256元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，那么根據(jù)題意可列關(guān)于x的方程是．12．（2021?蕭山區(qū)模擬）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷售單價定位多少元？15．（2021?東西湖區(qū)校級模擬）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．據(jù)此規(guī)律計(jì)算：每件商品降價元時，商場日盈利可達(dá)到2100元．13．在一次同學(xué)聚會上，若每兩人握一次手，一共握了45次手，則參加這次聚會的同學(xué)一共有名．16．（2021?東西湖區(qū)校級模擬）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣多數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支一共是91個，則每個支干長出的小分支數(shù)目為．17．（2021春?乳山市期末）如圖，一塊矩形鐵皮的長是寬的2倍，將這個鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，若盒子的容積是240cm3，則原鐵皮的寬為cm．18．（2021秋?洪山區(qū)期中）衛(wèi)生部門為控制流感的傳染，對某種流感研究發(fā)現(xiàn)：若一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，若按此傳染速度，第三輪傳染后，患流感人數(shù)共有人．19．（2021秋?臨汾校級月考）如圖，要建一個面積為130m2的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16m）并在與墻平行的一邊開一道1m寬的門，現(xiàn)有能圍成32m長的木板，倉庫的長和寬分別為m與m．三．解答題（共11小題）20．（2021春?沂源縣期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式）①x2﹣2x﹣8=0（因式分解）②（x﹣4）2=9（直接開）③2x2﹣4x﹣1=0（公式）④x2+8x﹣9=0（配方）22．（2021春?阜寧縣期末）選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣6x=7（2）2x2﹣6x﹣1=0（3）3x（x+2）=5（x+2）23．（2021?唐河縣一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取滿足條件的最大整數(shù)時，求方程的根．24．（2021?洛陽模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）當(dāng)m取什么值時，原方程沒有實(shí)數(shù)根；（2）對m選取一個合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，并求出這兩個實(shí)數(shù)根．25．（2021?信陽一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根．（2）若等腰△ABC的一邊長為2，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求△ABC的周長．26．（2021?西峽縣二模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若原方程的一個根是1，求此時m的值及方程的另外一個根．27．（2021?平武縣一模）已知關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）是否存在實(shí)數(shù)k使方程兩根的倒數(shù)和為2？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．28．（2021?宛城區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求證：不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個根是2，求m的值及方程的另一個根．29．（2021秋?余干縣校級期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．30．（2021?洪澤縣一模）如圖，要設(shè)計(jì)一本畫冊的封面，封面長40cm，寬30cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形畫．如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：≈2.236）．

2016年06月03日2456000759的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2021?涼山州模擬）下列方程中，一元二次方程共有（）個①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定義；②ax2+bx+c=0，沒有二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個條件，不符合一元二次方程的定義；③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定義；④﹣x2=0，符合一元二次方程的定義；⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有兩個未知數(shù)，不符合一元二次方程的定義；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不符合一元二次方程的定義．一元二次方程共有2個．故選：B．2．（2021春?