陜西省榆林市一中學分校2024屆九年級數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

陜西省榆林市一中學分校2024屆九年級數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，中，、分別是、邊上一點，是、的交點，，，交于，若，則長度為（）A． B． C． D．2．若，則的值為()A． B． C． D．3．已知圓與點在同一平面內，如果圓的半徑為5，線段的長為4，則點（）A．在圓上 B．在圓內 C．在圓外 D．在圓上或在圓內4．如圖，在中，DE∥BC，，，，()A．8 B．9 C．10 D．125．若，下列結論正確的是（）A． B． C． D．以上結論均不正確6．如圖，在△ABC中，中線BE、CF相交于點G，連接EF，下列結論：①=；②=；③=；④=．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B． C．3個 D．4個7．一塊矩形菜地的面積是120平方米，如果它的長減少2米，菜地就變成正方形，則原菜地的長是（）A．10 B．12 C．13 D．148．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（）A．30° B．45° C．60° D．67.5°9．如圖，圓錐的底面半徑OB＝6cm，高OC＝8cm，則這個圓錐的側面積是（）A．30 B．30π C．60π D．48π10．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，則這個方程的兩根為（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不確定二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知二次函數(shù)，與的部分對應值如下表所示：…-101234……61-2-3-2m…下面有四個論斷：①拋物線的頂點為；②；③關于的方程的解為；④．其中，正確的有___________________．12．已知，是方程的兩實數(shù)根，則__．13．函數(shù)中，自變量的取值范圍是________.14．在一個不透明的袋子中有1個紅球和3個白球，這些球除顏色外都相同，在袋子中再放入個白球后，從袋子中隨機摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，經大量試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.95左右，則______.15．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，為平面內的動點，且滿足，為直線上的動點，則線段長的最小值為________.16．如圖，正方形ABCD中，P為AD上一點，BP⊥PE交BC的延長線于點E，若AB=6，AP=4，則CE的長為_____．17．一元二次方程5x2﹣1＝4x的一次項系數(shù)是______．18．若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是________.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)當∠ODB=30°時，求證：BC=OD．20．（6分）將△ABC繞點B逆時針旋轉到△A′BC′，使A、B、C′在同一直線上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求圖中陰影部分的面積．21．（6分）從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.（1）如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，當∠BCD=40°時，證明：CD為△ABC的完美分割線.（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以AC為底邊的等腰三角形，求∠ACB的度數(shù).（3）如圖2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割線，△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求CD的長.22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE切⊙O于點D，交BC于E．（1）求證DE⊥BC；（2）若⊙O的半徑為5，BE＝2，求DE的長度．23．（8分）如圖，點P在直線y=x-1上，設過點P的直線交拋物線y=x2于A(a，a2)，B(b，b2)兩點，當滿足PA=PB時，稱點P為“優(yōu)點”.(1)當a+b=0時，求“優(yōu)點”P的橫坐標；(2)若“優(yōu)點”P的橫坐標為3，求式子18a-9b的值；(3)小安演算發(fā)現(xiàn)：直線y=x-1上的所有點都是“優(yōu)點”，請判斷小安發(fā)現(xiàn)是否正確？如果正確，說明理由；如果不正確，舉出反例.24．（8分）如圖，在△ABC中，點O在邊AC上，⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點，與邊AC交于E點，弦CF與AB平行，與DO的延長線交于M點．（1）求證：點M是CF的中點；（2）若E是的中點，BC＝a，①求的弧長；②求的值．25．（10分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，頂點為點.（1）點的坐標為，點的坐標為；（用含有的代數(shù)式表示）（2）連接.①若平分，求二次函數(shù)的表達式；②連接，若平分，求二次函數(shù)的表達式.26．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣3，0），B（1，0），C（2，﹣5）．