2021、2022年各地高考數(shù)學(xué)真題：三角函數(shù)與解三角形 含答案解析

2021、2022年高考數(shù)學(xué)真題：三角函數(shù)與解三角形

一、選擇題...............................................................1

二、填空題..............................................................14

三、解答題..............................................................19

一、選擇題

1.（2022?全國甲（文）T5）將函數(shù)/（x）=sin［①》+三）（。>0）的圖像向左平移3個單位

長度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是（）

11C11

A.-B.-C.-D.~

6432

2.（2022?全國甲（理）T11）設(shè)函數(shù)/（x）=sin（⑦x+0）在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩

個零點，則①的取值范圍是（）

513)519、

A.1_36JB.L36J

<138'r13191

C.----D.

16'3_(66

3.（2022?全國乙（文）T11）函數(shù)/（6=85元+（無+1回11%+1在區(qū)間［0,2兀］的最小值、

最大值分別為（）

兀兀3兀兀

A.---,——B.----,——

2222

兀兀C37171c

__,-+2D.----,-+2

2222

（乃、

4.（2022.新高考I卷T6）記函數(shù)/（x）=sin5+7+優(yōu)⑦>0）的最小正周期為T.若

I4J

^27<T<7T,且y=/（x）的圖象關(guān)于點（與,2）中心對稱，則/

()

3

35

A.1B.一C.一D.3

22

（2022?北京卷T5）己知函數(shù)/（x）=c°s2x-snrx,則（）

5.

J乃7t

A./(*)在上單調(diào)遞減B./*）在［一］,三J上單調(diào)遞增

[26

f（x）在（0,?）上單調(diào)遞減717乃

C.D./(x)在上單調(diào)遞增

6.(2022?北京卷T10)在AABC中，AC=3,8C=4,NC=90°.「為AABC所在平面內(nèi)

的動點，且PC=I,則蘇-巨分的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4JD.L-4,6J

7.（2022?浙江卷T6）為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin3x+g）圖

象上所有的點（）

7TB.向右平移/個單位長度

A.向左平移1個單位長度

兀兀

C向左平移百個單位長度D.向右平移石個單位長度

71

8.(2022?新高考II卷T6)角a,1滿足sin(a+/?)+cos(a+夕)=2&cos。+—sin0,

4

則()

A.tan(?+/?)=1B.tan(a+/7)=-l

C.tan(a-/?)=1D.tan(a-4)=-l

9.(2022?新高考II卷T9)函數(shù)/(x)=sin(2x+0)(()<9<7i:)的圖象以中心對稱,

則()

丁=/。）在（0,需）單調(diào)遞減

A.

_\71117C

B.-3在一運五有2個極值點

7兀

C.直線x=1■是一條對稱軸

D.直線y=孚一光是一條切線

10.（2021?全國）若tan8=—2,則絲怨土吧網(wǎng)=（）

sin0+cos0

6226

A.---B.---C.-D.一

5555

xx

11.（2021?全國（文））函數(shù)/（x）=sin§+cos3的最小正周期和最大值分別是（）

A.3兀和0B.3兀和2C.6兀和正D.6兀和2

12.（2021?浙江）己知a,夕,7是互不相同的銳角，則在sinacos尸,sin尸cosy,sinycosa

三個值中，大于工的個數(shù)的最大值是（）

2

A.0B.1C.2D.3

13.（2021?全國（文））在AABC1中，己知6=120°,AC=M，AB=2,則BC=（）

A.1B.V2C.y/5D.3

14.（2021?全國（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為

8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的

一個示意圖，現(xiàn)有4,B,C三點，且4B,。在同一水平面上的投影滿足

NA'C'3'=45°,NA'HC'=60°.由C點測得8點的仰角為15°,88'與CC的差為100；

由6點測得/點的仰角為45°,則4C兩點到水平面AB'C'的高度差A(yù)A-CC'約為

（73?1.732）（）

(JI\cos(X

15.(2021?全國(文))若ae0,-,tan2a=-^^?,則tana=()