榮成市期中）關(guān)于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，則它的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1【解答】解：由題意得：m2﹣2m﹣1=2，m﹣3≠0，解得m=±1．故選：B．3．（2021春?寧國市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9【解答】解：∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，∴二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣6，常數(shù)項(xiàng)為﹣9．故選B．4．（2021?山西校級模擬）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，則該方程一定有一個根為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：依題意，得c=﹣a﹣b，原方程化為ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，∴x=1為原方程的一個根，故選B．5．（2021?詔安縣校級模擬）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【解答】解：根據(jù)題意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故選B．6．（2021?濟(jì)寧校級模擬）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，則它的一個根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．2【解答】解：將x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左邊得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，∵4a﹣2b+c=0，∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．故選A．7．（2021?詔安縣校級模擬）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，【解答】解：x﹣1=±∴x=1±．故選C．二．填空題（共12小題）8．（2021春?長興縣月考）用配方法將方程x2+6x﹣7=0化為（x+m）2=n的形式為（x﹣3）2=2．【解答】解：移項(xiàng)，得x2﹣6x=﹣7，在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得，x2﹣6x+9=﹣7+9，（x﹣3）2=2．故答案為：（x﹣3）2=2．9．（2021?羅平縣校級模擬）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（100﹣x）（80﹣x）=7644．【解答】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故答案為：（100﹣x）（80﹣x）=7644．10．（2021?丹東模擬）某藥店響應(yīng)國家政策，某品牌藥連續(xù)兩次降價，由開始每盒16元下降到每盒14元．設(shè)每次降價的平均百分率是x，則列出關(guān)于x的方程是16（1﹣x）2=14．【解答】解：設(shè)該藥品平均每次降價的百分率是x，根據(jù)題意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14，整理得：16（1﹣x）2=14．故答案為：16（1﹣x）2=14．11．（2021?松江區(qū)二模）某商品原價289元，經(jīng)連續(xù)兩次降價后售價為256元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，那么根據(jù)題意可列關(guān)于x的方程是289（1﹣x）2=256．【解答】解：根據(jù)題意可得兩次降價后售價為289（1﹣x）2，即方程為289（1﹣x）2=256．故答案為：289（1﹣x）2=256．12．（2021?蕭山區(qū)模擬）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷售單價定位多少元？【解答】解：設(shè)每件降價為x元，則（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，得x2﹣5x+4=0，解得x=4或x=1，要使顧客實(shí)惠，則x=4，定價為60﹣4=56元．答：應(yīng)將銷售單價定位56元．13．（2021?南崗區(qū)模擬）在一次同學(xué)聚會上，若每兩人握一次手，一共握了45次手，則參加這次聚會的同學(xué)一共有10名．【解答】解：設(shè)這次參加聚會的同學(xué)有x人，則每人應(yīng)握（x﹣1）次手，由題意得：x（x﹣1）=45，即：x2﹣x﹣90=0，解得：x1=10，x2=﹣9（不符合題意舍去）故參加這次聚會的同學(xué)共有10人．故答案是：10．14．（2021?平定縣一模）學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為600平方米，求小道的寬．若設(shè)小道的寬為x米，則可列方程為（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．【解答】解：把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊可得矩形的長為（35﹣2x）米，寬為（20﹣x）米，∴可列方程為（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0），故答案為（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．15．（2021?東西湖區(qū)校級模擬）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．