利用基本不等式求最值的類型及方法之歐陽引擎創(chuàng)編

歐陽弓歐陽弓I擎創(chuàng)編歐陽弓歐陽弓I擎創(chuàng)編2021.01.012021.01.012021.01.012021.01.01歐陽引擎創(chuàng)編歐陽引擎創(chuàng)編歐陽引擎創(chuàng)編利用基本不等式求最值的類型及方

法歐陽弓I擎(2021.01,01)一、幾個重要的基本不等式:Q2+1）2+b2>2abab< （。、beR）,、一「一、1,「一一,、① 2 當且僅當a=b時，』”號成a+b>2Jaboaba+b>2Jaboab工②(a+b^X1（。、bgR+）,當且僅當a=b時，』”號成立;Q3+/73+C3(23+Z73+c3>3abc<^>abc< (a、b、ceR+),,_ ,③ 3 當且僅當a=b=c時,三”號成立；a+b+c>3ijabcoabc<④a+b+c^a+b+c>3ijabcoabc<④a+b+c^[3J3仄當且僅當a=b=c時,』”號成立.注：①注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、“定”、三等'；②熟悉個重要的不等式鏈：②熟悉個重要的不等式鏈：2 1 1 ?a+Z?1i12+/j2ab" 2 \ 2o

b二、函數(shù)/圖象及性質f(x)=ax+—。、Z?>0)=,Q5=,⑴函數(shù) x 圖象如圖：^,,f(x)=ax+—G>b>0)⑵函數(shù)” x 性質：②單調遞增區(qū)間：店2；單調遞減區(qū)間：①值域：(-°°，-2J而]U[2<^F,+oo).②單調遞增區(qū)間：店2；單調遞減區(qū)間：?仔，［-即.三、用均值不等式求最值的常見類型類型I:求幾個正數(shù)和的最小值。y=x+ (x>1)例1、求函數(shù)4Ml” 的最小值。解析:12(x-1)2(x>l)=(x-l)412(x-1)2+1(x>1)=口解析:12(x-1)2(x>l)=(x-l)412(x-1)2+1(x>1)=口x-1

~ri2(1)2>3x—1x—1~r'~r-^+1>3 §2(1)2 -2 2,當且僅當〒=2(xT)2(">D即x=2時,“二”號成立，故此函5數(shù)最小值是黑評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時，關鍵在于構造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆頂(常常是拆底

