實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化(完整版)實(shí)用資料

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實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）第四節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一個(gè)階矩陣具備什么條件才能對(duì)角化？這是一個(gè)比較復(fù)雜的問題.本節(jié)我們僅對(duì)為實(shí)對(duì)稱矩陣的情況進(jìn)行討論.實(shí)對(duì)稱矩陣具有許多一般矩陣所沒有的特殊性質(zhì).內(nèi)容分布圖示★實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)(1)★實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)(2)★對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法★例1 ★例2★例3 ★例4★內(nèi)容小結(jié) ★課堂練習(xí)★習(xí)題4-4★返回內(nèi)容要點(diǎn)：定理1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都為實(shí)數(shù).注:對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣，因其特征值為實(shí)數(shù),故方程組是實(shí)系數(shù)方程組,由知它必有實(shí)的基礎(chǔ)解系,所以的特征向量可以取實(shí)向量.定理2設(shè)是對(duì)稱矩陣的兩個(gè)特征值,是對(duì)應(yīng)的特征向量.若,則與正交.定理3設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣,是的特征方程的重根,則矩陣的秩,從而對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.定理4設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣,則必有正交矩陣,使,其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.與上節(jié)將一般矩陣對(duì)角化的方法類似，根據(jù)上述結(jié)論，可求正交變換矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的步驟為：(1)求出的全部特征值;(2)對(duì)每一個(gè)特征值,由求出基礎(chǔ)解系（特征向量）;(3)將基礎(chǔ)解系（特征向量）正交化；再單位化;(4)以這些單位向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)正交矩陣，使.注：中列向量的次序與矩陣對(duì)角線上的特征值的次序相對(duì)應(yīng).例題選講：例1(講義例1)設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣求正交矩陣P,使為對(duì)角矩陣.例2(講義例2)設(shè)有對(duì)稱矩陣試求出正交矩陣P,使為對(duì)角陣.例3(講義例3)已知(其中)有一特征值為1,求正交矩陣使得為對(duì)角矩陣.例4(講義例4)設(shè),求課堂練習(xí)1.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣試求出正交矩陣P,使為對(duì)角陣.2.設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足,且A的秩為,試求行列式的值.§7.6可以對(duì)角化的矩陣設(shè)是數(shù)域上維向量空間的一個(gè)線性變換。如果存在的一個(gè)基，使得關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有對(duì)角形式（1） 那么就說，可以對(duì)角化。類似地，設(shè)是數(shù)域上階矩陣。如果存在上一個(gè)階可逆矩陣，使得具有對(duì)角形式（1），那么就說矩陣可以對(duì)角化。由7.4看到，維向量空間的一個(gè)線性變換可以對(duì)角化的充分且必要的條件是，可以分解為個(gè)在之下不變的一維子空間的直和。然而一維不變子空間的每一個(gè)非零向量都是的屬于某一本特值的本征向量，所以上述條件相當(dāng)于說，在中存在由的本征向量所組成的基。定理令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換。如果分別是的屬于互不相同的本征值的本征向量，那么線性無關(guān)。推論設(shè)是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，是的互不相同的本征值。又設(shè)是屬于本征值的線性無關(guān)的本征向量，，那么向量線性無關(guān)。推論7.6.3令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換。如果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根，那么存在的一個(gè)基，使關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式。推論7.6.4令是數(shù)域上一個(gè)階矩陣。如果的特征多項(xiàng)式在內(nèi)有個(gè)單根，那么存在一個(gè)可逆矩陣，使 定理令是數(shù)域上維向量空間的一個(gè)線性變換，可以對(duì)角化的充分且必要的條件是（i）的特征多項(xiàng)式的根都在內(nèi)；（ii）對(duì)于的特征多項(xiàng)式的每一個(gè)根，本征子空間的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。推論7.6.6設(shè)是數(shù)域上一個(gè)階矩陣?？梢詫?duì)角化的充分必要條件是（i）的特征根都在內(nèi)；（ii）對(duì)于的每一個(gè)特征根，秩這里是的重?cái)?shù)?？蓪?duì)角化矩陣的應(yīng)用兩例1Fibonacci數(shù)列研究的矩陣方法在預(yù)備知識(shí)§3的例6中．我們已經(jīng)證明了著名的Fibonacci數(shù)列0,1,1,2,3,5,8,13,…的通項(xiàng)公式，同學(xué)們自然會(huì)問，這個(gè)公式是如何發(fā)現(xiàn)的？下面利用矩陣特征值、對(duì)角化工具來回答這個(gè)問題，并求．這個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系為，k=0，1，2，…(1)初始條件為．令因?yàn)?，所以?2)取，則(2)式成為．(3)由(3)式得出．(4)于是，欲求Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要計(jì)算，我們利用A的相似簡化來計(jì)算．A的特征多項(xiàng)式為||=，它的兩個(gè)根：，，是A的特征值．因此A可對(duì)角化．解齊次線性方程組得到它的一個(gè)基礎(chǔ)解系．同理可得的一個(gè)基礎(chǔ)解系是．令，則．于是(5)從(4)式及初始條件得．(6)比較(6)式兩邊的第2個(gè)分量得．(7)這就是Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式．容易算出：．(8)以上極限的近似值0.618在最優(yōu)化方法中有重要應(yīng)用．一些實(shí)際問題常?？蓺w結(jié)為求目標(biāo)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值(或最小值)，其中y=f(x)的解析表達(dá)式并不知道．假定y=f(x)在[a，b]上只有一個(gè)極值點(diǎn)(否則可將區(qū)間[a，b]劃分)，這時(shí)稱y=f(x)是單峰函數(shù)．為了求單峰函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的最大值點(diǎn)，可以在區(qū)間[a，b]的若干點(diǎn)上做試驗(yàn)求出函數(shù)值，再比較函數(shù)值的大?。绾芜x取這些試驗(yàn)點(diǎn)，使得所做試驗(yàn)次數(shù)比較少，又能迅速找出最大值點(diǎn)？可采用如下的優(yōu)選方法：第一個(gè)試點(diǎn)t1=a+0.618(b－a)，第二個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)=a+0.382(b－a)，即是點(diǎn)t1關(guān)于區(qū)間[a，b]中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，比較與，若>，則由于y=f(x)是單峰函數(shù)，其最大值點(diǎn)不可能出現(xiàn)在區(qū)間[a，]里，從而可以去掉[a，]，剩下區(qū)間[，b]．第三個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)t2=+0.618(b－)，第四個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)=+0.382(b－)．比較f(t2)與f()，如果f(t2)<f()，則去掉區(qū)間[t2，b]，剩下區(qū)間[，t2]．依次進(jìn)行下去，當(dāng)剩下的區(qū)間長度比指定的正數(shù)小時(shí)，就取剩下區(qū)間的中點(diǎn)作為所要求的點(diǎn)，稱它為最優(yōu)點(diǎn)(與真正的最大值點(diǎn)很接近的點(diǎn))．