據(jù)此規(guī)律計(jì)算：每件商品降價20元時，商場日盈利可達(dá)到2100元．【解答】解：∵降價1元，可多售出2件，降價x元，可多售出2x件，盈利的錢數(shù)=50﹣x，由題意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化簡得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵該商場為了盡快減少庫存，∴降的越多，越吸引顧客，∴選x=20，故答案為：20．16．（2021?東西湖區(qū)校級模擬）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣多數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支一共是91個，則每個支干長出的小分支數(shù)目為9．【解答】解：設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，根據(jù)題意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=﹣10（不合題意，應(yīng)舍去）；∴x=9；故答案為：917．（2021春?乳山市期末）如圖，一塊矩形鐵皮的長是寬的2倍，將這個鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，若盒子的容積是240cm3，則原鐵皮的寬為11cm．【解答】解：設(shè)這塊鐵片的寬為xcm，則鐵片的長為2xcm，由題意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240解得x1=11，x2=﹣2（不合題意，舍去）答：這塊鐵片的寬為11cm．18．（2021秋?洪山區(qū)期中）衛(wèi)生部門為控制流感的傳染，對某種流感研究發(fā)現(xiàn)：若一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，若按此傳染速度，第三輪傳染后，患流感人數(shù)共有1000人．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為x人，第一輪過后有（1+x）個人感染，第二輪過后有（1+x）+x（1+x）個人感染，那么由題意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x﹣99=0，解得x=9或﹣11，x=﹣11不符合題意，舍去．那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為9人．第三輪傳染后，患流感人數(shù)共有：100+9×100=1000．故答案為1000．19．（2021秋?臨汾校級月考）如圖，要建一個面積為130m2的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長16m）并在與墻平行的一邊開一道1m寬的門，現(xiàn)有能圍成32m長的木板，倉庫的長和寬分別為10m與13m．【解答】解：設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為x，依題意得（32﹣2x+1）x=130，2x2﹣33x+130=0，（x﹣10）（2x﹣13）=0，∴x1=10或x2=6.5，當(dāng)x1=10時，32﹣2x+1=13＜16；當(dāng)x2=6.5時，32﹣2x+1=20＞16，不合題意舍去．答：倉庫的長和寬分別為13m，10m．故答案為：10，13．三．解答題（共11小題）20．（2021春?沂源縣期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，開方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）這里a=2，b=﹣2，c=﹣5，∵△=8+40=48，∴x==．21．（2021?金堂縣一模）用規(guī)定的方法解下列方程①x2﹣2x﹣8=0（因式分解法）②（x﹣4）2=9（直接開平方法）③2x2﹣4x﹣1=0（公式法）④x2+8x﹣9=0（配方法）【解答】解：①∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x+2）（x﹣4）=0，∴x+2=0或x﹣4=0，∴x1=﹣2，x2=4；②∵（x﹣4）2=9，∴x﹣4=±3，∴x1=1，x2=7；③∵2x2﹣4x﹣1=0，∴a=2，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=16+8=24，∴x===1±，∴x1=1﹣，x2=1+；④∵x2+8x﹣9=0，∴x2+8x+16﹣16﹣9=0，∴（x+4）2=25，∴x+4=±5，∴x1=1，x2=﹣9．22．（2021春?阜寧縣期末）選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣6x=7（2）2x2﹣6x﹣1=0（3）3x（x+2）=5（x+2）【解答】解：（1）方程變形得：x2﹣6x﹣7=0，分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0，解得：x1=7，x2=﹣1；（2）這里a=2，b=﹣6，c=﹣1，∵△=36+8=44，∴x==；（3）方程變形得：（3x﹣5）（x+2）=0，解得：x1=，x2=﹣2．23．（2021?唐河縣一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取滿足條件的最大整數(shù)時，求方程的根．【解答】解：（1）根據(jù)題意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m滿足條件的最大整數(shù)為5，則原方程化為3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．24．（2021?