（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）畫出這個函數(shù)的圖象；（3）△ABC的面積為．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據AAS證明△BDF≌△ENF，得到NE=BD=1，再由NE∥BC，得到△ANE∽△ADC，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．【題目詳解】∵NE∥BC，∴∠ENF=∠BDF，∠NEF=∠DBF．∵BF=EF，∴△BDF≌△ENF，∴NE=BD=1．∵NE∥BC，∴△ANE∽△ADC，∴，∴，∴DC=2．故選：D．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質．求出NE的長是解答本題的關鍵．2、A【分析】根據比例的性質，可用b表示a，根據分式的性質，可得答案．【題目詳解】由，得4b＝a?b．，解得a＝5b，故選：A．【題目點撥】本題考查了比例的性質，利用比例的性質得出b表示a是解題關鍵．3、B【分析】由題意根據圓的半徑和線段的長進行大小比較，即可得出選項.【題目詳解】解：因為圓的半徑為5，線段的長為4，5>4，所以點在圓內.故選B.【題目點撥】本題考查同一平面內點與圓的位置關系，根據相關判斷方法進行大小比較即可.4、D【分析】先由DE∥BC得出，再將已知數(shù)值代入即可求出AC．【題目詳解】∵DE∥BC，∴，∵AD=5，BD=10，∴AB=5+10=15，∵AE=4，∴，∴AC=12.故選：D.【題目點撥】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵.5、B【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關系，得出．【題目詳解】∵，∴，∴，故選：B．【題目點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握互為余角的正余弦關系：一個角的正弦值等于另一個銳角的余角的余弦值則這兩個銳角互余．6、C【解題分析】根據三角形的中位線定理推出FE∥BC，利用平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質和等底同高的三角形面積相等一一判斷即可．【題目詳解】∵AF＝FB，AE＝EC，∴FE∥BC，F(xiàn)E：BC＝1：2，∴，故①③正確．∵FE∥BC，F(xiàn)E：BC＝1：2，∴FG：GC=1：2，△FEG∽△CBG．設S△FGE＝S，則S△EGC＝2S，S△BGC＝4s，∴，故②錯誤．∵S△FGE＝S，S△EGC＝2S，∴S△EFC＝3S．∵AE=EC，∴S△AEF＝3S，∴=，故④正確．故選C．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7、B【分析】設原菜地的長為，根據正方形的性質可得原矩形菜地的寬，再根據矩形的面積公式列出方程求解即可．【題目詳解】設原菜地的長為，則原矩形菜地的寬由題意得：解得：，(不合題意，舍去)故選：B【題目點撥】本題考查了一元二次方程的實際應用，依據題意正確建立方程是解題關鍵．8、D【分析】利用圓的切線的性質定理、等腰三角形的性質即可得出．【題目詳解】解：∵PD切⊙O于點C，∴OC⊥CD，在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．∵OC=OA，∴∠OCA＝×45°=22.5°．∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故選：D．【題目點撥】本題考查切線的性質定理,熟練掌握圓的切線的性質定理、等腰三角形的性質是解題的關鍵．9、C【解題分析】試題分析：∵它的底面半徑OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10（cm），∴這個圓錐漏斗的側面積是：πrl=π×6×10=60π（cm2）．故選C．考點：圓錐的計算．10、C【分析】根據求出m的值，再把求得的m的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的兩個根.【題目詳解】解：∵△=b2﹣4ac=0，∴4﹣4m=0，解得：m=1，∴原方程可化為：x2+2x+1=0，∴（x+1）2=0，∴x1=x2=﹣1．故選C．【題目點撥】本題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、①③．【解題分析】根據圖表求出函數(shù)對稱軸，再根據圖表信息和二次函數(shù)性質逐一判斷即可.【題目詳解】由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），y與x的部分對應值可知：該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是直線x=2，頂點坐標為（2，-3）；與x軸有兩個交點，一個在0與1之間，另一個在3與4之間；當y=-2時，x=1或x=3；由拋物線的對稱性可知，m=1；①拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為（2，-3），結論正確；②b2﹣4ac＝0，結論錯誤，應該是b2﹣4ac>0；③關于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解為x1＝1，x2＝3，結論正確；④m＝﹣3，結論錯誤，其中，正確的有.①③故答案為：①③【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像，結合圖表信息是解題的關鍵.12、1【分析】先根據一元二次方程根的定義得到，則可變形為，再根據根與系數(shù)的關系得到，，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．