粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述

粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述在什么情況下使用經(jīng)典描述，什么情況下使用量子描述？如何來判別呢？20世紀(jì)當(dāng)不少物理學(xué)家為光的波粒二象性感到困惑時(shí)，德國(guó)物理學(xué)家德布羅意于1924年提出一個(gè)假說，認(rèn)為一切微觀粒子都具有波粒二象性，并把標(biāo)志波動(dòng)性質(zhì)的量切和k通過一個(gè)普適常數(shù)用標(biāo)志粒子性質(zhì)的￡和p聯(lián)系起來。8=h3 p=hk h=h/2n普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，它的量綱是畫間］?［能量］=［長(zhǎng)度］?［動(dòng)量］=［角動(dòng)量］這樣一個(gè)物理量通常成為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。這個(gè)作用量子成為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。當(dāng)一個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與普朗克常數(shù)相比擬的數(shù)值時(shí)，這個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)就是量子系統(tǒng)。反之，如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個(gè)具有作用量綱的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)就可以用經(jīng)典力學(xué)來研究。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于離子的自由度數(shù)。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)我們可以作如下解釋：繼德布羅意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波動(dòng)的二象性時(shí)，得到一個(gè)重要的結(jié)果：微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)。即用』q表示粒子坐標(biāo)的不確定值和人p表示粒子動(dòng)量不確定值，在量子力學(xué)所容許的最精確的描述，Aq與Ap的乘積滿足 AqAp-h 稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系或?qū)懗葾tAE?h它揭示：量子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置及相應(yīng)的動(dòng)量，因此這生動(dòng)地說明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng)，是微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。值得指出的是：在經(jīng)典力學(xué)的理論中，粒子可以同時(shí)具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，這并不是在實(shí)際上我們可以任意的精確度做到這一點(diǎn)，而是說在經(jīng)典的理論中，原則上不允許對(duì)這種精確度有任何限制。特別地在經(jīng)典范圍內(nèi)，波動(dòng)量很小，以致于探測(cè)不到。因此認(rèn)為物質(zhì)有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，這并不與測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系發(fā)生矛盾。具體事例空間中一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)的粒子，假設(shè)此粒子限制在一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方盒子中運(yùn)動(dòng)。在量子力學(xué)中粒子的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程：-生V2w（r）=W（r）其中2m。…z；）r=xi+yj+zk7上式可變成為：-務(wù)上式可變成為：-務(wù)廨為—p-fh根據(jù)周期性邊界條件，在點(diǎn)A頃2,7,Z)和A，(S,y,z)qj(r)的自己應(yīng)相同。即:cexpi(疽+七+履=cexp應(yīng)相同。即:cexpi(疽+七+履=cexp2/m

P=2/m

P=TnxLxexp—pL=1得l方x)同理可得:"拳〃和〃廣學(xué)〃以上的式子表示，動(dòng)量只能取分立的值。量:Q2 2力2兀2〃2量:￡ =X= .V氣2mmD總能量：￡=2"-“-"±。2土")mL^*Vz以上的式子表示，能量是分立的。這里nx,ny,nz即為量子數(shù)，量子態(tài)即由這些量子數(shù)來描述，對(duì)于一確定的能量￡,nx,ny,nz可取不同的值，因此，對(duì)于一確定的能量來說，系統(tǒng)有許多量子態(tài)。經(jīng)典粒子的動(dòng)量和能量是連續(xù)的，而在量子情形中，動(dòng)量和能量是分立的，這是局域在有理空間范圍的量子粒子的特性。一維的情況:2力兀

一維的情況:2力兀

p= nxLx2力2兀2 〃2mb%相鄰兩個(gè)能級(jí)的間距為：As=6-6="亦6〃+1)氣+inxmD-x顯然，若—8時(shí)，AETO,即能量此時(shí)是連續(xù)的。粒子的狀態(tài)與g空間體積元的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所討論的某些問題中，普朗克常數(shù)與有關(guān)的物理量相比是一個(gè)較小的量，這時(shí)，可以利用半經(jīng)典近似認(rèn)為粒子是沿著滿足量子化條件的那些軌道做軌道運(yùn)動(dòng)的。這些量子化軌道與量子描述中的量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可知，坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)取確定的值，所以量子態(tài)不能用四空間的一點(diǎn)來描述，而應(yīng)用一個(gè)體積元，稱為相格。相格的大小為龍，自由度為r的粒子，相格大小為：△q???AqAp???Ap=hr1 r1 r如果將g空間劃分為若干個(gè)體積元A31（l=1，2…），則在體積元A31中粒子可能的狀態(tài)數(shù)為A3l/h 。例如:三維自由粒子的一個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)于g空間中體積為h的一個(gè)體積元，以V表示容器的體積，在體積V內(nèi)，三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為："pWh3一般常用動(dòng)量空間中的球極坐標(biāo)p，e，叫，來描寫自由粒子的動(dòng)量p，。，/。，/與px、py、pz的關(guān)系為:p=psin0cos甲p=psin0sin甲；p=pcos0用球極坐標(biāo)，動(dòng)量空間的體積元為： p2sin0dpd0dQ在體積v內(nèi)，動(dòng)量在p到p+dp，e到e+de，租到@向，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為Vp2sin0dpd0d^h3在體積V內(nèi)，動(dòng)量絕對(duì)值在p到p+dp的范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：Vp2dpJ2d平卜sin0d04兀yp2dp

0 0 =h3 h3以能量形式表示，即g=p/2m ，因此在V內(nèi)，在g到8+d