洛陽模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）當(dāng)m取什么值時，原方程沒有實(shí)數(shù)根；（2）對m選取一個合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，并求出這兩個實(shí)數(shù)根．【解答】解：（1）∵方程沒有實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0，∴m＜﹣，∴當(dāng)m＜﹣時，原方程沒有實(shí)數(shù)根；（2）由（1）可知，當(dāng)m≥﹣時，方程有實(shí)數(shù)根，當(dāng)m=1時，原方程變?yōu)閤2﹣4x+1=0，設(shè)此時方程的兩根分別為x1，x2，解得x1=2+，x2=2﹣．25．（2021?信陽一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根．（2）若等腰△ABC的一邊長為2，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求△ABC的周長．【解答】（1）證明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)△ABC的底邊長為2時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則（k﹣3）2=0，解得k=3，方程為x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周長為：2+3+3=8；當(dāng)△ABC的一腰長為2時，方程有一根為2，方程為x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周長為：2+2+3=7．26．（2021?西峽縣二模）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若原方程的一個根是1，求此時m的值及方程的另外一個根．【解答】解：（1）由題意知，m﹣1≠0，所以m≠1．∵原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=22﹣4（m﹣1）×（﹣3）=12m﹣8＞0，解得：m＞，綜上所述，m的取值范圍是m＞且m≠1；（2）把x=1代入原方程，得：m﹣1+2﹣3=0．解得：m=2．把m=2代入原方程，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3．∴此時m的值為2，方程的另外一個根為是﹣3．27．（2021?平武縣一模）已知關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）是否存在實(shí)數(shù)k使方程兩根的倒數(shù)和為2？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）當(dāng)k=0時，方程變形為x+2=0，解得x=﹣2；當(dāng)k≠0時，△=（2k+1）2﹣4?k?2=（2k﹣1）2，∵（2k﹣1）2≥0，∴△≥0，∴當(dāng)k≠0時，方程有實(shí)數(shù)根，∴無論k取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）存在，設(shè)方程兩根為x1、x2，則x1+x2=﹣，x1x2=，∵+=2，即=2，∴=2，即﹣=2，解得：k=﹣，故存在實(shí)數(shù)k使方程兩根的倒數(shù)和為2．28．（2021?宛城區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求證：不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個根是2，求m的值及方程的另一個根．【解答】（1）證明：當(dāng)m=0時，方程變形為﹣2x+2=0，解得x=1；當(dāng)m≠0時，△=（m+2）2﹣4m?2=（m﹣2）2≥0，方程有兩個實(shí)數(shù)解，所以不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的另一個根為t，根據(jù)題意得2+t=，2t=，則2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一個根為1．29．（2021秋?余干縣校級期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．【解答】解：∵x2+y2+6x﹣4y+13=0，∴（x+3）2+（y﹣2）2=0，∴x+3=0，y﹣2=0，∴x=﹣3，y=2，∴（xy）﹣2=（﹣3×2）﹣2=．30．（2021?洪澤縣一模）如圖，要設(shè)計(jì)一本畫冊的封面，封面長40cm，寬30cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形畫．如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：≈2.236）．【解答】解一：設(shè)上、下邊襯寬均為4xcm，左、右邊襯寬均為3xcm，則（40﹣8x）（30﹣6x）=×40×30．整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2，∴x1≈0.53，x2≈9.47（舍去），答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm．解二：設(shè)中央矩形的長為4xcm，寬為3xcm，則4x×3x=×40×30，解得x1=4，x2=﹣4（舍去），∴上、下邊襯寬為20﹣8≈2.1，左、右邊襯寬均為15﹣6≈1.6，答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm．本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題目：定積分思想的理論延拓及應(yīng)用學(xué)院專業(yè)班級學(xué)號姓名指導(dǎo)教師山東財(cái)政學(xué)院教務(wù)處制二Ｏ一一年五月定積分思想的理論延拓及應(yīng)用xxx內(nèi)容摘要：一直以來定積分問題就是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是研究生入學(xué)考試重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，所以本文對定積分的起源、發(fā)展以及它在數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用做了重點(diǎn)研究。幷利用一些例題對這些問題做除了詳細(xì)解析。關(guān)鍵詞：定積分柯西微分方程物理幾何經(jīng)濟(jì)變量一、定積分的概念1.1定積分的定義一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分．記為：其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限．說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）稱為，而不是．（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點(diǎn)；③求和：；④取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動路程；變力做功1.2定積分的幾何意義如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積．說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負(fù)號．分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值．考察和式不妨設(shè)于是和式即為陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）1.3定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2（其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4（其中a<c<b）1.4用定積分求解簡單的問題1.4.1求立體圖形的體積

用類似求圖形面積的思想我們也可以求一個立體圖形的體積,常見的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,解此類題常用的方法是我們將此物體劃分成許多基本的小塊,每塊的厚度為,假設(shè)每一個基本的小塊橫截面積為A（x）,則此小塊的體積是A(x),將所有的小塊加起來，另，我們可以得到其體積v=lim

其中a和b分別為計(jì)算體積的起始值和終了值.

下面來看幾個例題例1求橢圓面所圍立體的體積解：以平面)截橢球面,得橢圓在YOZ平面上的正投影所以截面面積函數(shù)為于是求得橢球體積顯然當(dāng)=r時,就等于球的體積1.4.2近些年來，定積分還越來越多的被廣泛應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)中的一些問題上來，下面來討論一下定積分在證明不等式，等式和一些數(shù)列的極限的方面的應(yīng)用證明不等式運(yùn)用積分來證明不等式，一般要利用到積分的如下性質(zhì)：設(shè)與都在上可積且；則特別的當(dāng)時，有例2證明貝努利不等式已知且且求證：證明：若或且時，。因此即為。若或且時因此由此可得。綜合以上可得：當(dāng)時，且且時有由上面的證明我們可以推廣，去掉條件時，結(jié)論仍然成立．所以，我們可以得到一個一般的結(jié)論設(shè)則若時，有若或時，有當(dāng)且僅當(dāng)時，兩式中的等號成立例3．已知是實(shí)數(shù)，并且，其中是自然對數(shù)的底，證明證明：當(dāng)時，要證明，只要證明既要證明時，因?yàn)閺亩援?dāng)時，于是得到求和：根據(jù)微分與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系,先對和式積分,利用已知數(shù)列的和式得到積分和,再求導(dǎo)即可.二、定積分在幾何中的應(yīng)用2.1定積分的微元法定積分的應(yīng)用很廣，僅介紹它在幾何方面和物理方面的一些應(yīng)用．首先說明一種運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題時常用的方法——將所求量表達(dá)成為定積分的分析方法——微元法（或元素法）.在將具體問題中所求的量（如曲邊梯形的面積，變速直線運(yùn)動的路程）表達(dá)成定積分：時，總是把所求量看作是與變量的變化區(qū)間相聯(lián)系的整體量．當(dāng)把區(qū)間劃分為若干小區(qū)間時，整體量就相應(yīng)地分為若干部分量，而整體量等于各部分量之和，這一性質(zhì)稱為所求量對于區(qū)間具有可加性.劃分區(qū)間后，在各部分區(qū)間上，求出部分量的近似表達(dá)式，由可加性，總量的近似值可以表達(dá)成和式（由于點(diǎn)任意選取時，和式極限有確定的值，常取為區(qū)間的左端點(diǎn)），從而這個和式的極限就是所求量的精確值，于是由定積分的定義，總量可用定積分來表達(dá)一般地，如果某一實(shí)際問題中所求量滿足以下條件：是與變量的變化區(qū)間有關(guān)的量，且對于該區(qū)間具有可加性，所求量就可用定積分來計(jì)算.具體步驟如下：（1）確定積分變量，并求出相應(yīng)的積分區(qū)間（2）在區(qū)間上任取一小區(qū)間，并在該小區(qū)間上找出所求量的微元（3）寫出所求量的積分表達(dá)式，然后計(jì)算它的值.這里通常稱為所求量的微分（或元素），這種直接在小區(qū)間上找積分表達(dá)式從而得出定積分表達(dá)式的方法，通常稱為微元法（或元素法）.2.2定積分求解平面圖形面積2.2.1根據(jù)定積分的幾何意義，由區(qū)間連續(xù)曲線、、及直線所圍成的平面圖形的面積A，由定積分的性質(zhì)，此式可寫為(利用微元法求解可得同樣的結(jié)果)其中d就是面積元素2.2.2圖5-17某些平面圖形，用極坐標(biāo)計(jì)算它們的面積比較方便．