上述方法稱為0.618法，也稱為黃金分割法．它的優(yōu)點(diǎn)是可以迅速縮短搜索區(qū)間，以便找出最優(yōu)點(diǎn)．2某地區(qū)居民色盲遺傳情況的研究每一個(gè)人都有46個(gè)染色體．染色體是成對(duì)的，有22對(duì)是常染色體，一對(duì)是性染色體．男性的一對(duì)性染色體是(X，Y)；女性的一對(duì)性染色體是(X，X)．基因位于染色體上，因此基因也是成對(duì)的．在一對(duì)染色體的某一點(diǎn)位上的一對(duì)基因稱為兩個(gè)等位基因．顯性的基因用A表示，隱性的基因用a表示．色盲基因是隱性的，且只位于X染色體上．一個(gè)女性居民若她的一對(duì)性染色體的某一點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XaXA(包括XAXa這一情形，以下同)或XaXa，則她患色盲，其中Xa表示色盲基因．若她的點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XAXA，則她不患色盲．設(shè)N個(gè)女性居民中有N1個(gè)人的點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XAXA，N2個(gè)人的點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XAXa，N3個(gè)人點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XaXa．則這N個(gè)女性居民中色盲基因的頻率為．(9)令，，．(10)則r，2s，t為這N個(gè)女性居民中點(diǎn)位P上的等位基因分別為XAXA，XAXa，XaXa的人所占的比例，這些比例記成(r，2s，t)．顯然有r+2s+t=1．用這些記號(hào)，則這N個(gè)女性居民中色盲基因的頻率為s+t．類似地，一個(gè)男性居民若他的一對(duì)性染色體的某一點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XaY，則他患色盲；若他的點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XAY，則他不患色盲．設(shè)M個(gè)男性居民中有M1個(gè)人的點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XAY，M2個(gè)人的點(diǎn)位P上的兩個(gè)等位基因是XaY，則這M個(gè)男性居民中色盲基因的頻率為．令p=，q=．(11)則這M個(gè)男性居民中色盲基因的頻率為q．這里p，q為這M個(gè)男性居民中點(diǎn)位P上的等位基因分別為XAY，XaY的人所占的比例，這些比例記成(p，q)．顯然有p+q=1．由此可見，男性居民的色盲基因頻率等于男性色盲者的比例q．現(xiàn)在設(shè)某地區(qū)第一代男性居民中，點(diǎn)位P上的等位基因分別為XAY，XaY的人所占的比例為(p，q)；女性居民中點(diǎn)位P上的等位基因分別為XAXA，XAXa，XaXa的人所占的比例為(r，2s，t)．則第一代男性居民，女性居民的色盲基因頻率分別為q，s+t．我們來求該地區(qū)第二代男性居民，女性居民的色盲基因頻率．這里假設(shè)第一代男性居民與女性居民的結(jié)合是隨機(jī)的．設(shè)第二代男性居民共有L人，其中具有等位基因XAY的人，由于他的基因XA來自母親，而第一代女性居民中，基因XA的頻率為．(12)因此具有等位基因XAY的人的數(shù)目為L(r+s)．同理，具有等位基因XaY的人的數(shù)目為L(s+t)．因此第二代男性居民中色盲基因的頻率(它等于男性色盲者的比例)為．(13)由此看出，第二代男性居民中色盲基因的頻率等于第一代女性居民中色盲基因的頻率．設(shè)第二代女性居民共有W人，其中具有等位基因XAXA的人的數(shù)目為Wp(r+s)，具有等位基因XAXa的人的數(shù)目為W[p(s+t)+(r+s)q]，具有等位基因XaXa的人的數(shù)目為Wq(s+t)．由此得出，第二代女性居民色盲基因的頻率為．(14)由(14)式看出，第二代女性居民中色盲基因的頻率等于第一代男性居民和女性居民的色盲基因頻率的算術(shù)平均值．我們用，分別表示該地區(qū)第i代男性居民和女性居民的色盲基因頻率，由上述知道．(15)其中i=2，3，…．若知道了b1，c1，我們來求bn，cn．從(15)式得．(16)把(16)式右端的系數(shù)矩陣記作B．從(16)式容易得出．(17)由此可見，求bn，cn歸結(jié)為求出Bn-1．為此我們來化簡B，求其特征多項(xiàng)式，得B的特征值1，－．由此看出，B可對(duì)角化：解齊次線性方程組(I2－B)X=0，得到它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：；解齊次線性方程組(－I2－B)X=0，得到它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：．令,則．于是．(18)因此．(19)由(19)式得．(20)這說明，盡管第一代男性居民、女性居民的色盲基因頻率可能不相同，但是經(jīng)過好幾代(每一代都是隨機(jī)結(jié)合)之后，兩個(gè)性別的居民的色盲基因頻率將接近相等．（本文摘自莊瓦金編著的《高等代數(shù)教程》,國際華文出版社）41線性代數(shù)輔導(dǎo)矩陣的特征值與矩陣的對(duì)角化【基本要求】1.理解矩陣的特征值與特征向量的概念，并掌握其求法；2.理解相似矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣對(duì)角化的充要條件；3.理解實(shí)對(duì)稱矩陣的定義及有關(guān)特征值、特征向量的性質(zhì)，會(huì)用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為相似對(duì)角形矩陣?！局饕獌?nèi)容】<1>重要公式：1、A=∏ni=1nλi（λ1,λ2,,λn是n階方陣A的特征值）=∑λi（tr(A)表示A的跡）i=1n2、trA=∑ai=1ii3、λi≠0(i=1,2,,n)?A≠0?A可逆-1-14、若可逆陣A的每行之和為a≠0，則a為矩陣A的一個(gè)特征值，a為A的一?1??X=個(gè)特征值，且對(duì)應(yīng)的特征向量為?1???5、設(shè)λi為A的特征值，則k≠λik=λi?kI-A≠0?kI-A可逆?kI-A=0?kI-A不可逆-1-16、A可逆且有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量?A,A+A有相同的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。7、A~B?r(A)=r(B);tr(A)=tr(B)8、設(shè)λ是階方陣A特征值，是A對(duì)應(yīng)于λ的特征向量，則有如下表42第五章特征值與特征向量<2>可對(duì)角化的判斷方法：1.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；2.若A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A一定可以對(duì)角化；3.若A有n個(gè)互不相同的特征值，則A一定可以對(duì)角化；4.設(shè)λ1,λ2,λs是A的所有不同的特征值，且其相應(yīng)的重?cái)?shù)為k1,k2,ks，若R(λiI-A)=n-ki，i=1,2,,s，則A一定可以對(duì)角化<4>A、B有相同的特征值?R(A)=R(B)【典型例題】?-1-22??10?的特征值與特征向量.例1求A=0001???λ+1解：特征方程為|λE－A|=2-20=(λ+1)(λ－1)2=0，∴A的全部特λ-00λ-10征值為λ1=－1，λ2=λ3=1。?2x2-2x3=0?把λ1=-1代入方程組(λiI-A)X=θ,得齊次線性方程組：?-2x2=0，?-2x=03?它的一個(gè)基礎(chǔ)解系ξ1(100)，T∴A對(duì)應(yīng)于特征值λ1=-1的全部特征向量為kξ1,k是非零常數(shù).同理可得A對(duì)應(yīng)于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量為k1(101)+k2(-110)(k1,k2不全為零)..TT43線性代數(shù)輔導(dǎo)?204??－1例2已知A=060?，求一正交矩陣P，使PAP成為對(duì)角陣.402???2解特征方程為|λE－A|=(λ－6)(λ+2),∴A的全部特征值為λ1=λ2=6,λ3=-2,當(dāng)λ=6時(shí)，解方程組??4x1-4x3=0得-4x+4x=013?A對(duì)應(yīng)于λ=6的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為η1=(111)T,η2=(-12-1)T，?1??-1?1?1?它們顯然正交,所以只要對(duì)它們進(jìn)行單位化，可得：ξ1=2?。1?，ξ2=6???-1?1???-4x1-4x3=0?1??1??1??-8x2=0得η3=0?，單位化后，ξ3=當(dāng)λ=－2時(shí)，解方程組?0?，2?-1??-4x-4x=013???-1??令P=(ξ1ξ2?ξ3)=?131313-126-11??2??6???0?，則P-1AP=6?。2????1?-?2?2例3設(shè)n階矩陣A滿足A=A,證明(1)A的特征值只能是1或0；(2)A+I可逆。證:(1)設(shè)λ為A的任一特征值，x為對(duì)應(yīng)于λ的特征向量，則Ax=λx，所以A2x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ2x。