次的式子)等方式進行構造。類型n：求幾個正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值：=X2(3-2x)(0<尢<傘②》=sin?xcosx(0<x<解析：①0<解析：①0<x<—,.*.3-2x>0*.* /cc、/八 3、 /cc、「尢+尢+(3—2尢)r.y=尢2(3-2x)(0<x<―)-X'X'(3-2尢)<[ -]3=1?? 2 3 ,當且僅當x=3-2x即x=l時，"=”號成立，故此函數(shù)最大值是1。兀②°<y 則y>。,欲求y的最大值，可先求義的最大值。=-(sinx-smx-2cosx)TOC\o"1-5"\h\zy2=Sin4X-COS2X =silPX-silPX-COS2X 21,sin尢+si皿尢+2co*尢、 4<--( )3二一2 3 27,當且僅當si建尢=2co像尢 2ntanx=V^,即x=〃n?tan加時273?”號成立，故此函數(shù)最大值是歹。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值，關鍵在于構造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式(常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。類型ni：用均值不等式求最值等號不成立。4例3、若小沖尺+,求八“一尢+1（。?！?）的最小值。b解法一：（單調性法）由函數(shù)"尢）+不〃、“①圖象及性質知,_ 4■（。，1］時，函數(shù)”尢）"尢二是減函數(shù)。證明：任取匕，。1］4——)=(x-%)+4-八xx-4八TOC\o"1-5"\h\zx-x<0, <0/（5）-小2）〉°二/（5）〉小2）,4 4即“尢）=尢+1在（。，1］上是減函數(shù)。故當，=1時，/⑴=尢+1在（。，1］上有最小值5o-6)2+4-6)2+4解法二：（配方法）因0。41,則有”尢）"二一2 2易知當0CW1時，4點一且單調遞減，貝/0M耳一""+4在（。，1］上也是減函數(shù),4 4即/⑴二A是在（。，1］上是減函數(shù)，當元=1時，/⑴7+I在（?！怪箽W陽引擎創(chuàng)編歐陽引擎創(chuàng)編歐陽引擎創(chuàng)編歐陽引擎創(chuàng)編2021.01.012021.01.012021.01.012021.01.01有最小值5。解法三：(拆分法)/(x)=x+i(o<x<i)=(x+i)+|-2fi+LI當且僅當x=1時』”號成立，故此函數(shù)最小值是5O評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。類型w：條件最值問題。星二1例4、已知正數(shù)X、y滿足％y,求x+2y的最小值。解法一：(利用均值不等式),81、，c、s% .k16y1O—(—+—)(%+2y)—10+—+210+2j—,-18x+2yxy yx”x,18 1i%y<￡=16y當且僅當「一丁即％=12,y=3時.，號成立，故此函數(shù)最小值是18。8 1 x—+——1 V- 解法二：(消元法)由"y得,X-8,由Yy>0n >0又X>0nx>8x—82x2(x-8)+16 _16 .o,16___QA16x+2yx+ =x+ =x+2+ =(x-8)+ +10—2.[(x-8)*—+10=18x+2yx-8 x-8 x-8 x-8Vx-8r_2-__當且僅當 一x-8即-12,此時y=3時?”號成立，故此函數(shù)最小值是18。TOC\o"1-5"\h\z1=sin2X 8V X—_J九 sm2x11解法三：(三角換元法)令〔y則有〔y一cos2%則 ：_0、_ 8^21—sim%coszx-8csc2x+2sec2x=8(1+cot2x)+2(1+tan2x)=10+8cot2x+2tan2x>10+2>/(8cot2x)-(2tan2x)>i8,易求得％=12,此時y=3時口”號成立，故最小值是18。評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍x+2y=(―+—)(x+2y)>2j—?—?Jx-2y-8有這樣一種錯誤的求解方法： xyKo原因就是等號成立的條件不一致。類型v：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數(shù)人>滿足沖=%+y+3,試求孫、工十y的范圍。角牟法一：由x>0,y>0,貝C^=x+y+3nq—3=x+y22歷，即(板)2—2板+32。角牟得國"一1舍或923,當且僅當％=用3=%+尹3即x=y=3時取，士，號，故町的取值范圍是［9,+8)。又x+yx+y+3-xy<( )20(了十,》—4(x+y)—1220n%+yV—2(舍)或%+y>6?當且僅當x=>且^=1+>+3即x=y=3時取“二”號，故工+y的取值范圍是叵+8)。角牟法二：由x>O，y>。，孫=%+,+3=(%_1),=%+3知］。］,y= y>°n %>1則： ，-1,由x-1x+3%2+3x(x-l)2+5(x-l)+4. .. 4 _.oLZ4孫二%? = =-—— ——--二(%—1)+ +5>2(x-1)+5=9x-1 x-1 x-1 x-1VX-1 ,4當且僅當== ,并求得k3時取』，，號，故町的取值范圍是9+8)。x+y=%+ =%+ =%++1=(x-l)+ +2>2^J(x-l) +2=6x-1 x-1 x-1 x-1Vx-1當且僅當即"=3,并求得尸3時取“二，號，故沖的取值范圍是9+8）。評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易于掌握，解法二要求掌握構造的技巧。四、均值不等式易錯例析：_(x+4)(x+9)例L求函數(shù)尸一x—的最值。^(x+4)(x+9)=x2+13x+36=13+x+36^3+.^36=25X X X \X36