I2)2-sina

B,更V?----------

53

16.（2021?全國（理））已知《，鳥是雙曲線C的兩個焦點，戶為。上一點，且

ZF}PF2=6（r]PF]\=3\PF2\f則C的離心率為（）

A,也

C.V7D.V13

2

17.（2021?全國（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題

是測海島的高.如圖，點E，H，G在水平線AC上，OE和尸G是兩個垂直于水平而且

等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和團(tuán)都稱為“表目距”，

GC與的差稱為“表目距的差”則海島的高A3=（）

表高x表距表高X表距

A'表目距的差一表可■表目距的差—表問

表高X表距表高x表距一主"

■表目距的差表距n'表目距的差表距

18.（2021?全國（理））把函數(shù)y=/（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐

標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移；?個單位長度，得到函數(shù)曠=（71

sinx的圖像，則/（幻=

）

XlxX冗

A.sinB.sin—+一

2-l2212

C.sin--衛(wèi)sinf2工+專

D.

I12

2571

19.（2021?全國（文））cos'——cos（

1212

A-1V2D.B

B.—C.

322

選擇題答案及解析

1.【答案】c

71兀(j)7tTC

【詳解】由題意知：曲線。為丁=5m|。x+—+—=sin(<yx+—+—),又。關(guān)于y

LV2y3J23

..LJ.(0717171、、r

軸對稱，則n----1--=---Fk/,攵￡Z,

232

解得3=^+2%,女eZ,又切>0,故當(dāng)左=0時，力的最小值為

33

2.【答案】C

【詳解】解：依題意可得力>(),因為XW((),〃)，所以0%+]€(《，/萬+?1,

要使函數(shù)在區(qū)間(0,〃)恰有三個極值點、兩個零點，又丫二4門》，XG[2,3乃]的圖象如下

所示：

3.【答案】D

【詳解】/'(%)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以/(x)在區(qū)間(0e)和(9,2兀)上r(x)>0,即/(無)單調(diào)遞增;

(rr37r、

在區(qū)間5，w上r(x)<o,即/(X)單調(diào)遞減，

/

又/（0）=/（2兀）=2,/?=>2,

所以/(x)在區(qū)間［0,2可上的最小值為，最大值為-+2.

22

4.【答案】A

27r27r2乃

【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足——<T(萬，得一<——<九,解得2<。<3,

33co

(3n\377TC

又因為函數(shù)圖象關(guān)于點—,2對稱,所以一co—=k兀,kwZ且6=2,

I2J24

所以0=一2+2攵,攵eZ,所以(v=9,/(x)=sin-x+—|+2,

632U4J

所以/0=sin［%+?)+2=L

5.【答案】C

【詳解】因為/(%)=cos2x-sin2%=8s2x.

jrjrJTI冗冗)

對于A選項，當(dāng)—,<x<—%■時，rr<2x<-1,則/(%)在［一彳,一()上單調(diào)遞增,

A錯；

JTJT-TTJT/JTJT\

對于B選項，當(dāng)——<x<一時，——<2x<；,則“力在一7不上不單調(diào)，B錯;

對于C選項，當(dāng)0<x<。時，0<2%<1，則〃尤)在(0,0)上單調(diào)遞減，C對；

對于D選項，當(dāng)一<x<—時，一<2x<—,則/(x)在(上不單調(diào)，D錯.

41226一(412J

6.【答案】D

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0),A(3,0),8(0,4),

因為PC=1,所以P在以。為圓心，1為半徑的圓上運動,

設(shè)P(cossin夕),0G[(),21],

所以PA=(3—cos。,一sin。),P8=(-cose,4—sin。),

所以JR4-PB=(-cos0)x(3-cos^)+(4-sin0)x(-sin0)

=cos2^-3cos^-4sin^+sin20

=l-3cos8—4sin6

=1—5sin(6+0),其中sin0=],cos夕=[

因為一l<sin(6+0)<l,所以T<1—5sin(6+0)<6,即麗?麗w[-4,6]；

7.【答案】D

【詳解】因為y=2sin3x=2sin],所以把函數(shù)y=2sin13x+1J圖象上

的所有點向右平移a個單位長度即可得到函數(shù)y=2sin3x的圖象.