2又A2x=Ax=λx,∴λx=λx,即(λ-λ)x=θ,2但x≠θ,所以λ(λ-1)=0,即λ=0或λ=1.(2)因-1不是A的特征值，故0≠-I-A=(-1)nI+A,即I+A≠0，I+A可逆。例4假設(shè)λ為n階矩陣A的一個(gè)特征值，證明：（1）若A可逆，則λ≠0，的特征值(2)若A可逆，則特征值證:(1)由條件知有非零向量ξ滿足Aξ=λξ，兩端左乘以A，得ξ=λ(Aξ)，由于ξ為非零向量，故λ≠0，于是有A-1ξ=1－1－11λ為Ak-1|A|λ為A的伴隨矩陣A的特征值。（3）λ是A的*kλξ，據(jù)特征值的定義，數(shù)1為矩λ44第五章特征值與特征向量陣A－1的特征值。|A|111ξ,A*，故（1）中的結(jié)論可寫為A*ξ=ξ，即A*ξ=λ|A||A|λ(2)由于A-1=故數(shù)|A|*λ為A的特征值。（3）由題設(shè)條件，有非零向量ξ滿足：Aξ=λξ,A2ξ=A(Aξ)=A(λξ)=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ2ξ,,Akξ=λkξ，由定義，λ是A的特征值kk例5設(shè)A為n階矩陣,試證齊次線性方程組AX=0有非零解的充要條件是A有零特征根。證:?：因AX=0有非零解，故|A|=0。因|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0，∴λ=0是A的特征值。為A的特征值，故|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0，∴|A|=0，因而AX=0?：因0有非零解。例6設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=3，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為?1??1??1???????ξ1=1,ξ2=2,ξ3=3，又向量β=??????????1???4???9??(1)將β用ξ1，ξ2，ξn3?1??1?????3??線性表出；（2）求Aβ（n為自然數(shù)）。?x1+x2+x3=1?解:（1）考慮向量方程β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，即?x1+2x2+3x3=1，?x+4x+9x=323?1把此方程組的增廣矩陣作初等行變換?1111??1111??1111??1231?→?0120?→?0120???????????1493???0382???0011??得唯一解(2,－2,1)′，故有β=2ξ1－2ξ2+ξ（2）由于Aξi=λiξi，故Anξi=λniξi；因此3。45線性代數(shù)輔導(dǎo)Anβ=An(2ξ1-2ξ2+ξ3)=2(Anξ1)-2(Anξ2)+Anξ3n+1n?1??1??1??2-2+3??-2n+1?2?+3n?3?=?2-2n+2+3n+1?=2??1????????n+3n+2??????1???4???9???2-2+3?【自我練習(xí)及解答】一、填空題：(1)n階方陣若有n個(gè)不相同的特征值，則與一個(gè)相似。(2)已知三階方陣A的特征值為1，2，3，則A-1的特征值為，A2+2A+3I的特征值為；?1?1(3)矩陣A=??1??1111?111??的非零特征值是。111??111?(4)實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是。(5)n階單位陣的全部特征根為；特征向量為。二、選擇題：(1)A是三階矩陣，特征值為λ1=0,λ2=-1,λ3=1,其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是ξ1,ξ2,ξ3,設(shè)P=(ξ1,ξ2,ξ3),則有P-1AP=?1??0??1??0???．??(A)(B)(C)(D)-1-101????????0?1?-1?-1?????(2)n階方陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對(duì)角陣相似的（A）充分必要條件（C）必要而非充分條件（B）充分而非必要條件（D）即非充分也非必要條件-1?1?(3)設(shè)λ＝2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣A2?的一個(gè)特征值等于?3?4311（A）（B）（C）（D）3424(4)設(shè)n階方陣A滿足Ak＝O（k為正整數(shù)），則（A）A＝O（B）A有一個(gè)不為零的實(shí)特征值（C）A的實(shí)特征值全為零（D）A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量(5)設(shè)A是n階矩陣，如果|A|=0，則A的特征值（A）全是零（C）至少有一個(gè)是零（B）全不是零（D）可以是任意數(shù)(6)如果與n階矩陣A相似的矩陣只有A自身，則A為（A）單位矩陣E（B）可逆矩陣46第五章特征值與特征向量（C）數(shù)量矩陣aE*（D）對(duì)角矩陣三、設(shè)A為三階方陣，且B=AA*,其中A是A的伴隨矩陣，求B的特征值和特征向量。四、設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=1，λ2=0,λ3=-1，它們對(duì)應(yīng)的特征向量依次為?1??2??-2????p1=2?,p2=-2?,p3=-1?，求A=？2?1?2????????1-2-4??－1五、試判斷矩陣A=-24-2?能否對(duì)角化？若能，則求P,使B=PAP為對(duì)角矩陣。-4-21???六、設(shè)三階方陣A的特征值為2，1，0，（1）求B=2A3-5A2+3I的特征值；（2）求A。00??1?-13?,求A10七、已知A=4-202???八、設(shè)三階方陣A有三個(gè)不同的特征值λ1,λ2,λ3,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，證明：向量組β,Aβ,A2β線性無關(guān)。?2-12??九、設(shè)A=5-33?，試求A的特征多項(xiàng)式、特征值及特征向量。-10-2???習(xí)題參考答案:11一．(1)對(duì)角陣;(2)1,,;6,11,18;(3)4;(4)正交的;(5)n重根λ=1;為任一個(gè)23非零n維向量。二．(1)(D);(2)(B);(3)(B);(4)(C);(5)C;(6)C*A-1三.解：A=得，B=AA*=AI3,AI3的特征值為1，∴B的特征值為λ1=λ2=λ3=A;?1??0??0????對(duì)應(yīng)的全部特征向量為k10?+k21?+k30?,其中k1,k2,k3不全為0．0?0?1???????四.解：顯然P以他們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)造可逆矩陣，P2，P3線性無關(guān)，1P=(P1P2?12-2??P3)=2-2-1?,則212???P-122??1?1=2-21?，9??-2-12??1??-1PAP=0?-1???，47線性代數(shù)輔導(dǎo)?-1?1??-1=∴A=P00?P-1????3013???。0??00??50?.05??22五.解:A?-4?2-1-1??-1是實(shí)對(duì)稱矩陣,∴A可以對(duì)角化.取P=120?，則B=PAP=00201????(值得注意的是，此題沒有要求找出一個(gè)正交矩陣P來，所以千萬不要形成了思維定勢，見到實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化便對(duì)求出的特征向量正交化、單位化，一定要看清題目。另外此題的答案并不唯一。)?2??2??-1，?六．解：（1）由題意，存在可逆矩陣P，使P-1AP=，∴A=P11?P?0?0??????2??2??1??-1??-1?-1?-1?-1∴B=2P1P-5P1P+3P1P=P0????P0?0?1?3?????????，32∴B的特征值為-1，0，3（2）A=∏λi=13i=2?1?0=0λ-1七.解：①特征方程為-400-3=(λ-1)(λ+1)(λ-2)=0，λ-2λ+102∴A的特征值為λ1=1，λ2=-1，λ3=2經(jīng)計(jì)算可得，A對(duì)應(yīng)于特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=2的線性無關(guān)的特征向量分別為：x1=(152),x2=(010),x3=(011).TTT?100??()P=xxx=511②構(gòu)造可逆矩陣?123201????1??-1-1?③寫出對(duì)角矩陣B=PAP=2???④A10=PB10P-1?100??100??100??1???=511?010?-31-1?=2-211201?00210?-201?2-211?????????1210-1?0210??0048第五章特征值與特征向量八．證明：考慮向量方程k1β+k2(Aβ)+k3(A2β)=θ（1）22由Aβ=λ1α1+λ2α2+λ3α3,A2β=λ1α1+λ22α2+λ3α3,得：22∴(k1+k2λ1+k3λ1)α1+(k1+k2λ2+k3λ2)α+(k+kλ+kλ2212333)α3=θ由λ1,λ2,λ3互不相同知α1,α2,α3線性無關(guān)，22∴k1+k2λ1+k3λ1=k1+k2λ2+k3λ22=k1+k2λ3+k3λ3=0（2）這是一個(gè)關(guān)于k1,k2,k3的齊次線性方程組，其系數(shù)行列式是一個(gè)3階范得蒙行列式，其值為(λ2-λ1)(λ3-λ1)(λ3-λ2)≠0，所以，（1）和（2）式只有零解。即向量組β,Aβ,A2β線性無關(guān)。3九.解：|λE－A|=(λ+1)；λ1=λ2=λ3=－1；特征向量為k(1,1,－1)(k≠0)。可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用01數(shù)本蔡美麗摘要：對(duì)角化矩陣在求高次冪矩陣，已知特征值及特征向量求矩陣，求行列式，判斷矩陣相似等方面的應(yīng)用。