【題目詳解】是方程的實數(shù)根，，，，，是方程的兩實數(shù)根，，，．故答案為1．【題目點撥】考查了根與系數(shù)的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．13、【分析】根據分式有意義的條件是分母不為0；可得關系式x﹣1≠0，求解可得自變量x的取值范圍．【題目詳解】根據題意，有x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案為：x≠1．【題目點撥】本題考查了分式有意義的條件．掌握分式有意義的條件是分母不等于0是解答本題的關鍵．14、1【分析】根據用頻率估計概率即可求出摸到白球的概率，然后利用概率公式列出方程即可求出x的值．【題目詳解】解：∵經大量試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.95左右∴摸到白球的概率為0.95∴解得：1經檢驗：1是原方程的解．故答案為：1．【題目點撥】此題考查的是用頻率估計概率和根據概率求數(shù)量問題，掌握概率公式是解決此題的關鍵．15、【分析】由直徑所對的圓周角為直角可知，動點軌跡為以中點為圓心，長為直徑的圓，求得圓心到直線的距離，即可求得答案．【題目詳解】∵，∴動點軌跡為：以中點為圓心，長為直徑的圓，∵，，∴點M的坐標為：，半徑為1，過點M作直線垂線，垂足為D，交⊙D于C點，如圖：此時取得最小值，∵直線的解析式為：，∴，∴，∵，∴，∴最小值為，故答案為：．【題目點撥】本題考查了點的軌跡，圓周角定理，圓心到直線的距離，正確理解點到直線的距離垂線段最短是正確解答本題的關鍵．16、2【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，結合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性質可求出DF的長，進而可得出CF的長，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性質可求出CE的長．【題目詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD﹣AP=1．∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴，即，∴DF=，∴CF=．∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴=，即，∴CE=2．故答案為：2．【題目點撥】此題考查相似三角形判定與性質以及正方形的性質，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解題的關鍵．17、-4【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【題目詳解】解：∵5x2﹣1＝4x，方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，則一次項系數(shù)是﹣4，故答案為：﹣4【題目點撥】本題考查了一元二次方程的一般形式，解答本題要通過移項，轉化為一般形式，注意移項時符號的變化．18、且【分析】根據根的判別式?>0，且二次項系數(shù)a-2≠0列式求解即可.當?>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當?<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.【題目詳解】由題意得，解得且，故答案為：且.【題目點撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵.解答時要注意二次項的系數(shù)不能等于零.三、解答題(共66分)19、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由OD⊥ACOD為半徑，根據垂徑定理，即可得，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數(shù)，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數(shù)，然后由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD．【題目詳解】（1）∵OD⊥ACOD為半徑，∴，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，∵OD=AB，∴BC=OD．20、4πcm2【分析】由旋轉知△A′BC′≌△ABC，兩個三角形的面積S△A′BC′=S△ABC，將三角形△A′BC′旋轉到三角形△ABC，變成一個扇面，陰影面積=大扇形A′BA面積-小扇形C′OC面積即可．【題目詳解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，由旋轉知△A′BC′≌△ABC∴S△A′BC′=S△ABC，∴S陰影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC=S扇形ABA′-S扇形CBC′=×（42-22）=4π（cm2）．【題目點撥】本題考查陰影部分面積問題，關鍵利用順時針旋轉△A′C′B到△ACB，補上△A′C′B內部的陰影面積，使圖形變成一個扇面，用扇形面積公式求出大扇形面積與小扇形面積．21、（1）證明見解析；（2）∠ACB=96°；（3）CD的長為-1.【分析】（1）根據三角形內角和定理可求出∠ACB=80°，進而可得∠ACD=40°，即可證明AD=CD，由∠BCD=∠A=40°，∠B為公共角可證明三角形BCD∽△BAC，即可得結論；（2）根據等腰三角形的性質可得∠ACD=∠A=48°，根據相似三角形的性質可得∠BCD=∠A=48°，進而可得∠ACB的度數(shù)；（3）由相似三角形的性質可得∠BCD=∠A，由AC=BC=2可得∠A=∠B，即可證明∠BCD=∠B，可得BD=CD，根據相似三角形的性質列方程求出CD的長即可.