【數(shù)學(xué)課件】獨立性檢驗 2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

獨立性檢驗引01結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖引01結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖普查不易操作引02問題情境在上節(jié)課中：通過2X2列聯(lián)表整理成對分類變量的樣本觀測數(shù)據(jù)，并根據(jù)事件的頻率的穩(wěn)定性推斷該兩個分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)。對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤。提出問題：是否存在更理性，更安全的推斷方法呢？即使犯錯誤，錯誤的概率也有一定的控制。引02學(xué)習(xí)目標1．理解獨立性檢驗的基本思想；2．了解隨機變量χ2的含義；3．理解獨立性檢驗的基本步驟.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)分析，數(shù)學(xué)運算重點：理解獨立性檢驗的基本思想和基本步驟.難點：了解隨機變量χ2的含義.評03建構(gòu)新知問題：某學(xué)校高一新生入學(xué)后，學(xué)校進行一段時間的文明禮儀教育，其中一項就是推行文明用語。某天路上有兩位學(xué)生在交談，說“A同學(xué)經(jīng)常說臟話”。如果你聽到了，你是否可以用數(shù)學(xué)的方法判斷這兩個同學(xué)說的話的真假性呢？①

初步假設(shè)推斷H0

：A幾乎不說臟話概率α0.10.050.01χα1次/一學(xué)期3次/一學(xué)期5次/一學(xué)期②③

定標準為0.05，現(xiàn)在正常情況下統(tǒng)計A同學(xué)說臟話的次數(shù)（一學(xué)期）假如χα=4（或3次），我們就說假設(shè)推斷H0

不成立，即認為A是經(jīng)常說臟話的，即使犯錯誤，那結(jié)論：推斷H0

不成立犯錯的概率也不超過0.05；假如χα=2（或1次），沒有足夠證據(jù)表明推斷H0

不成立，即認為A是幾乎不說臟話的。龐家萊買面包的故事概率α

越小，臨界值越大例1

為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.評03建構(gòu)新知①

假設(shè)推斷H0

：兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異（所在學(xué)校與數(shù)學(xué)是否優(yōu)秀是獨立的）②概率α0.10.050.010.0050.001χα2.7063.8416.6357.87910.828③

給定標準為0.1，χ2=≈0.837<2.706所以沒有充分的證據(jù)證明推斷H0不成立，即認為兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異

。χ2

獨立性檢驗

此χ2

表是統(tǒng)一的評03建構(gòu)新知基于小概率值

α的檢驗規(guī)則：

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.一、獨立性檢驗.零假設(shè)H0

：

分類變量X與Y獨立（或原假設(shè)）

小概率值α就是判斷的標準（或

有1－α的把握認為X與Y不獨立；評04鞏固應(yīng)用例3某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解:零假設(shè)為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.依據(jù)題意得下2X2列聯(lián)表：1361152169636675215治愈未治愈合計療效合計乙甲療法

所以沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,即認為兩種療法效果沒有差異.表中如果調(diào)換

療法和療效的位置，卡方值會改變嗎？評04鞏固應(yīng)用

療法療效合計未治愈治愈乙66369甲155267合計21115136療法療效合計治愈未治愈甲521567乙63669合計11521136

評04鞏固應(yīng)用小結(jié)：χ2

獨立性檢驗的主要步驟

(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立,(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值（小概率值α對應(yīng)的值）比較.(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論

評04鞏固應(yīng)用思考：獨立性檢驗的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？反證法獨立性檢驗在某種假設(shè)H0下，如果推出一個矛盾，則證明H0不成立；若未能推出矛盾，不能對H0下任何結(jié)論，即反證法不成功在零假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個與H0相矛盾的小概率事件，則推斷H0不成立，且該推斷犯錯誤的概率不大于這個小概率.否則，不能推斷H0不成立，通常會接受H0，即認為兩個分類變量相互獨