正文：把一個(gè)矩陣化為對(duì)角矩陣，不但可以使矩陣運(yùn)算簡化，而且在理論上和應(yīng)用上都具有十分重要的意義。（一）求方陣的高次冪。 當(dāng)n階矩陣A可對(duì)角化時(shí)，計(jì)算其高次冪有簡單方法。事實(shí)上，若有=.即有則有，而，故例1：已知，求。解：可求得，所以A的特征值為。對(duì)應(yīng)于有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。對(duì)應(yīng)于。故A可對(duì)角化，則，所以例2：已知，求的值。解：A有三個(gè)互異的特征值，所以存在可逆陣P使而故。（二）利用特征值及特征向量求矩陣。例3：設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為，對(duì)應(yīng)于，求A。解：因?yàn)锳為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，故必可對(duì)角化。又因是A的二重特征值，故A的與特征值1對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，設(shè)為都與正交。設(shè)所求特征向量為，則，即由得。規(guī)范化，得。作正交矩陣。則，有，所以，=（三）利用特征值求行列式的值。例4：已知三階矩陣A的特征值為1，-1，2，設(shè)矩陣，試求：（1）矩陣B的特征值及其相似的對(duì)角矩陣。（2）行列式解：（1）因?yàn)槿A方陣A有三個(gè)相異的特征值1，-1，2，故存在可逆矩陣P，使，則。從而，所以于是B的特征值為-4，-6，-12，與B相似的對(duì)角矩陣為。（2）因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤男辛惺剑?，又，令則。（四）關(guān)于相似（或?qū)牵┚仃嚨淖C明題。例5：證明：秩等于r的實(shí)對(duì)稱矩陣可以表成r個(gè)秩等于1的實(shí)對(duì)稱矩陣之和。證：據(jù)題意，設(shè)，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣P，使，又于是=以上表明都是秩為1的對(duì)稱矩陣。故A可表成r個(gè)秩為1的實(shí)對(duì)稱矩陣之和。參加文獻(xiàn)：北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研代數(shù)小組編，高等代數(shù)，北京：高等教育出版社1998張禾瑞編，高等代數(shù)，北京：高等教育出版社1997李啟文，謝季堅(jiān)編，線性代數(shù)理論與解題方法，長沙：湖南大學(xué)出版社2001徐仲主編，線性代數(shù)典型題分析解集，西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社2001錢志強(qiáng)編，線性代數(shù)教與學(xué)參考，北京：中國致公出版社2001題目：可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用姓名：蔡美麗單位：莆田學(xué)院01級(jí)數(shù)本學(xué)號(hào)：2001141121學(xué)院2021屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))矩陣的對(duì)角化及其應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：AGraduationThesis(Project)SubmittedtoSchoolofScience,HubeiUniversityforNationalitiesInPartialFulfillmentoftheRequiringforBSDegreeIntheYearof2021DiagonalizationoftheMatrixanditsApplicationsStudentNameStudentNo.:Specialty:Supervisor:DateofThesisDefense:DateofBookbinding:摘要矩陣在大學(xué)數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要工具，在很多方面應(yīng)用矩陣能簡化描述性語言，而且也更容易理解，比如說線性方程組、二次方程等.矩陣相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，利用相似可以把矩陣進(jìn)行分類，其中與對(duì)角矩陣相似的一類矩陣尤為重要，這類矩陣有很好的性質(zhì)，方便我們解決其它的問題.本文從矩陣的對(duì)角化的諸多充要條件及充分條件著手，探討數(shù)域上任意一個(gè)n階矩陣的對(duì)角化問題，給出判定方法，研究判定方法間的相互關(guān)系，以及某些特殊矩陣的對(duì)角化，還給出如冪等矩陣、對(duì)合矩陣、冪幺矩陣對(duì)角化的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：對(duì)角矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣，冪等矩陣，對(duì)合矩陣，特征值，特征向量，最小多項(xiàng)式IAbstractThematrixisanimportanttoolincollegemathematics,andcansimplifythedescriptionlanguagebasedontheapplicationofmatrixinmanyways.Soitiseasiertounderstandinmanyfields,forexample,linearequations,quadraticequations.Inmanycharacteristics,thematrixsimilarityisanveryimportantaspect.Weknowthatthematrixsimilarityisanequivalencerelationbywhichwecanclassifymatrix,thediagonalmatrixisveryimportant.Thiskindofmatrixhasgoodproperties,anditisconvenientforustosolveotherproblems,suchastheapplicationofsimilarmatrixinlinearspace.Inthispaper,wefirstdiscussmanynecessaryandsufficientconditionsofdiagonalizationofmatrixandthengivesomeapplicationsofspecialmatrixdiagonalization.Keywords:diagonalmatrix，realsymmetricmatrix，idempotentmatrix，involutorymatrix，theeigenvaule，thefeaturevector，minimalpolynomialII目錄摘要??????????????????????????????????IAbstract????????????????????????????????II緒言??????????????????????????????????1課題背景????????????????????????????????1目的和意義??????????????????????????????1國內(nèi)外概況??????????????????????????????1預(yù)備知識(shí)????????????????????????????????2相關(guān)概念????????????????????????????????2矩陣的對(duì)角化??????????????????????????????4特殊矩陣的對(duì)角化???????????????????????????14矩陣對(duì)角化的應(yīng)用???????????????????????????22總結(jié)?????????????????????????????????24致謝?????????????????????????????????25參考文獻(xiàn)???????????????????????????????26獨(dú)創(chuàng)聲明???????????????????????????????28III1緒言本課題研究與矩陣的對(duì)角化相關(guān)的問題，從對(duì)角化的判定展開論述，結(jié)合其它學(xué)術(shù)期刊的結(jié)論加上自己的體會(huì)，希望能讓讀者更好的理解矩陣及其對(duì)角化的妙處.1.1課題背景在由北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編、王萼芳與石生明修訂、高等教育出版社出版的《高等代數(shù)》一書中，我們?yōu)榱朔奖憔€性方程組的運(yùn)算引入了矩陣的概念.在線性方程組的討論中我們看到，線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣反應(yīng)出線性方程組的一些重要性質(zhì)，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程.除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題也提出矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反應(yīng)為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)為矩陣問題以后卻是相同的.在二次型中我們用矩陣研究二次型的性質(zhì)，引入了矩陣合同、正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定等概念及其判別方法.