三角恒等變換PPT

三角恒等變換考點三角恒等變換1.(課標(biāo)全國Ⅲ,4,5分)若sinα=?,則cos2α=?()A.?

B.?

五年高考A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組答案

B本題考查三角恒等變換.因為sinα=

,cos2α=1-2sin2α,所以cos2α=1-2×

=1-

=

.故選B.2.(課標(biāo)全國Ⅲ,4,5分)已知sinα-cosα=?,則sin2α=?()??

C.?

D.?答案

A∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=

=

,∴sin2α=-

.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的問題,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα進行

轉(zhuǎn)換.3.(課標(biāo)全國Ⅲ,6,5分)若tanθ=-?,則cos2θ=?()??

C.?

D.?答案

D解法一:cos2θ=cos2θ-sin2θ=

=

,∵tanθ=-

,∴cos2θ=

.故選D.解法二:由tanθ=-

,可得sinθ=±

,因而cos2θ=1-2sin2θ=

.評析本題考查化歸與轉(zhuǎn)化的能力.屬中檔題.4.(課標(biāo)Ⅰ,8,5分,0.795)設(shè)α∈?,β∈?,且tanα=?,則?()α-β=?α+β=?α-β=?α+β=?答案

C由tanα=

,得

=

,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin

,所以sin(α-β)=sin

,又因為α∈

,β∈

,所以-

<α-β<

,0<

-α<

,因此α-β=

-α,所以2α-β=

,故選C.解后反思本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,考查

了正弦函數(shù)的性質(zhì),判定“α-β”和“

-α”的范圍是正確解題的關(guān)鍵.5.(課標(biāo)全國Ⅱ,15,5分)已知tan?=?,則tanα=

.答案

解析本題主要考查兩角差的正切公式.tan

=

=

=

,解得tanα=

.6.(課標(biāo)全國Ⅰ,15,5分)已知α∈?,tanα=2,則cos?=

.答案

解析因為α∈

,且tanα=

=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以sinα=

,cosα=

,則cos

=cosαcos

+sinαsin

=

×

+

×

=

.易錯警示在求三角函數(shù)值時,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=

,同時要注意角的范圍,以確定三角函數(shù)值的正負(fù).7.(課標(biāo)全國Ⅰ,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin?=?,則tan?=

.答案-

解析解法一:∵sin

=

×(sinθ+cosθ)=

,∴sinθ+cosθ=

①,∴2sinθcosθ=-

.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-

=-

②,由①②得sinθ=-

,cosθ=

,∴tanθ=-

,∴tan

=

=-

.解法二:∵

+

=

,∴sin

=cos

=

,又2kπ-

<θ<2kπ,k∈Z,(寧夏石嘴山三中二模)若cosα=?,α∈?,則sin?的值為

.∴cosα=-?=-?,(課標(biāo)全國Ⅰ,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin?=?,則tan?=

.因為cosx=?,所以cos2x=2cos2x-1=2×?-1=?.(時間:20分鐘分值:50分)=sin?cos?-cos?sin?=?,故選D.(江蘇,5,5分)若tan?=?,則tanα=

.=sin?cos?-cos?sin?=?,故選D.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差及二倍角的三角函數(shù),考查運算求解能力.∴2sinθcosθ=-?.sinα=cos(α-β),∴cos?=cos(α-β),答案

D∵α∈?,∴α+?∈?,又∵cos?=?,∴sin?=?,所以sinα=sin答案

A∵α是第三象限的角,∴sinα=-?,答案

D由題意得cosα=-?,則cos2α=2cos2α-1=-?,選D.(1)求cosA的值;∴2kπ-

<θ+

<2kπ+

,k∈Z,∴cos

=

,∴sin

=

,∴tan

=

=

,∴tan

=-tan

=-

.評析本題主要考查了三角恒等變換,熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)

鍵.考點三角恒等變換1.(山東,4,5分)已知cosx=?,則cos2x=?()?

B.??

D.?B組自主命題·?。▍^(qū)、市）卷題組答案

D本題考查二倍角余弦公式.因為cosx=

,所以cos2x=2cos2x-1=2×

-1=

.2.(重慶,6,5分)若tanα=?,tan(α+β)=?,則tanβ=?()A.?

B.?

C.?