用微元法計(jì)算：由極坐標(biāo)方程所表示的曲線與射線所圍成的曲邊扇形面積（圖5-17）．以極角為積分變量，積分區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，與它相應(yīng)的小曲邊扇形面積近似于以為圓心角．為半徑的圓扇形面積，從而得到面積元素于是所求面積為例4計(jì)算心形線所圍成的平面圖形的面積（圖5-18）．解：由于圖形對稱于極軸，只需算出極軸以上部分面積，再2倍即得所求面積A．對于極軸以上部分圖形，的變化區(qū)間為．相應(yīng)于上任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積近似于半徑為、圓心角為的圓扇形的面積．從而得到面積元素圖5-18，得====所以，所求面積為2.3用定積分求解圖形體積2.3.1設(shè)一旋轉(zhuǎn)體是由曲線與直線、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成（圖5-19）．現(xiàn)用微元法求它的體積．在區(qū)間上任取，對應(yīng)于該小區(qū)間的小薄片體積近似于以為半徑，以為高的薄片圓柱體體積，從而得到體積元素為圖5-19從a到b積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為類似地，若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線與直線及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，則其體積為例5求橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（圖5-20）．圖5-20解將橢圓方程化為體積元素為所求體積為=當(dāng)a=b=R時，得球體積V=2.3.2從計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的過程中可以看出：如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面的面積，那么，這個立體的體積也可以用定積分計(jì)算．圖5-22如圖5-22所示，取上述定軸為x軸，并設(shè)該立體在過點(diǎn)x=a、x=b且垂直于x軸的兩個平面之間，以A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積．A(x)為x的已知的連續(xù)函數(shù)．取x為積分變量，它的變化區(qū)間為．立體中相應(yīng)于上任一小區(qū)間的薄片的體積，近似于底面積為A(x)、高為dx的扁柱體的體積，即體積元素于是所求立體的體積為例6一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角（圖5-23）．計(jì)算這個平面截圓柱所得立體的體積．解：取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸，以過底圓中心且垂直x軸的直線為y軸．此時，底圓的方程為．立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是直角三角形．它的兩條直角邊的長度分別為，即．于是截面面積為圖5-23因此所求立體體積為=三．定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用3.1常見的經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)3.1.1需求量是指在特定時間內(nèi)，消費(fèi)者打算并能夠購買的某種商品的數(shù)量，用Q表示，它與商品價格P密切相關(guān)，通常降低商品價格使需求量增加；提高商品價格會使需求量減少.如果不考慮其它因素的影響（或其它因素不變），則Q是P的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作Q=f(P)它通常是一個單調(diào)減少函數(shù).常見的需求函數(shù)有以下幾種類型：1.線性需求函數(shù)Q=a+bP(a>0,b>0)2.二次需求函數(shù)Q=a?bP?(a>0,b>0,c>0)3.指數(shù)需求函數(shù)(a>0,b>0)有時也把Q=f(P)的反函數(shù)P=f?1(Q)也稱為需求函數(shù).3.1.2供給量是指在特定時間內(nèi)，廠商愿意并能夠出售的某種商品的數(shù)量，用S表示，假設(shè)除了商品的價格P外影響供給的其它因素均不變，則S是P的函數(shù)S=g(P)它通常是一個單調(diào)增函數(shù).常見的供給函數(shù)有以下幾種類型：1.線性供給函數(shù)S=?a+bP(a>0,b>0)2.指數(shù)供給函數(shù)S=(a>0,b>0)當(dāng)Q=S時，市場的供需處于平衡狀態(tài)，此時的價格稱為均衡價格，需求（或供給）量稱為均衡數(shù)量.當(dāng)商品由某廠商獨(dú)家生產(chǎn)時，廠商是價格的制定者，它自然會考慮消費(fèi)者對價格的反應(yīng)并依需求規(guī)律組織生產(chǎn)，其產(chǎn)量即需求量，價格與產(chǎn)量（需求量）的關(guān)系由需求函數(shù)確定，稱該商品市場為完全壟斷市場；當(dāng)商品由眾多互不占優(yōu)勢的廠商共同生產(chǎn)時，各廠商之間、消費(fèi)者之間展開競爭并最終使市場處于均衡狀態(tài)，此時商品價格即為均衡價格,單一廠商或消費(fèi)者的行為（改變產(chǎn)量或需求量）不再影響市場均衡，稱該商品市場為完全競爭市場.3.1.3在生產(chǎn)和經(jīng)營活動中，如果投入的各要素價格不變，則成本C是產(chǎn)量開銷售量Q的函數(shù)C=C(Q)，稱為總成本函數(shù).