在向量空間中用矩陣研究線性變換的性質(zhì)，引入矩陣相似的概念，這是一種等價(jià)關(guān)系，利用它我們把矩陣分類，其中與對(duì)角矩陣相似的矩陣引起的我們的注意，由此我們對(duì)線性變換歸類，利用簡單的矩陣研究復(fù)雜的，方便我們看待問題，進(jìn)而又引入對(duì)角型矩陣、λ矩陣及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.本文主要由矩陣定義和向量空間研究矩陣的對(duì)角化，從不同角度揭示矩陣對(duì)角化的判定及其性質(zhì)，還給出特殊矩陣的對(duì)角化及其相應(yīng)的應(yīng)用.1.2課題研究的目的和意義課題研究的意義：(1)研究矩陣對(duì)角化的判定定理及應(yīng)用，為其它學(xué)術(shù)研究提供便捷的工具；(2)比較全面的介紹矩陣的對(duì)角化，方便讀者的整體理解和應(yīng)用；1.3國內(nèi)外概況實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域等數(shù)域上的矩陣的對(duì)角化研究已經(jīng)很成熟，涉及特征值、最小多項(xiàng)式、線性變換方面的對(duì)角化證明也已完善，四元素體上矩陣的廣義對(duì)角化也有小有成就，矩陣對(duì)角化與群環(huán)域的結(jié)合方面的研究也有所突破.實(shí)對(duì)稱矩陣、正交矩陣、分塊兒矩陣的對(duì)角化已完善，矩陣的應(yīng)用也漸漸出現(xiàn)在更多的學(xué)科和科研當(dāng)中.矩陣的同時(shí)對(duì)角化、同時(shí)次對(duì)角化，以及對(duì)角化與秩的恒等式等方面的研究基本完善.12預(yù)備知識(shí)給出本文內(nèi)容所涉及的一些定義，方便對(duì)后面定理證明的理解.定義1常以Pm?n表示數(shù)域P上m?n矩陣的全體，用E表示單位矩陣.定義2n階方陣A與B是相似的，如果我們可以找到一個(gè)n階非奇異的方陣矩陣T∈Pn?n，使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根據(jù)定義我們?nèi)菀字老嗨茷榫仃囬g的一個(gè)等價(jià)關(guān)系：①反身性：A=E-1AE；②對(duì)稱性：若A相似于B，則B相似于A；③傳遞性：如果A相似于B，B相似于C，那么A相似于C.定義3n階方陣A與B是合同的，如果我們可以找到一個(gè)n階非奇異方陣T∈Pn?n，使得B=TTAT或者A=TTBT.根據(jù)定義我們?nèi)菀字篮贤矠榫仃囬g的一個(gè)等價(jià)聯(lián)系：①反身性：A=ETAE；②對(duì)稱性：由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1；③傳遞性：由A1=T1AT1和A2=T2TA1T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).?b100b2定義4式為00???????的m階方陣叫對(duì)角矩陣，這里bi是數(shù)??bm??000T（i=1,2,??m).定義5方陣A∈Pn?n，若A=T-1BT，T非奇異，B是對(duì)角陣，則稱A可相似對(duì)角化.定義6方陣A∈Pn?n，若A=TTBT，T非奇異，B是對(duì)角陣，則稱A可合同對(duì)角化.定義7矩陣的初等變換：⑴互換矩陣的第i行(列)于j行(列)；⑵用非零數(shù)c∈P乘以矩陣第i行(列)；⑶把矩陣第j行的t倍加到第i行.定義8由單位矩陣經(jīng)過一次初等行(列)變換所得的矩陣稱為初等矩陣.共有三2種初等矩陣：①單位矩陣經(jīng)過初等變換⑴得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j)；②單位矩陣經(jīng)過初等變換⑵得P(i(t))且P(i(t))-1=P(i(1/t)；③單位矩陣經(jīng)過初等變換⑶得P(i,j(t))且P(i,j(t))-1=P(i,j(-t)).定義9設(shè)方陣B∈Pn?n，若B2=E，就稱B為對(duì)合矩陣.定義10設(shè)方陣A∈Pn?n，若Am=A，就稱A為冪幺矩陣.定義11設(shè)方陣C∈Pn?n，若C2=C，就稱C為冪等矩陣.定義12設(shè)方陣A∈Pn?n，λ∈P，若存在向量，滿足Al=λX，我們就稱λ是A的特征值，X是A屬于特征值λ的特征向量.定義13A∈Pn?n，定義mA(λ)為矩陣A的最小多項(xiàng)式，mA(λ)的一個(gè)根為A而且比其他以A為根的多項(xiàng)式的次數(shù)都低，mA(λ)首項(xiàng)系數(shù)是1.33矩陣的對(duì)角化本章介紹數(shù)域P上n階方陣陣的對(duì)角化問題.先給出矩陣對(duì)角化幾個(gè)一般的充要、充分條件及其證明.引理1如果μ1，?，μk是矩陣Q的不同的特征值，而αi1,?，αiri是屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量，i=1,2?,k，那么α11,?,α1r，?,αk1，?，αkr也線性無1k關(guān).證明：假設(shè)t11α11+t12α12+?+t1r1α1r1+?+tk1αk1+?+tkrkαkrk=0，令ti1αi1+?tij∈P，+tikiαiki=ηi，則Qηi=λiηi（i=1,2?,k），且η1+η2+?+ηk=0??（1）分別用E,Q,Q2,?,Qk-1左乘以（1）兩端，再由引理4得：Qmηi=λiηi，（m=1,2...k-1;i=1,...,t),由此有ηk=0,?η1+η2+...?λη+λη+...λη=0,Kk?1122?222?λ1η1+λ2η2+...λKηk=0,?...................................?k-1k-1k-1?λη+λη+...λ1122kηk=0.?該線性方程組的系數(shù)矩陣為111??1?λλλ2k?D=1，D為范德蒙行列式，又由λi(i=1,2...k)互異有D≠0.?k-1?k-1k-1?λλ2λk??1根據(jù)克拉默法則就有ηi=0，即ti1αi1+?+tikiαiki=0，再由αi1,...,αiri線性無關(guān)得：ti1=ti2=...=tiki=0(i=1,2...k)，故α11,...,α1r1...,αiri...,αkrk線性無關(guān).推論1屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.定理1Q∈Pn?n與對(duì)角陣相似?Q有n個(gè)特征向量，它們是線性無關(guān)的.證明：Q可以對(duì)角化?存在可逆矩陣T=(T1,T2，?，Tn)使得40?0??λ1?λ1??λλ??22T-1QT=QT=T，即?????0?λn?λn???0?(QT1,QT2,?,QTn)=（λT1,λT2,?,λTn).因此Q可以對(duì)角化?存在Ti（i=1,2?,n）∈P使得QTi=λiTi，也即Q有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.根據(jù)這個(gè)定理判定一個(gè)方陣是否可以對(duì)角化，必須從求解這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式入手，雖然很直接，但考慮其計(jì)算量很大，加之特征值與特征向量只能分開求解，下面會(huì)介紹更簡便的方法.推論2如過方陣Q∈Pn?n有n個(gè)不同的特征值，那么該矩陣可對(duì)角化.證明：由Q有n個(gè)不同的特征值及引理1的推論有Q有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，再由定理1即有Q可以對(duì)角化.注意：該推論為對(duì)角化的充分條件.定理2μ1,μ2,...,μt（互不相同）是B∈Pn?n的特征值，μi∈P(i=1,2,...,t)，B可對(duì)角化?∑r(μiE-B)=(t-1)n（r表示矩陣的秩）.i=1t證明：(μiE-B)X=0的基礎(chǔ)解系的一組基向量的個(gè)數(shù)為：n-r(μiE-B)，我們可以得到關(guān)于μi的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是n-r(μiE-B)（i=1,2,...,t)，再由引理1推出矩陣B有∑(n-r(μiE-B))個(gè)線性無關(guān)的特征向量.i=1t根據(jù)定理1就有：n階方陣B可對(duì)角化?B有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量??∑(n-r(μE-B))=n，ii=1tt∑r(μE-B)=(t-1)n.ii=1定理3Q∈Pn?n與對(duì)角矩陣相似的充要條件：λi∈P(i=1,2...,t)且n-(λiE-Q)=ri(ri表示λi的代數(shù)重?cái)?shù)).證明：設(shè)λi的線性無關(guān)的特征向量為βi1,βi2,...,βiri，由引理1有：5β11,β12,...,β1r,...,βir,...,βtr線性無關(guān).1it若r1+r2+...+rt=n，那么Q就有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量?Q可以對(duì)角化.若Q與對(duì)角矩陣相似，則Q的屬于不同特征值的特征向量總數(shù)一定為n.否則根據(jù)定理1就可以推出λ1,λ2,...,λt線性相關(guān)，矛盾.相較于定理1，定理3的優(yōu)點(diǎn)在于判定一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化著點(diǎn)于特征向量的重?cái)?shù)，方便了許多，也易于計(jì)算.下面利用定理1結(jié)合矩陣的秩給出矩陣可對(duì)角化的另一判別方法.引理2設(shè)n階方陣A,B∈Pn?n，則有r(A+B)≤r(A)+r(B).證明：先證rank[A,B]≤rank(A)+rank(B)??