D.?答案

A

tanβ=tan[(α+β)-α]=

=

=

,故選A.3.(江蘇,5,5分)若tan?=?,則tanα=

.答案

解析本題考查兩角和的正切公式.因為tan

=

,所以tanα=tan

=

=

=

.4.(浙江,11,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=

,b=

.答案

;1解析2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=

sin

+1,故A=

,b=1.評析本題重點考查了三角恒等變換,逆用兩角和的正弦公式,將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為“一角一

函數(shù)”的形式.考查了學(xué)生三角化簡的能力.5.(江蘇,16,14分)已知α,β為銳角,tanα=?,cos(α+β)=-?.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差及二倍角的三角函數(shù),考查運算求解能力.(1)因為tanα=

,tanα=

,所以sinα=

cosα.因為sin2α+cos2α=1,所以cos2α=

,所以cos2α=2cos2α-1=-

.(2)因為α,β為銳角,所以α+β∈(0,π).又因為cos(α+β)=-

,所以sin(α+β)=

=

,因此tan(α+β)=-2.因為tanα=

,所以tan2α=

=-

.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=

=-

.6.(江西,16,12分)已知函數(shù)f(x)=(a+2cos2x)·cos(2x+θ)為奇函數(shù),且f?=0,其中a∈R,θ∈(0,π).(1)求a,θ的值;(2)若f?=-?,α∈?,求sin?的值.解析(1)因為f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函數(shù),而y1=a+2cos2x為偶函數(shù),所以y2=cos(2x+θ)為

奇函數(shù),又θ∈(0,π),則θ=

,所以f(x)=-sin2x·(a+2cos2x),由f

=0得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)得,f(x)=-

sin4x,因為f

=-

sinα=-

,即sinα=

,又α∈

,從而cosα=-

,所以有sin

=sinαcos

+cosαsin

=

.7.(天津,16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a-c=?b,sinB=?sinC.(1)求cosA的值;(2)求cos?的值.解析(1)在△ABC中,由

=

,及sinB=

sinC,可得b=

c.又由a-c=

b,有a=2c.所以,cosA=

=

=

.(2)在△ABC中,由cosA=

,可得sinA=

.于是cos2A=2cos2A-1=-

,sin2A=2sinA·cosA=

.所以cos

=cos2A·cos

+sin2A·sin

=

.評析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦公式、兩角差的余弦

公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力.8.(四川,19,12分)已知A,B,C為△ABC的內(nèi)角,tanA,tanB是關(guān)于x的方程x2+?px-p+1=0(p∈R)的兩個實根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=?,求p的值.解析(1)由已知,方程x2+

px-p+1=0的判別式Δ=(

p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.所以p≤-2,或p≥

.由韋達定理,有tanA+tanB=-

p,tanAtanB=1-p.于是1-tanAtanB=1-(1-p)=p≠0,從而tan(A+B)=

=-

=-

.所以tanC=-tan(A+B)=

,所以C=60°.(2)由正弦定理,得sinB=

=

=

,解得B=45°,或B=135°(舍去).于是A=180°-B-C=75°.則tanA=tan75°=tan(45°+30°)=

=

=2+

.所以p=-

(tanA+tanB)=-

(2+

+1)=-1-

.評析本題主要考查和角公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函

數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.考點三角恒等變換1.(課標(biāo)Ⅱ,6,5分,0.479)已知sin2α=?,則cos2?=()A.?

B.?C.?

D.?C組教師專用題組答案

A

cos2

=

=

,把sin2α=

代入,原式=

.選A.評析本題考查了三角函數(shù)的化簡求值,考查了降冪公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.2.(課標(biāo)全國,10,5分)若cosα=-?,α是第三象限的角,則sin?=?()?

B.??

D.?答案

A∵α是第三象限的角,∴sinα=-

,∴sin

=

(sinα+cosα)=-

,故選A.3.(課標(biāo),7,5分)已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則

cos2θ=?()??

C.?

D.?答案

B由題意知tanθ=2,cos2θ=cos2θ-sin2θ=

=

=

=-

,故選B.4.(浙江,18,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4sin2?+4sinAsinB=2+?.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面積為6,求邊長c的值.解析(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+

,化簡得-2cosAcosB+2sinAsinB=

,故cos(A+B)=-

,所以A+B=

,從而C=

.(2)因為S△ABC=

absinC,由S△ABC=6,b=4,C=

,得a=3

.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c=

.評析

本題主要考查兩角和與差的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角形面積公式等

基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.(2)由(1)得,f(x)=-?sin4x,因為f?=-?sinα=-?,即sinα=?,又α∈?,從而cosα=-?,∴tan?=?=-?.答案

A由題目條件得sin?=?,sin?=?,∴cos?=cosα<?,因此α-β=?-α,所以2α-β=?,故選C.答案

A∵α是第三象限的角,∴sinα=-?,(吉林東北師大附中等校聯(lián)考,14)已知0<θ<π,tan?=?,那么sinθ+cosθ=

.答案

A∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=?=?,∴sin2α=-?.∴2kπ-?<θ+?<2kπ+?,k∈Z,A組—年高考模擬·基礎(chǔ)題組(內(nèi)蒙古包頭一模)若cos?=?,α∈?,則cos?=