8.【答案】D

【詳解】由已知得：

sinacos/3+cosasin/?+cosacos用一sinasin/=2(cosa-sina)sin4,

即：sinacos/3-cosasin/?4-cosacos/3+smasin/?=0,

即：sin(a-〃)+cos(a-/?)=0,

所以tan(a—/?)=—l,

9.【答案】AD

2兀=sin(F+°)=O,所以4兀/+°=E,左eZ,

【詳解】由題意得：f

3

471

即9二———Fkrt,Z￡Z,

2兀(2兀

又0＜夕＜兀，所以％=2時，^=—,故/(x)=sin[2x+

c2兀2713兀

對A,當(dāng)時,2,XH---€,由正弦函數(shù)y=sin"圖象知y=/(x)在

3T'T

57r)

0,行?上是單調(diào)遞減;

7i1In,_2兀715兀

對B,當(dāng)xe時，2xH---￡,由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=,f(x)只

立下32'T

有1個極值點，由2'+?='，解得X=學(xué)，即》=2為函數(shù)的唯一極值點;

321212

7yr27i77i7兀

對c,當(dāng)x時，2x+——=3兀，/(—)=0,直線x=—不是對稱軸;

6366

=一1得：cosf2x+y

對D,由y

=2COS2X+T2

2TT971971471

解得2x+—=——+2版或2x+——=——+2也?eZ,

3333

兀

從而得：%=也或x=—+攵兀,2EZ,

3

所以函數(shù)y=/(x)在點0,日)處的切線斜率為k=y'Lo=2cos與=—1,

切線方程為：y—=一(》一0)即y=等?-龍.

10.C

【分析】

將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母(I=sin2e+cos2。)，進(jìn)行

齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入tan。=-2即可得到結(jié)果.

【解析】

將式子進(jìn)行齊次化處理得:

sin0(1+sin2^)sin^(sin20+cos2e+2sin9cose)

=sin6)(sincos

sin。+cos。sin6+cos3

sin/sinO+cos。)_tan26>+tan^_4-2_2

sin2^+cos261+tan201+45

11.C

【分析】

利用輔助角公式化簡/(x),結(jié)合三角函數(shù)最小正周期和最大值的求法確定正確選項.

【解析】

由題，/(x)=V2sinf|+^\所以/(x)的最小正周期為，=T=62，最大值為

12.C

【分析】

3

利用基本不等式或排序不等式得sinacos/?+sin〃cos7+sinycosaKg,從而可判斷三

個代數(shù)式不可能均大于4，再結(jié)合特例可得三式中大于!的個數(shù)的最大值.

22

【解析】

?22c

法1：由基本不等式有sinacos/?《sma；cos[/7,

ee.c,sin23+cos2/sin2y+cos2a

同理sm，cosy<---------------—,smycosa<............,

3

故sinacos〃+sin^cos/+sin/coscir<—,

故sinacos氏sinf3cosy,sinycosa不可能均大于g.

■71c兀兀

取二=一,B=_,y=一,

6k34

則sinacos/?=；<；,sin/cosy=>；,sinycosa=~^~>；，

故三式中大嗎的個數(shù)的最大值為2,

故選：C.

法2：不妨設(shè)。〈《〈九則cosa>cos/?>cosy,sinavsin/7vsin/,

由排列不等式可得：

sinacos/?+sin尸cosy+sinycosa<sinacosy+sin/?cos尸+sin/cosa,

i3

而sinacos/+sin/?cos/?+sin/cosa=sin(/+6z)+—sin2^<—,

故5皿。854,5后尸(:057,5足7(3056^不可能均大于3.

廣71cn式

取。="，B=q，7=丁，

634

..11..V61.V61

WnilJlsinacosp=—<—,sinpcos/=sin/cost/=-^->—，

故三式中大于g的個數(shù)的最大值為2,

2

故選：C.

13.D

【分析】

利用余弦定理得到關(guān)于比1長度的方程，解方程即可求得邊長.

【解析】

設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,

結(jié)合余弦定理：b2=a2+c2-2accosB^^：19=iz2+4-2xtzxcosl20^

即：iz2+2a—15=0>解得：a=3（a=-5舍去），

故BC—3.

故選：D.

14.B

【分析】

通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得4B',進(jìn)而得到

答案.

【解析】

A

過C作C〃_L3B',過3作BD_LA4'，

故AA'-CC'=AA'-(BB'-BH)=A4'—33'+l(X)=AD+100,

由題，易知△A￡>8為等腰直角三角形，所以A0=￡)B.

所以A4'—CC'=03+100=43'+100.