(2).根據(jù)矩陣秩的定義有r[A,B]≤n?2n階矩陣[A,B]的線性無關(guān)的行數(shù)≤方陣A的線性無關(guān)的行數(shù)+方陣B的線性無關(guān)的行數(shù)≤r(A)+r(B).?E?對(duì)方陣矩陣B+A=[B,A]??，由(2)式有r(B+A)≤r[A,B]，所以?E?r(A+B)≤r(A)+r(B).引理3對(duì)于n階方陣C,D有r(AB)≥r(A)+r(B)-n.?CO??CT?證明：先證r(C)+r(D)=rOD??≤rOD????（3），其中T為任意n階方陣.????顯然當(dāng)C,D中有一個(gè)為O時(shí)結(jié)論成立；另設(shè)r(C)=p,r(D)=q，則C有p階子式M1≠0，D有q階子式M2≠0.?CT?于是OD??有p+q階子式??M1*=M1M2≠0,OM2?CT?因此rOD??≥p+q=r(C)+r(D).??要證r(AB)≥r(A)+r(B)-n，只需證明：運(yùn)用分塊矩陣的初等變換有：6r(AB)+n≥r(A)+r(B)?EnO?O??En?→AB???AO??En?→AB???A-B??-BEn??→?O?，O?A???有初等變換不改變矩陣的秩以及式(3)有：?-BEn??r(AB)+n=r≥r(A)+r(B).O?A???Ep另證：令r(A)=p，則存在可逆矩陣C,D使得CAD=O?OO?-1O?-1??D?，若令C??O??OEn-p?=H,則r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1.又因?yàn)槿我饩仃囎蟪艘耘c其行數(shù)相等的非奇異方陣或者右乘以與其列數(shù)相等的非奇異方陣不改變這個(gè)矩陣的秩，因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)≤r(AB)+r(H)≤r(AB)+n-p.引理3的一般形式：（Syl希爾維斯特不等式）設(shè)A，B，C∈Pn?n分別為i?j,j?k,k?t矩陣，則r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B).證明：要證r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)只需證明r(ABC)+r(B)≥r(AB)+r(BC),因?yàn)榉謮K矩陣的初等變換不會(huì)改變矩陣的秩，而O??EA??ABCO??EO??OE??AB????=OE?O?-CE?EO?B-BC??，B??????????也即AB??ABO??ABCO??ABCAB??O????，→→→O????B??OB??-BCB??B-BC??再有定理(3)就得O??ABCO??AB??rank=rank≥rank(AB)+rank(BC).O??B???B-BC?推論3設(shè)B1,B2,...,Bt為數(shù)域P上的n階方陣，則r(B1)+r(B2)+...+r(Bt)≤(t-1)n+r(B1B2...Bt).定理4設(shè)n階方陣Q∈Pn?n，μ1≠μ2，且(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0，則Q可對(duì)角化.7證明：由μ1≠μ2，(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0有矩陣Q的特征值為μ1或μ2，根據(jù)引理2，引理3得：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)=n，從而Q的特征向量(線性無關(guān))共有n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)=n個(gè).由定理1即得矩陣Q可對(duì)角化.定理4'設(shè)n階方陣Q∈Pn?n,μ1,μ2,...,μt兩兩互不相等，若(μ1E-Q)(μ2E-Q)?(μt-1E-Q)(μtE-Q)=0則Q與對(duì)角陣相似.r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n,從而方陣Q的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-(r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q))≥tn-(t-1)n=n.又因?yàn)閞(Q)≤n，故方陣Q的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為n，由此矩陣Q可對(duì)角化.推論4在定理4的前提條件下我們可以得到如下結(jié)論：r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩陣相似與對(duì)角矩陣的充要條件，若矩陣階數(shù)較高，計(jì)算量依然很大，特征值仍然需要計(jì)算，下面給出類似于定理4的充要條件.定理5設(shè)μ1,μ2,...,μt（互不相同）是Q∈Pn?n的的特征值，重?cái)?shù)分別為s1,s2,...,st且s1+s2+...+st=n，Q可對(duì)角化?∏(μE-Q)=0.ii=1t證明：先證明必要性?μ1Q與V=?μ2????相似，則存在非奇異矩陣T滿足?μT??8?μ1E1?Q=TVT-1=Tμ?2E2??T-1，?μ?tEt??其中Ei(i=1,2,...t)為si階單位矩陣，于是(μiE-Q)=T(μiE-V)T-1?(μi-μ1)E1?=T(μi-μ2)E?2?-1?T，??(μi-μt)Et??從而有∏tt(μ-1iE-Q)=∏T(μiE-V)Ti=1i=1??∏(μi-μ1)E1?i=T∏?(μi-μ2)E2?i?T-1.??∏(μi-μ?t)Eti??由于∏(μi-μj)Ej=0(j=1,2,...,t)，因此i∏(μiE-Q)=0.i再證充分性：對(duì)于n階矩陣Q，存在可逆矩陣T，使得?J1?Q=TJT-1J?=T2??T-1，?J?t??Ji(i=1,2,...,t)是Jordan塊，若Jj=μjEj(j=1,2,...t)，Q就可以對(duì)角化，而(μiE-Q)=T(μiE-J)T-1?(μi-J1)E1?=T(μJ?i-2)E2??T-1，??(μi-Jt)Et??9?∏(μi-J1)E1i(μE-Q)=T∏ii?i∏(μii-J2)E2????T-1.??(μi-Jt)Et?∏?i?所以，若(μiE-Q)=0，則因T可逆有∏(μiEi-Jj)=0(j=1,2,...,t)，又因?yàn)楫?dāng)i≠j時(shí)，(μi≠μj)≠0，(μiEj-Jj)可逆，所以(μjEj-Jj)=0，即μjEj=Jj(j=1,2,...,t).引理4X∈Pn?n,?1,?2??m...是X的關(guān)于特征值λ的特征向量，我們有∑ki?ii=1m（ki,i=1,2,...,m不全為0，ki∈P）也是X的關(guān)于λ的特征向量.證明：已知X?i=λ?i，則kiX?i=kiλ?i，也即Xki?i=λki?i，因此X∑ki?i=λ∑ki?i，i=1i=1mm又ki不全為0，因此∑ki?i≠0，由特征向量的定義有∑ki?i是矩陣X的屬于特i=1mmi=1征值λ得特征向量.定理6μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n階矩陣Q的所有特征值，它們的代數(shù)重?cái)?shù)依次是s1,s2,...,st，則方陣Q與對(duì)角矩陣相似?r(Aj)=sj(j=1,2,...,t),Aj=∏(μiE-Q).i≠j證明：先證必要性.Q可對(duì)角化?存在可逆矩陣T使得Q=Tdiag(μ1,μ2,...,μt)T-1，從而Aj=∏(μiE-Q)i≠j?∏(μi-μ1)E1i≠j=T?∏(μi≠ji-μ2)E2????-1?T?(μi-μt)Et?∏?i≠j?10?O1=T?∏(μi≠ji-μj)Ej????-1?T，??Ot??其中Oj為sj階0矩陣，Ej為sj階單位矩陣（(j=1,2,...,t).因T可逆，且μi≠μj，所以有r(Aj)=r(∏(μi-μj)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,...,t).i≠j再證充分性：用反證法.假設(shè)方陣Q不與對(duì)角矩陣相似，由幾何重?cái)?shù)≤代數(shù)重?cái)?shù)得：至少存在一個(gè)整數(shù)q，使得r(μqE-Q)>n-sq，于是當(dāng)j≠q時(shí)，由引理3有sj=r(∏(μiE-Q))≥∑r(μiE-Q)-(t-2)ni≠ji≠j>∑(n-sj)-(t-2)ni≠j=(t-1)n-(t-2)n-∑sii≠j=n-(n-sj)=sj.矛盾，假設(shè)不成立，故Q與對(duì)角矩陣相似.定理7μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n級(jí)方陣Q∈Pn?n的所有特征根，若對(duì)任意m∈Z+滿足r(μiE-Q)m=r(μiE-Q),則矩陣Q與對(duì)角矩陣相似.證明：設(shè)μ1,μ2,...,μt的重?cái)?shù)分別為s1,s2,...,st，由Cayley-Hamilton第三版，高等教育出版社)得：定理(高等代數(shù)(μ1E-Q)s1(μ2E-Q)s2...(μtE-Q)st=O，再有引理3的推論就有r(μ1E-Q)s1+r(μ2E-Q)s2+...+r(μtE-Q)st≤(t-1)n+r((μ1E-Q)s1...(μtE-Q)st)=(t-1)n.11對(duì)任意正整數(shù)m，有r(μiE-Q)m=r(μiE-Q)，因此r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n.從而有方陣Q的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-[r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...r(μtE-Q)]≥tn-(t-1)n=n.