.答案

C由于α∈?,故sinα=?,tanα=-?,故tan?=?=?.因為sin2α+cos2α=1,所以cos2α=?,(陜西榆林二模)已知?=3cos(2π+θ),|θ|<?,則sin2θ=?()于是cos2A=2cos2A-1=-?,sin2A=2sinA·cosA=?.答案

A因為sin?=sin?=cos?=?,所以sin?=sin?=因為sin2α+cos2α=1,所以cos2α=?,考點三角恒等變換1.(遼寧東北育才學(xué)校三模)角α的終邊與單位圓交于點?,則cos2α=?()A.??C.??三年模擬A組—年高考模擬·基礎(chǔ)題組答案

D由題意得cosα=-

,則cos2α=2cos2α-1=-

,選D.2.(陜西榆林二中七模)設(shè)α∈?,若cos?=?,則sinα=?()A.?

B.?C.?

D.?答案

D∵α∈

,∴α+

∈

,又∵cos

=

,∴sin

=

,所以sinα=sin

=sin

cos

-cos

sin

=

,故選D.3.(甘肅張掖第一次質(zhì)檢)已知tan?=4cos(2π-θ),|θ|<?,則tan2θ=?()?

B.??

D.?答案

D∵tan

=4cos(2π-θ),∴

=4cosθ,又|θ|<

,∴sinθ=

,∴tanθ=

,從而tan2θ=

=

=

,故選D.4.(內(nèi)蒙古呼和浩特質(zhì)量普查)若sin(π-α)=?,且?≤α≤π,則sin2α的值為?()??

C.?

D.?答案

B∵sin(π-α)=sinα=

,

≤α≤π,∴cosα=-

=-

,∴sin2α=2sinαcosα=2×

×

=-

.選B.5.(寧夏六盤山四模)已知sinα=?,則cos2α=?()A.??

C.??答案

C因為sinα=

,所以cos2α=1-2sin2α=1-2×

=

,故選C.6.(重慶巴蜀中學(xué)二診)sin40°sin10°+cos40°sin80°=?()A.??

C.cos50°

D.?答案

D原式=sin40°sin10°+cos40°cos10°=cos(40°-10°)=cos30°=

,選D.7.(陜西師大附中二模)已知cosα=-?,且α∈?,則tan?等于?()?

B.-7

C.?答案

C由于α∈

,故sinα=

,tanα=-

,故tan

=

=

.故選C.8.(遼寧凌源實驗中學(xué)、凌源二中聯(lián)考)?等于?()??

C.?

D.?答案

C

=

=

=

,故選C.9.(黑龍江哈爾濱三中二模)已知sin?=?,則sin?=?()?

B.?

C.±??答案

A因為sin

=sin

=cos

=

,所以sin

=sin

=cos

=cos

=2cos2

-1=-

.選A.10.(甘肅蘭州實戰(zhàn)模擬)若sinα-sinβ=1-?,cosα-cosβ=?,則cos(α-β)=

.答案

解析將已知條件兩邊平方得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=

-

,cos2α+cos2β-2cosαcosβ=

,兩式相加并化簡得cos(α-β)=

.B組

—年高考模擬·綜合題組(時間:20分鐘分值:50分)一、選擇題(每題5分,共30分)1.(陜西榆林二模)已知?=3cos(2π+θ),|θ|<?,則sin2θ=?()A.?

B.?

C.?

D.?答案

C因為

=3cos(2π+θ),所以

=3cosθ,又|θ|<

,故sinθ=

,則cosθ=

,所以sin2θ=2sinθcosθ=2×

×

=

.故選C.2.(陜西榆林第一次模擬)若0<α<?,-?<β<0,cos?=?,cos?=?,則cos?=?()A.??

C.??答案

A由題目條件得sin

=

,sin

=

,∴cos

=cos

=cos

cos

+sin

sin

=

×

+

×

=

.故選A.3.(甘肅張掖第一次質(zhì)量檢測)若tan(π-α)=?,α是第二象限角,則?=?()A.?

B.5

C.?答案

D∵tan(π-α)=

,∴tanα=-

,又α∈

,∴cosα=-

,從而

=

=

=10,故選D.4.(黑龍江哈爾濱師大附中三模)已知α∈?,且2cos2α=cos?,則sin2α的值為?()A.??

C.??答案

C∵2cos2α=cos

,∴2(cosα+sinα)(cosα-sinα)=

(cosα+sinα),又α∈

,∴cosα+sinα≠0,∴cosα-sinα=

,∴1-sin2α=

.∴sin2α=

.5.(陜西西安模擬(一))已知α∈R,sinα+2cosα=?,則tan2α=?()A.?

B.???