【題目詳解】（1）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-40°-60°=80°，∵∠BCD=40°，∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°，∴∠ACD=∠A，∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠B為公共角，∴△BCD∽△BAC，∴CD為△ABC的完美分割線.（2）∵△ACD是以AC為底邊的等腰三角形，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=48°，∵CD是△ABC的完美分割線，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.（3）∵△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，∴AD=AC=2，∵CD是△ABC的完美分割線，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，，∵AC=BC=2，∴∠A=∠B，∴∠BCD=∠B，∴BD=CD，∴，即，解得：CD=-1或CD=--1（舍去），∴CD的長為-1.【題目點撥】本題考查相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，正確理解完美分割線的定義并熟練掌握相似三角形的性質是解題關鍵.22、（1）證明見解析；（2）DE＝4【分析】（1）連接OD，DE是切線，則OD⊥DE，則OD是△ABC的中位線，可得OD∥BC，據此即可求證；（2）過B作OD的垂線，垂足為F，證明四邊形DFBE為矩形，Rt△OFB中用勾股定理即可求得DE的長度.【題目詳解】證明（1）連接OD∵DE切⊙O于點D∴OD⊥DE∴∠ODE＝90°∵D是AC的中點，O是AB的中點∴OD是△ABCD的中位線∴OD∥BC∴∠DEC＝90°∴DE⊥BC（2）過B作BF⊥OD∵BF⊥OD∴∠DFB＝90°∴∠DFB＝∠DEB＝∠ODE＝90°∴四邊形DFBE為矩形∴DF＝BE＝2∴OF＝OD－DF＝5－2＝3∴DE＝BF＝4【題目點撥】本題考查了圓的切線的性質、三角形中位線的判定和性質、矩形的判定和性質、直角三角形的性質，輔助線是關鍵.23、(1)點橫坐標為；(2)27；(3)正確，理由見解析.【分析】（1）先判斷點A與點B關于y軸對稱得到PA∥x軸，所以P點的縱坐標為a2，P點的橫坐標為a2+1，則利用PA=AB得到a2+1-a=a-（-a），然后求出a得到優(yōu)點”P的橫坐標；

（2）由于A點為PB的中點，根據線段的中點坐標公式得到a=，即2a-b=3，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值；（3）設P（x，x-1），利用A點為PB的中點得到a=，a2=，消去a得到方程x2+2（b-1）x+1-b2=0，然后通過證明此方程一定有解判斷直線y=x-1上的所有點都是“優(yōu)點”．【題目詳解】(1)∵，∴點、關于對稱，∴軸，∵，∴點的橫坐標為，∴點的坐標為，點的坐標為，∵軸，∴，解得，∴點橫坐標為；(2)∵點在直線上，∴點坐標為，∵，∴，∴，∴；(3)設點坐標為，結合點的坐標，當時，分析出點的坐標為，把點坐標代入拋物線解析式中，，整理，得，∵，∴對于任意，總有x使得PA=AB，∴直線上的點均為優(yōu)點.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質；記住線段的中點坐標公式；理解判別式的意義．24、（1）見解析；（2）①πa；②＝1．【分析】（1）由切線的性質可得∠ACB＝∠ODB＝90°，由平行線的性質可得OM⊥CF，由垂徑定理可得結論；（2）①由題意可證△BCD是等邊三角形，可得∠B＝60°，由直角三角形的性質可得AB＝2a，AC＝a，AD＝a，通過證明△ADO∽△ACB，可得，可求DO的長，由弧長公式可求解；②由直角三角形的性質可求AO＝a，可得AE的長，即可求解．【題目詳解】證明：（1）∵⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點，∴∠ACB＝∠ODB＝90°，∵CF∥AB，∴∠OMF＝∠ODB＝90°，∴OM⊥CF，且OM過圓心O，∴點M是CF的中點；（2）①連接CD，DF，OF，∵⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點，∴BD＝BC，∵E是的中點，∴，∴∠DCE＝∠FCE，∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，且BD＝BC，∴BD＝BC＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°＝∠ECF＝∠ACD，∴∠DCF＝60°，∴∠DOF＝120°，∵BC＝a，∠A＝30°，∴AB＝2a，AC＝a，∴AD＝a，∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠ACB＝90°，∴△ADO∽△ACB，∴，∴∴DO＝a，∴的弧長＝＝πa；②∵∠A＝30°，OD⊥AB，∴AO＝2DO＝a，∴AE＝AO﹣OE＝﹣a＝a，∴＝1．【題目點撥】本題是相似形綜合題，考查了圓的有關性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，弧長公式，靈活運用這些性質進行推理證明是本題的關鍵．25、（1），；（2）①，②【解題分析】（1）令y=0，解關于x的方程，解方程即可求出x的值，進而可得點B的坐標；把拋物線的解析式轉化為頂點式，即可得出點D的坐標；（2）①如圖1，過點作，交于點，作DF⊥y軸于點F，則易得點C的坐標與CF的長，利用BH的長和∠B的正切可求出HE的長，進而可得DE的長，由題意和平行線的性