又r(Q)≤n，從而Q的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于或等于n，因此Q共有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，再根據(jù)定理1就有矩陣Q與對(duì)角矩陣相似.接下來介紹最小多項(xiàng)式在矩陣對(duì)角化中的應(yīng)用.定理8n階方陣Q與對(duì)角矩陣相似?矩陣Q的最小多項(xiàng)式mQ(μ)無重根.證明：先證必要性.Q和對(duì)角陣相似?存在非奇異矩陣T∈Pn?n，滿足?μ1Q=TVT-1=T?μ2???-1T，??μn??從而有T-1QmT=Vm，令μ1,μ2,...,μt(t≤n)是方陣Q的互不相同的特征值,記f(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)..μ.(-μt)=μt+s1μt-1+...+st-1μ+st.因?yàn)門-1f(Q)T=T-1(Qt+s1Qt-1+..+.st-1Q+stE)T=T-1QtT+s1T-1Qt-1T+...+st-1T-1QT+stT-1ET=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE=f(V).又f(V)=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE?μ1t=?tμ2??s1μ1t-1??+??t?μn??t-1s1μ2??st??+...+??t-1?s1μn??st?????st??12?μ1t+s1μ1t-1+...+sk=??f(μ1)=?f(μ2)tt-1μ2+s1μ2+...+sk?????tt-1μn+s1μn+...+sk??????=0.?f(μn)??所以f(Q)=0，于是mQ(μ)f(μ)，然而f(μ)無重根，故mQ(μ)無重根.再證充分性：mQ(μ)的互不相同的根是μ1,μ2,...,μt，由mQ(μ)無重根就有：mQ(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)...(μ-μt-1)(μ-μt)，于是mQ(Q)=(μ1E-Q)(μ2E-Q)...(μtE-Q)=0.令r(μiE-Q)=qi，則μi的特征子空間的維數(shù)為n-qi，因此Q總共有(n-q1)+(n-q2)+..+.(n-qt)=s個(gè)線性無關(guān)的特征向量，且s≤n.又因?yàn)閝1+q2+...+qt≤(t-1)n，故s=(n-q1)+(n-q2)+...+(n-qt)≥n.從而s=n，也即矩陣Q有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，由定理1就得Q可以對(duì)角化.134某些特殊矩陣的對(duì)角化4.1實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問題實(shí)對(duì)稱矩陣這種矩陣很特別，在諸多方面的到運(yùn)用，如常用來研究對(duì)稱變換，對(duì)線性變換進(jìn)行分類.而研究對(duì)稱矩陣的對(duì)角化，是進(jìn)行分類的初步.引理5]每一個(gè)n階復(fù)矩陣都存在一個(gè)上三角矩陣與其相似，并且上三角矩陣主對(duì)角線上的元素為復(fù)矩陣的特征值.對(duì)任意A∈Cn?n，可逆矩陣T，使得*??λ1?λ2?T-1AT=，其中λ1,λ2,...,λn是矩陣A的特征值.??λn???引理6實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明：設(shè)λ0實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征值，則存在非零向量?x1??x?η=2?，?x??n?滿足Aη=λ0η.令?1???=2?，i稱為xi的共軛復(fù)數(shù)(i=1,2,...n)，則=0.???n?觀察下面式子'(Aη)=A'η=(A)'η=(Aη)'η，上式左邊等于λ0'η，右邊等于0η，故0'η=λ0'η,又'η=1x1+...+nxn≠0，14故λ0=0，即λ0是一個(gè)實(shí)數(shù).引理7設(shè)M,N為n?n實(shí)方陣，我們有如下結(jié)論：M,N在實(shí)數(shù)域上相似?M,N在復(fù)數(shù)域C上相似.證明：必要性顯然，下面證明充分性.M,N在復(fù)數(shù)域上相似??n級(jí)可逆復(fù)矩陣，使得M=P-1NP.令P=A+iD，A,D∈Rn?n，則(A+iD)M=N(A+iD)?AM=NA,DM=ND.所以對(duì)任意λ屬于R都有(A+λD)=N(A+λD)??(4)記h(x)=A+λD(實(shí)數(shù)系多項(xiàng)式)，因?yàn)閔(i)=A+iD=P≠0，所以h(x)≠0.因此，A+λD有有限個(gè)實(shí)數(shù)根，則存在η屬于R，使得A+ηD≠0.由(4)式得M=(A+ηD)-1N(A+ηD),也即M,N在實(shí)數(shù)域上相似.定理9⑴n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A的特稱根全是實(shí)數(shù)?存在正交矩陣T，滿足T-1AT=T'AT=D，D是上三角矩陣.⑵A正交且特征值全是實(shí)數(shù)?A是對(duì)稱矩陣.證明：先證明必要性，根據(jù)引理5有，存在可逆矩陣P，使得*??λ1?λ?2P-1AP=?.?λn???再根據(jù)引理7，矩陣如果在復(fù)數(shù)域上相似則一定在實(shí)數(shù)域上相似，因此可以令P=QT為實(shí)矩陣，Q乃正交矩陣，T是上三角矩陣且主對(duì)角上元素全是實(shí)數(shù)，于是就有*??λ1?λ2?Q-1AQ=T(P-1AP)T-1=??λn???由T是上三角矩陣知他的逆T-1也是上三角矩陣，再由上三角矩陣之積仍然是上三角矩陣知Q-1AQ為上三角矩陣.再證充分性：A為n階實(shí)矩陣，且存在正交矩陣Q使得Q-1AQ=Q'AQ為上三角矩陣，即15*??λ1?λ?2Q-1AQ==Q'AQ，??λn???由此易知λ1,λ2,...,λn為實(shí)數(shù)且為A的特征根.⑵由⑴容易得到Q-1AQ=Q'AQ=D為上三角矩陣(Q是正交矩陣)，又正交矩陣的積為正交矩陣，從而D為正交矩陣.因而D'=D-1，但是D-1是上三角矩陣，而D'為下三角矩陣，故D必為對(duì)角矩陣.從而A'=(QDQ')'=QD'Q'=QDQ'=A，也即A為對(duì)稱矩陣.引理8設(shè)A是對(duì)稱變換，V1是A-子空間，則V1的正交補(bǔ)也是A-子空間.定理10對(duì)任意n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在n階正交矩陣T，使得T'AT=T-1AT為對(duì)角矩陣.證明定義A是與A對(duì)應(yīng)的對(duì)稱變換，只要證A有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基（n個(gè)向量組成）.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論明顯成立.假設(shè)對(duì)n-1結(jié)論成立.對(duì)n維歐氏向量空間Rn，β1為線性變換A的一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值是λ1.將β1單位化，并記為α1，再作α1的生成向量空間L(α1)的正交補(bǔ)，記為V1，由引理8有V1是對(duì)稱變換A的不變子空間，他的維數(shù)為n-1，顯然A限制在V1上仍然是對(duì)稱變換A1，根據(jù)假設(shè)A1有特征向量α2,α3,...,αn做成V1的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而α1,...,αn使Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基，又是A的n個(gè)特征向量.根據(jù)歸納假設(shè)定理得證.例4.1已知?011-1??10-11?A=，1-101??-1110???求正交矩陣T使得T-1AT為對(duì)角矩陣.解：第一步，求矩陣A的特征值.由16-1-11-1μ1-1μE-A=μ-11μ-11-1-1μ0μ-1μ-11-μ2=0μ-10μ-100μ-1μ-11-1-1μ11-1-μ=-(μ-1)3101011=(μ-1)3(μ+3)由此有1（3重），-3為A的特征值.第二步，求特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量.將μ=1帶入下式??μx1-x2-x3+x4=0,??-x1+μx2+x3-x4=0,?-x1+x2+μx（5）3-x4=0,??x1-x2-x3+μx4=0.得基礎(chǔ)解系為μ1=(1,1,0,0)，μ2=(1,0,1,0)，μ3=(-1,0,0,1)..將基礎(chǔ)解系正交化，得β1=(1,1,0,0)，β12=(,-122,1,0)，β1113=(-3,3,3,1)..再將上式單位化，有17η1=(11,,0,0)，22η2=(η3=(-112,-,,0)，6661113,,,)..上式為屬于特征值1（三重）的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.同理可求得特征值-3的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為η4=(1/2,-1/2,-1/2,1/2).特征向量η1,η2,η3,η4構(gòu)成R4的一組標(biāo)準(zhǔn)交基，所求正交矩陣',η2',η3',η4')，T=(η1此時(shí)?1??1?T-1AT=?.1?-3???4.2冪等矩陣?Er定理11冪等矩陣A與對(duì)角矩陣O?O??相似.?O?證明：根據(jù)A2=A有，矩陣A的最小多項(xiàng)式mA(λ)整除λ2-λ.