因為NBC"=15°,所以C〃=C'8'=」^-

tan15°

在AA'B'C中,由正弦定理得:

A?_C'B,_100_100

sin450―sin75°-tan15°cos15°-sin150'

V6-V2

而sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=

4

斫以100x4x—

所以A'8'=—產(chǎn)4=100(6+1)?273

V6-V2

所以A4'—CC'=AB+100，373.

故選：B.

15.A

【分析】

由二倍角公式可得tan2a="紅=2sm，再結(jié)合已知可求得sina=」，利用同

cos2a1—2sma4

角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.

【解析】

一cosa-sin2a2sinacosacosa

,/tan2a=-----；----/.tan2a=--------=--------———=-----；-----,

2-sincos2al-2sin~a2—sina

2sina_1

,.?ael0,^I,「.cosawO解得sina=—,

l-2sin2a2-sincr4

r-—V15sinaV15

/.cos6Z=vl-sina-----，/.tana---------=------?

4cosa15

故選：A.

16.A

【解析】

因為|P娟=3|尸段,由雙曲線的定義可得|尸耳|一|尸聞=2|尸用=勿,

所以|尸鳥|=〃，|尸周=3a；

因為NRPK=60°,由余弦定理可得4c2=9〃2+〃2-2X3G4?COS60。，

整理可得4c2=7后,所以e2=：=N,即6=立.

a242

故選：A

17.A

【分析】

利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出.

【解析】

如圖所示：

DEEHFG

由平面相似可知，———,而DE=FG,所以

ABAC

DEEHCGCG-EHCG-EH

,而CH=CE-EH=CG-EH+EG,

AC-AH~~CH

CG^EH^EG^^EG^DE_表高〉表距

即AB=+DE+表圖.故選：A.

CG-EHCG-EH一表目距的差

18.B

【分析】

解法一：從函數(shù)y=/(x)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到

)，=/[2(x—即得/2(x—=再利用換元思想求得y=/(x)的

解析表達(dá)式；

解法二：從函數(shù)〉=sin(x-1]出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到

y=/(x)的解析表達(dá)式.

【解析】

解法一：函數(shù)y=/(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的千倍，縱坐標(biāo)不變，得到

y=/(2x)的圖象，再把所得曲線向右平移?個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫統(tǒng)=f的

圖象，

兀、

根據(jù)已知得到了函數(shù)y=sin的圖象，所以/

=sinx4J----

t71nt兀

則X=—+—，1---=—H---

234212

所以/(，)=sin，所以/(x)=sin5+5

k乙X乙Jk乙I乙

解法二:由已知的函數(shù)y=sin

jr7T71\\71\

第一步：向左平移一個單位長度，得到y(tǒng)=sinx+二一:=sinx+二的圖象，

3134；<12；

第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin[^+^|]的

圖象，

即為y=/(x)的圖象，所以/(x)=sin6+^|j.故選：B.

19.D

【解析】

97C25424271712萬.271

由題意，cos----cos——=cos----cos=cos----sin一=cos—

121212121262

故選：D.

二、填空題

1.（2022?全國甲（文）T16）.已知AABC中，點。在邊8C上，

ZADB=120°,AD=2,CD^2BD.當(dāng)之取得最小值時，BD=.

AB

2.（2022?全國乙（理）T15）記函數(shù)/（_1）=85（。沈+夕）（0＞0,0＜夕＜兀）的最小正周期

為T，若/（T）=1,尤=/為，3的零點，則。的最小值為.

71

3.（2022?北京卷T13）若函數(shù)/（"）=Asm”一gcosx的一個零點為3，則A=；

4.（2022?浙江卷T11）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公

式，就是S=J；c2a2一（￡±獰生）］,其中“，從c是三角形的三邊，S是三角形的

面積.設(shè)某三角形的三邊a=0*=6,c=2,則該三角形的面積S=.

5.（2022?浙江卷T13）若3sina-sin〃=\/I5,a+尸=',貝ijsina=一,

6.(2021?全國(文))已知函數(shù)/(x)=2cos?x+°)的部分圖像如圖所示，則/7T

7.(2021?全國(理))已知函數(shù)/(X)=2COS(3X+0)的部分圖像如圖所示，則滿足條件

/(x)-/(O).(xf4萬

〉0的最小正整數(shù)X為

填空題答案及解析

1.【答案】百—1##一1+百

【詳解】設(shè)CD=2BD=2m>0,

則在△ABO中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m，

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=W+4-，

AC?_4^2+4_4/〃_4(-2+4+2m)_]2(l+，〃)

12

=4-

所以AB2m2+4+2mm2+4+2m

m+1)H---

m+1

2\("+1>

xm+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)，〃+1=——即加=6-1時，等號成立,

所以當(dāng)——取最小值時，,〃=G-1.