一般地總成本函數(shù)由兩部分組成C(Q)=其中為固定成本，它與產(chǎn)量無關(guān)，如廠房、設(shè)備的折舊費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)等;為可變成本，它隨產(chǎn)量的增加而增加，如原材料、動力、工人的工資等.常見的成本函數(shù)是線性函數(shù).C(Q)=+aQ(a.>0)以總成本除以產(chǎn)量，得平均成本函數(shù)其中與分別稱為平均固定成本與平均可變成本.廠商銷售Q單位的商品所提收入為R=R(Q)，稱為總收入（益）函數(shù).設(shè)商品的價格為P，則總收入函數(shù)為R(Q)=PQ總利潤L等于總收入與總成本的差，于是總利潤函數(shù)為L(Q)=R(Q)?C(Q)3.1.4生產(chǎn)函數(shù)是指指產(chǎn)量Q與各種投入要素之間的函數(shù)關(guān)系其中為n種要素的投入量.如果只考慮兩種投入要素：資本K和勞動L,則生產(chǎn)函數(shù)為Q=f(K,L)常見的生產(chǎn)函數(shù)有1.線性生產(chǎn)函數(shù)Q=aK+bL(a,b>0)2.Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)(A,α,β>0)上兩個生產(chǎn)函數(shù)都滿足f(λK,λL)=λf(K,L),這稱為規(guī)模報酬不變.3.2定積分在邊際函數(shù)中的應(yīng)用積分是微分的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù).設(shè)總量函數(shù)P(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，其邊際函數(shù)為P′(x)，[a,x]∈I，則總有函數(shù)當(dāng)x從a變到b時，P(x)的改變量為將x改為產(chǎn)量Q，且a=0時，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤L(Q)，可得其中即為固定成本，為可變成本．（因?yàn)椋├?已知某公司獨(dú)家生產(chǎn)某產(chǎn)品，銷售Q單位商品時，邊際收入函數(shù)為（元/單位）（a>0,b>0,c>0）求：(1)公司的總收入函數(shù)；(2)該產(chǎn)品的需求函數(shù).解：(1)總收入函數(shù)為===(2)設(shè)產(chǎn)品的價格為P，則，得需求函數(shù)為例8某企業(yè)想購買一臺設(shè)備，該設(shè)備成本為5000元．T年后該設(shè)備的報廢價值為S(t)=5000-400t元，使用該設(shè)備在t年時可使企業(yè)增加收入850-40t（元）．若年利率為5%，計(jì)算連續(xù)復(fù)利，企業(yè)應(yīng)在什么時候報廢這臺設(shè)備？此時，總利潤的現(xiàn)值是多少？解：T年后總收入的現(xiàn)值為T年后總利潤的現(xiàn)值為令L′(T)=0，得T=10．當(dāng)T<10時，L′(T)>0，當(dāng)T<10時，L′(T)<0，則T=10是惟一的極大值點(diǎn)．即T=10時，總利潤的現(xiàn)值最大，故應(yīng)在使用10年后報廢這臺機(jī)器．此時企業(yè)所得的利潤的現(xiàn)值為(元)3.3定積分在消費(fèi)者剩余或生產(chǎn)者剩余中的應(yīng)用在市場經(jīng)濟(jì)中，生產(chǎn)并銷售某一商品的數(shù)量可由這一商品的供給曲線與需求曲線萊描述（下圖）．需求量與供給量都是價格的函數(shù)，用橫坐標(biāo)表示價格，縱坐標(biāo)表示需求量或供給量．在市場經(jīng)濟(jì)下，價格和數(shù)量在不斷調(diào)整，最后趨向平衡價格和平衡數(shù)量，分別用和表示，也即供給曲線與需求曲線的交點(diǎn)E．在圖中，是供給曲線在價格坐標(biāo)軸上的截距，也就是當(dāng)價格為時，供給量是零，中有價格高于時，才有供給量．而是需求曲線的截距，當(dāng)價格為時，需求量是零，只有價格低于時，才有需求．則表示當(dāng)商品免費(fèi)贈送是的最大需求在市場經(jīng)濟(jì)中，有時一些消費(fèi)者愿意對某種商品付出比市場價格P0更高的價格，由此他們所得到的好處稱為消費(fèi)者剩余(CS).由圖7-16可以看出：(1)同理，對生產(chǎn)者來說，有時也有一些生產(chǎn)者愿意以比市場價格P0低的價格出售他們的商品，由此他們所得到的好處稱為生產(chǎn)者剩余(PS)，如圖7-16所示，有(2)例9設(shè)需求函數(shù)Q＝8-，供給函數(shù)Q＝，求消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余.解:首先求出均衡價格與供需量.得＝15，＝3.令8-＝0，得P1＝24，令＝0，得＝9，代入(3)、(4)式得CS＝，PS＝.3.4定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用3.4.1現(xiàn)在，我們討論國民收入分配不平等的問題.觀察如下圖中的勞倫茨(MOLorenz)曲線.橫軸OH表示人口(按收入由低到高分組)的累計(jì)百分比，縱軸OM表示收入的累計(jì)百分比.當(dāng)收入完全平等時，人口累計(jì)百分比等于收入累計(jì)百分比，勞倫茨曲線為通過原點(diǎn)、傾角為45°的直線；當(dāng)收入完全不平等時，極少部分(例如1%)的人口卻占有幾乎全部(100%)的收入，勞倫茨曲線為折線OHL.實(shí)際上，一般國家的收入分配，既不會是完全平等，也不會是完全不平等，而是在兩者之間，即勞倫茨曲線是圖中的凹曲線ODL.易見勞倫茨曲線與完全平等線的偏離程度的大小(即圖示陰影面積)，決定了該國國民收入分配不平等的程度.為方便計(jì)算，取橫軸OH為x軸，縱軸OM為y軸，再假定該國某一時期國民收入分配的勞倫茨曲線可近似表示為y＝f(x)，則即不平等面積A＝最大不平等面積(A+B)-B＝12-f(x)dx系數(shù)表示一個國家國民收入在國民之間分配的不平等程度，經(jīng)濟(jì)學(xué)上，稱為基尼(Gini)系數(shù)，記作G.＝顯然，G＝0時，是完全平等情形；G＝1時，是完全不平等情形.例10某