因λ2-λ=0無重根，由引理5就有mA(λ)無重根，再由定理8就得矩陣A可對(duì)角化.4.3對(duì)合矩陣定理12對(duì)合矩陣A可對(duì)角化.證明：A2=E?mA(λ)λ2-1，易知λ2-1=0無重根，根據(jù)引理5得mA(λ)無重根，再根據(jù)定理8，A能夠?qū)腔?184.4冪幺矩陣引理9λ是矩陣X的任一特征根?λ是X的最小多項(xiàng)式的根.證明：用反證法假設(shè)λ0是矩陣X的特征根而不是其最小多項(xiàng)式mX(λ)的根，則有(λ-λ0,mX(λ))=1，故存在多項(xiàng)式φ(λ),?(λ)，使得φ(λ)(λ-λ0)+?(λ)mX(λ)=1，將X帶入上式有φ(X)(X-λ0E)+?(X)mX(X)=E，即有φ(X)(X-λ0E)=E.所以X-λ0E可逆（即X-λ0E≠0），與λ0是矩陣X的特征根矛盾.故假設(shè)不成立，定理得證.定理13冪幺矩陣A與對(duì)角矩陣相似.證明：因?yàn)锳m=E，所以矩陣A的最小多項(xiàng)式mA(λ)整除λm-1（m為正整數(shù)），而λm-1無重根，根據(jù)引理9就得mA(λ)無重根，再由定理8即得矩陣A與對(duì)角矩陣相似.?λ1??λ2?m注意：冪幺矩陣A與對(duì)角矩陣相似，其中λ=1(i=1,2,...,n).i??λn???4.5矩陣的逆、伴隨矩陣的對(duì)角化定理14A∈Pn?n能夠?qū)腔?A-1,A*可對(duì)角化.證明：(I)根據(jù)題設(shè)條件，存在非奇異矩陣T滿足?μ1T-1AT=?μ2?????μn??由矩陣T可逆就有μi≠0(i=1,2,...,n)，從而19?μ1-1T-1A-1T=?-1μ2????,?-1?μn?從而A-1與對(duì)角矩陣相似.(II)由A*=AA-1得?A/μ1T-1A*T=AT-1A-1T=??????A/μ2??A/μ2從而A*也與對(duì)角矩陣相似.4.6某些正交矩陣的對(duì)角化?b11b12?設(shè)A=bb??是正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)就有?2122?22?b11+b21=1?22，?b12+b22=1?bb+bb=0?11122122從而二階正交矩陣A有兩種形式?cosαA=sinα??cosα定理15若A=sinα?-sinα??-cosα?或A=sinαcosα???sinα??.cosα??-sinα??，則矩陣A與對(duì)角矩陣相似.?cosα?證明：A的特征多項(xiàng)式為cosα-μ-sinα-μA-μE=sinα-μcosα-μ=μ2-2μcosα+1由A-μE=0得矩陣A的特征值為μ1=cosα+cos2α-1,μ2=cosα-cos2α-1.當(dāng)cos2α-1≠0時(shí)，容易得到μ1≠μ2，故正交矩陣A有兩個(gè)不同的特征值，容易20看出此時(shí)正交矩陣A有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，由定理1即有正交矩陣A可對(duì)角化.?10??-10?當(dāng)cos2α-1=0，即cosα=±1時(shí)，A=??或??，此時(shí)正交矩陣A顯然?01??0-1?與對(duì)角矩陣相似.定理16若A=?-coαssinα??sinαcoαs???，那么A與對(duì)角矩陣相似.該定理的證明與定理⑴類似，在此不做贅述.?b110?定理17正交矩陣A=00b?22b23?可對(duì)角化.?0b32b33??證明：由A是正交矩陣可得，a11=±1.?0?當(dāng)b1011=1時(shí)，A=0cosθ-sinθ??，?0sinθcosθ??-λ00λE-A=0cosθ-λ-sinθ=(1-λ)(λ2-2λcosθ+1).0sinθcosθ-λi)當(dāng)cos2θ-1≠0時(shí)，矩陣A有三個(gè)不同的特征值，分別為λ1=cosθ-cos2θ-1，λ2=cosθ+cos2θ+1，λ3=1.由定理1可得矩陣A可對(duì)角化.ii)當(dāng)cos2θ-1=0時(shí)，θ=2kπ或θ=2kπ+π(k∈Z).?100?若θ=2kπ，則A=010??，顯然可對(duì)角化.?001???100?若θ=2kπ+π，則A=0-10??，顯然可對(duì)角化.?00-1??210?10??當(dāng)b11=-1時(shí)，A=0cosθ-sinθ?，?0sinθcosθ??-1-λ00λE-A=0cosθ-λsinθ=(-1-λ)(λ2-1).0sinθ-cosθ-λ從而A的特征值為λ1=λ2=-1（二重），λ3=1，由定理5或7得A可對(duì)角化.定理18若三階正交矩陣A中只有三個(gè)非零元素，那么A與對(duì)角矩陣相似.A共有下面6種形式：?b1100?0??b13??00??00b13??0b120b0???,b110,0?2200b?0023?0b0?b12?,00b?23?,b210?,b210?00b33???0b320??22?b3100???b3100???0b320???00?b1100?證明(1)A=0b?220?顯然可以對(duì)角化.?00b33???b1100a11-λ00(2)A=?00b?23?，則A-λE=0-λa23=(a11-λ)(λ2-a23a32).?0b320??0a32-λ當(dāng)a23a32=1時(shí)，A有特征值1,±i或-1,±i，根據(jù)定理1，A可對(duì)角化.當(dāng)a23a32=-1時(shí)，A有特征值-1（二重），1，根據(jù)定理7，A可對(duì)角化.其它形式可模仿(2)進(jìn)行證明.5矩陣對(duì)角化的應(yīng)用本節(jié)主要討論可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用問題，很多時(shí)候我們利用對(duì)角化后的矩陣會(huì)極大簡便我們的計(jì)算，方便我們理解和處理比較復(fù)雜的問題.5.1求方陣的高次冪一般來說，求矩陣的高次冪最簡單的方法便是根據(jù)矩陣乘法的定義進(jìn)行傻瓜式的220?0??b33??計(jì)算，像這樣的計(jì)算除非進(jìn)行編程用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，人工計(jì)算會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間，還很容易出錯(cuò).但是針對(duì)可以對(duì)角化的矩陣，我們利用矩陣相似的性質(zhì)便會(huì)大大簡化計(jì)算過程，而且不易出錯(cuò)，用這種方法進(jìn)行編程計(jì)算也會(huì)方便很多.下面先介紹這種方法的原理.?λ1??λ?2定理19若T-1AT=?，這里λi(i=1,2,...n)為A的特征值，T非奇?λn???異，則m?λ1T-1AmT=?λm2???，其中m為正整數(shù).??m?λn?這個(gè)定理是矩陣相似應(yīng)用的特殊情況，一般來講，若T-1AT=B，那么T-1AmT=Bm.其中m為正整數(shù)，B為數(shù)域上的任意矩陣.?12?例2求41??.??m?12?解：由λE-41??=(λ-1+22)(λ-1-22)得??λ1=1-22，λ2=1+22.容易求得他們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為?-1??1???，η1=?，η2=??2??2?故?12??-141??=???21??1-220??-1???22??01+22???1??.2??-1從而?12??-141??=2???m1??1-220????2??01+22??m?-12?1??2??23-1?-1=2?1??1-220????2??01+22??m?1-21?2m2??4?1??22??=?mm1?1-22+1+22????2?mm2?1+22-1-22????2?(()()())???.22?mm1??1-22+1+22?????2?21-22-4(1+22)(()m)()5.2利用特征值求行列式的值例3已知n級(jí)實(shí)對(duì)稱冪等矩陣A的秩為r，求行列式2E-A.解：A為冪等矩陣，即A2=A，從而A的特征值為λ=1或0，再由A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A與對(duì)角矩陣相似，從而?ErP-1AP=O?這里P可逆，r為A的秩，Er為單位矩陣.故O??=B，?O?2E-A=2PP-1-PBP-1=Er2En-r=2n-r.6總結(jié)前面初步介紹了判定某個(gè)數(shù)域上矩陣是否對(duì)角化的一些充分必要條件和充分條件，但是判定條件也不局限于文中所給出的.文中給出了大部分定理的證明，內(nèi)容較多，需要較廣的知識(shí)面才能理解；還給出一些特殊矩陣的對(duì)角化也只是涉及很少的點(diǎn)，其它方面需要讀者根據(jù)自己研究的領(lǐng)域進(jìn)行總結(jié)；還給出兩點(diǎn)矩陣對(duì)角化的具體應(yīng)用，仍然涉獵較少，只是起一個(gè)引導(dǎo)作用.矩陣的對(duì)角化定義還能推廣以及在群、域等上面的對(duì)角化判定也有所不同，希望廣大讀者傾注時(shí)間在這方面的研究.24致謝在論文完成之際，我首先要向我的指導(dǎo)老師劉先平老師和詹建明老師表示最真摯的謝意.這篇論文從選題、查閱資料到截稿，我花了三個(gè)多月.在此期間，詹老師和劉老師給我推薦選題以及資料，不厭其煩的解答我所有的疑問，他們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)和藹可親的態(tài)度將一直影響我.25參考文獻(xiàn)[1]劉九蘭,張乃一,曲問萍主編.線性代數(shù)考研必讀.天津:天津大學(xué)出版社，2000[2]謝國瑞主編，線性代數(shù)及應(yīng)用.北京:高等教育出版社，1999[3]張學(xué)元主編，線性代數(shù)能力試題題解.武漢:華中理工大學(xué)出版社，2000[4]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2007[5]周明旺，關(guān)于矩陣可對(duì)角化