2.【答案】3

【詳解】解：因為/(x)=cos(<yx+°),(0>0,0<°<兀)

27r(2、

所以最小正周期丁=,因為〃T)=COSCD*—+(p=COS(27l+0)=COS0=

又。＜夕＜兀，所以°=4,即/(x)=cosCDX--

又X弋為小)的零點，所以數(shù)+E=:+E/eZ,解得啰=3+9&,keZ,

因為。>0,所以當(dāng)％=0時4^=3；

3.【答案】①.I②.-V2

【詳解】?.?/(])=￥4—曰=0,，A=1

/(x)=sinx-V3cosx=2sin(x-^)

/A=2sin(^-^)=-2sin^=-V2

121234

故答案為：1,-V2

4.

【答案】

4

c2+a2-b2^

【詳解】因為S11c2a2,所以

2)

'4+2-3?叵

S—4x2-

7、2,~T~

5.【答案】①?嚕②

【詳解】a+J3=^,sin(3-cosa,即3sina—cosa=，

即時噌sina-qcosa]=g令sin6=巫，cos”還，

I1010J1010

則Vf5sin(a-6)=Vi5,，a-e=]+2Z"，k&Z,即a=6+5+2左乃，

??)A3M

??sina=sin，+—+2KZT=cos0=--,

I2)10

4

則cos2/?=2cos02J3-1-2sin~0a-l=—.

6.-73

【分析】

首先確定函數(shù)的解析式，然后求解/(1)的值即可.

【解析】

由題意可得：-T=^--=—,:.T=7r,a)=—=2,

41234T

當(dāng)x=]2時，QX+°=2x]2—(p—2ZCTT,(p—24"——兀(ke

71

令人=1可得：(P=--，

據(jù)此有：〃x)=2cos2x-^-y1=2cosf2x^--^J=2cos-^=-V3.

故答案為：-6

【小結(jié)】

已知/'（x）=/lcos（3x+0）（4>0,。>0）的部分圖象求其解析式時，4比較容易看圖得出,

困難的是求待定系數(shù)。和0,常用如下兩種方法：

27r

（1）由3=—即可求出。；確定0時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的

T

"零點"橫坐標(biāo)的，則令。即+0=0（或。即+。=〃），即可求出（P.

（2）代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點（最高點、最低點或“零點”）坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合

圖形解出。和0,若對4。的符號或?qū)?。的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符

合要求.

7.2

【分析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)/（X）的解析式，再求出/（-彳）,/（—）的值，然后求解三角不等式可

得最小正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.

【解析】

由圖可知37=空一2=型，即7=空=萬，所以0=2；

41234co

'J1'）177

由五點法可得2乂一+夕=一，即。=一二；

326

所以/（X）=2COS（2X—31?

…7兀、.(11兀)?

因為/(---)=2cosl——1=1,

7冗47t

所以由(/(X)-/(-y))(/(%)-/(y))>0可得/(x)>1或/(x)<0；

717t

因為/(1)=2cos2--<2cos

I6J=1,所以,

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/。）＜0,即cos（2x-己）＜0,

解得攵兀+?＜尤＜攵兀+型，ZeZ,令A(yù)=0,可得三＜x＜',

3636

可得X的最小正整數(shù)為2.

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/（x）＜0,又/（2）=2cos（4-己）＜0,符

合題意，可得x的最小正整數(shù)為2.

故答案為：2.

三、解答題

1.（2022?全國乙（文）T17）記AABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin（A-3）=sinBsin（C-A）.

（1）若A=28,求C

（2）證明：2。2=/+。2

2.（2022?全國乙（理）T17）記5c的內(nèi)角A氏。的對邊分別為4〃,c,已知

sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）.

（1）證明：2a2=b2+c2;

25

（2）若。=5,cosA=—,求△ABC的周長.

3.（2022?新高考I卷T18）記“WC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知

cosA_sin2B

14-sinAl+cos2B

（1）若。=2'萬，求8；

3

2,2

（2）求生:的最小值.