X——當且僅當X即1=±6時取等號。所以當X=±6時，y的最小值為25,此函數(shù)沒有最大值。分析：上述解題過程中應用了均值不等式，卻忽略了應用均值不等_(x+4)(x+9)式求最值時的條件導致錯誤。因為函數(shù)'=-x—的定義域為5o)u(。，+8),所以須對％的正負加以分類討論。WA IQZ7y=13+x+—＞13+2A'x--=25正解：1)當x＞。時， X\X36X- 當且僅當，即—6時取等號。所以當工=6時,y=25minC出計 -->0 (t)+(*N2]T)(*=12TOC\o"1-5"\h\z2)當x<0時， x, -J、___36當且僅當r=一三，即1=-6時取等號，所以當％=-6時,y=13-12=1max *例2.當x＞。時，求廠—+裝的最小值。9 ? 9 6上 .^>0^y=4x+——>2'4x-——=-錯斛：因為 \X27X9 3)9 6n-o所以當且僅當 裝即》情時，幻「77=2加。分析：用均值不等式求“和”或“積”的最值時，必須分別滿足“積為定9值”或“和為定值”，而上述解法中以與區(qū)的積不是定值，導致錯誤。TOC\o"1-5"\h\z9 Q31 9~ ,_,、|x>0,y=4x+——=2x+2x+——>3^'2x?2x?——=3V36正解：因為 X2 X2\X29 _^36當且僅當"裝，即"亍時等號成立，所以當"亍時，回。="2+5 ￡R)例3.求4+4 的最小值。y=%+5--《+4+ 1—>214x2+4- 1_=2錯解：因為62+4 &2+4 \ 7x2+4 ,所以y=2min J%2+4―— — 分析：忽視了取最小值時須 "不再成立的條件，而此式化解得X2=-3,無解，所以原函數(shù)y取不到最小值2。_1正解：令”G7(拈2),則尸‘+ )_1又因為此1時，廠”7是遞增的。所以當年2,即工=。時，5y=-2O—+一=1例4.已知x，"A+且xy,求沅=x+)的最小值.*.*!=—+—>~^=nJxy>4 ,_錯解：X)向 廣"X+Y22歷28,.5的最小值為8.1_4分析：解題時兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為1二5和l=匕而這兩個式子不能同時成立，故取不到最小值8./ 、/1 4、匚4xy、廠4八 u—(x+y)(—+—)=5+—+—25+4=9正解： ％yy%當且僅當Vxggx=3,y=6時等號成立.二.m的最小值為9.綜上所述，應用均值不等式求最值要注意：一要正：各項或各因式必須為正數(shù)；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：湊項5 1例1：已知求函數(shù)尸4%-2+c的最大值。1解：因4x-5<。，所以首先要“調整”符號，又(以一幻不不是常歐陽引擎創(chuàng)編 歐陽引擎創(chuàng)編 2021.01.01歐陽引擎創(chuàng)編 歐陽引擎創(chuàng)編 2021.01.01歐陽引擎創(chuàng)編 歐陽引擎創(chuàng)編 2021.01.01歐陽引擎創(chuàng)編 歐陽引擎創(chuàng)編 2021.01.01<-2+3=1<-2+3=1,y9x=2+—+10>6+10=16xy1+9-1xy可得x=4,y=12時，數(shù)，所以對4%-2要進行拆、湊項，“<I-5-4x>0,TOC\o"1-5"\h\z“c1 1「「.y=4x-2+ =-5-4x+ +34x-5 I 5-4x),,,5-4x=-1_ 一，當且僅當 5-4x,即x=1時，上式等號成立，故當x=1時，ymax技巧二：湊系數(shù)例2.當口匚門4時，求y=x（8-2x）的最大值。解析：由口CU4知，8-2^0,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到2x+（8-2x）=8為定值，故只需將y=x（8-2x）湊上一個系數(shù)即可。當改*--即x=2時取等號當x=2時，y=x（8-2x）的最大值為8。技巧三：分離x2+7x+10例3.求y=x+1 （x>一）的值域。解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。, y>2：（x+1）義+5=9 , ,,當二-1,即一1二口時,' x+1 （當且僅當x=1時取“=”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x+1,化簡原式在分離求最值。, y>2,:tx—+5=9當q-1,即t=克+1口口時,、t（當t=2即x=1時取“=”號）。技巧五：在應用最值定理求最值時,若遇等號取不到的情況,應結

a _x2+5合函數(shù)f（x）=x+x的單調性。例：求函數(shù)一的值域。- y—x2+5='；x2+4+——1=t+-（t>2）解：令尸2+4—t（t>2），則y—￥百 口2+4 t因”0't.卜1,但t=1解得t-±1不在區(qū)間h內），故等號不成立，考慮單調性。因為y=t+1在區(qū)間k+Q單調遞增，所以在其子區(qū)間h+Q為單調遞>5增函數(shù)，故y2。「5 ）一,+8所以，所求函數(shù)的值域為I2人技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯。。1+9-12：已知x〉0,y〉0,且xy，求x+y的最小值?！┝〉0,y〉0,—i——1 二.x+y=(x+y)解： xy,y_9x當且僅當x―了時，上式等號成立，又