4.（2022?新高考II卷T18）記AABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,其對邊分別為a,b,

分別以a,6,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S「S2,S3,已知

51-52+53=^,sin5=i.

（1）求AABC的面積；

（2）若sinAsin。=二"，求4

3

5.（2022?北京卷T16）在AABC中，sin2c=6sinC.

（1）求NC；

（2）若8=6,且AABC的面積為6百，求AABC的周長.

6.（2022.浙江卷T18）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

3

4a=>/5c,cosC=g.

(1)求sinA的值；

(2)若b=U,求A/WC的面積.

7.(2021?全國)記AAbC是內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,C.已知。2=ac，點

。在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2OC,求cos/ABC.

8.(2021?浙江)設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+cosx(xeR).

I的最小正周期;

(1)求函數(shù)y=+/

71

（2）求函數(shù)y=在0,y上的最大值.

答案及解析

1.【答案】(1)胃；

O

(2)證明見解析.

【小問1詳解】

由A=28，sinCsin(A-3)=sin8sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),

而所以sin3￡(0,l),即有sinC=sin(C-A)>0,而

0<C<兀,0<C—A<兀，顯然CwC—A,所以，C+C—A=兀，而A=23，4+8+(7=兀,

5兀

所以c=絲.

8

【小問2詳解】

由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可得，

sinC(sinAcosB-cos4sin5)=sin8(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=becosA—abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

+C2_匕2)_；(/+。2=+02_a2)_g(q2+匕2_C?),化簡得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

2.【答案】(1)見解析(2)14

【小問1詳解】

證明：因為sinCsin(A-B)=sin3sin(C-A),

所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sin5sinAcosC,

er+C1-b1,,b2+c2-a2.a2+b2-c2

所以ac-------------2bc-------------ah----------,

lac2bc2ab

a2+c2-b2/222\a2+b2-c2

即------------+c-aj=--------------,

所以2a2=b2+c2;

【小問2詳解】

解：因為a=5,cosA=—,

31

由（1）得=50，

由余弦定理可得“2=匕2+。2-2/JCCOSA，

則50-竺兒:=25,

31

31

所以。c二一,

2

故（人+c『=〃+。2+如。=50+31=81,

所以Z?+c=9,

所以AABC的周長為a+）+c=14.

3.【答案】（1）5；

6

(2)4V2-5-

【小問1詳解】

icosAsin282sinBcosBsinB

§為-------=----------=------------=------

1+sinA1+cos2B2cos~8cosB

sinB=cosAcosB-sinAsin8=cos(A+B)=-cos。=g，

JTjr

而0<B<,，所以8=巴；

26

【小問2詳解】

JT?兀

由⑴知，sinB=-cosC>0,所以］<。<兀,0<8</,

(兀、

而sin8=-cosC=sinC——,

I2j

_71Tt

所以C=—卜B,即有A=—2B.

22

所以sin'A+sin*=cos'2B+I-cos'B

c2sin2Ccos2B

(2cos2B-l)+1-COS2B、2f-r-

---------4----------=4cos2B+―5——5>2^-5=4V2-5?

cosBcos~B

當(dāng)且僅當(dāng)cos2§=孝時取等號，所以"-:的最小值為4夜—5.

4.【答案】（1）也

8

⑵3

【小問1詳解】

L6.旦旦2s與2s旦2,則

由題意得H

2242434

—4一旦2+q=3,

1234442

〃22—扇

即/+/一〃=2,由余弦定理得cosB=幺二——，整理得accos3=1,則cos3>0,

lac

又sin8=1，

13A/2I/2

則cosB=ac=----則SABC=—a8csinB=——；

cosB~1~2

【小問2詳解】

由正弦定理得：-一——-二——，則.2~~7叵-4

sinBsinAsinCsinBnsinAsinCsinAsinC

3

b_3/=2l

則7sin5=

sinB222

5.【答案】（1）:

6

（2）6+6百

【小問1詳解】

解：因為Cw(O,乃)，則sinC>(),由已知可得百sinC=2sinCeosC，

可得cosC=)8,因此，C=j

26

【小問2詳解】

1O

解：由三角形的面積公式可得5^80=2。匕sinC=2。=66,解得〃=48.

由余弦定理可得02=/+〃