2021-2022學(xué)年東莞東華高級中學(xué)高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.一個盒子里有4個分別標有號碼為1,2,3,4的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次,

則取得小球標號最大值是4的取法有（）

A.17種B.27種C.37種D.47種

2.已知/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，若當x?0時，f（x）=2x+x+m為實數(shù)），則關(guān)于x的不等式

一2＜/（%-1）＜2的解集是（）

A.（0,2）B.（-2,2）C.（-1,1）D.（1,3）

22

3.已知雙曲線。：=一與=1（。＞0,。＞0）,點O（工，%）是直線法一毆+4a=0上任意一點，若圓

crb

（X—/）2+（y—%）2=1與雙曲線C的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍是（）?

A.。，2]B.(1,4]C.[2,-K?)D.[4,+oo)

4.集合｛2,0,1,9｝的真子集的個數(shù)是（)

A.13B.14C.15D.16

5.若z=l+(l—a)i(ae/?),\z\=y/2,則。=（）

A.0或2B.0C.1或2D.1

6.已知雙曲線「一5=1（?＞0,人＞0）的左、右頂點分別為4，4,虛軸的兩個端點分別為四，B2,若四邊

ab

形4B14區(qū)的內(nèi)切圓面積為18萬，則雙曲線焦距的最小值為（）

A.8B.16C.6忘D.12A/2

7.如圖，在正四棱柱ABC?！?與￡。中，AB=0A4,,E,尸分別為ABBC的中點，異面直線A々與C7所

成角的余弦值為加，貝！]（）

Di

w

AER

A.直線A/與直線C/異面，且m=Y2B.直線AE與直線共面，且〃?=也

33

C.直線4E與直線GF異面，且機=走D.直線AE與直線GF共面，且加=走

33

8.已知函數(shù)/（x）=（sinx+*cosx,將函數(shù)/（*）的圖象向左平移雙“＞。）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于）'軸

對稱，貝！|加的最小值是（）

冗兀；萬

A.-B.-C.T—D.一

6432

9.某歌手大賽進行電視直播，比賽現(xiàn)場有6名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位

參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評

分按照[70,80）,[80,90）,[90』00]分組，繪成頻率分布直方圖如下：

嘉賓ABCDEF

評分969596899798

嘉賓評分的平均數(shù)為三，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為三，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為（，則下列選項

正確的是（）

X]+%211—X+“2—%+%2八一玉+X-)

-----B.x>—----C.x<-----D.%.>%.>x>—----------

222'-2

10.函數(shù)/(幻=以+，在(2,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是()

x

A.-,+℃C.[l,+oo)D.-oo,-

4Jk4

11.已知函數(shù)/(x)=x-6(x>0),g(x)=x+e',/2(1)=%+1111(工>0)的零點分別為*,x2,x3,則()

A.x]<x2<x3B.x2<x]<x3

C.x2<x3<x]D.芻

(7T?77r

12.已知函數(shù)/(x)=Asin[s+z]-a(0<a<A)在區(qū)間0,—有三個零點x,,x,,且M<工2<與，若

\67L3a)

%+2勺+毛=號，則/(6的最小正周期為()

7i2乃4萬

A.—B.一C.兀D.—

233

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖所示的流程圖中，輸出〃的值為.

”1

14.已知實數(shù)x、y滿足｛yW2x-1,且可行域表示的區(qū)域為三角形，則實數(shù)〃?的取值范圍為,若目標函數(shù)

x+y<m

z=x—y的最小值為-I,則實數(shù)機等于.

15.某校共有師生1600人，其中教師有100()人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則

抽取學(xué)生的人數(shù)為.

16.已知函數(shù)/*)={-,則/(-2)=_______；滿足/(力＞0的x的取值范圍為_________.

12-3x(%＞0)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)/(x)=ex-mx.

(1)若曲線y=lnx在點92,2)處的切線也與曲線y=/(x)相切，求實數(shù)〃?的值；

(2)試討論函數(shù)f(x)零點的個數(shù).

18.(12分)已知在多面體五中，平面8斤￡_1平面ABC。，且四邊形￡86為正方形，且

AB=3DC=6,AD=BC=5,點P,。分別是BE,的中點.

A

(D求證：PQ〃平面FECD；

(2)求平面AEF與平面PC。所成的銳二面角的余弦值.

22/T

19.(12分)已知橢圓二+4=1(。＞匕＞0)經(jīng)過點(0,1),離心率為火，A、B、。為橢圓上不同的三點，且

a2b22

滿足。月+0(?=。，。為坐標原點.

(1)若直線A3、0c的斜率都存在，求證：為定值；

(2)求|AB|的取值范圍.

20.(12分)設(shè)X,y,zeH,z(x+2y)=m.

(1)若V+2＞2+3z2的最小值為4,求加的值；

(2)若X?+4)221,證明：或加2/.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=sins+cos[ax+2j,其中xeR,。＞().

(1)當。=1時,求/日的值;

TT

(2)當/(x)的最小正周期為萬時，求"X)在0,-上的值域.

_4_

221(a、

22.(10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓三+為=1(。>8>0)的離心率為萬，且過點F為

橢圓的右焦點，48為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，連接AEBF分別交橢圓于C,。兩點.

⑴求橢圓的標準方程；

⑵若Ab=FC,求匕BF的值；

FD

⑶設(shè)直線AB,CO的斜率分別為匕，&,是否存在實數(shù)，〃，使得公=機匕，若存在，求出〃?的值；若不存在，

請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由于是放回抽取，故每次的情況有4種，共有64種；先找到最大值不是4的情況，即三次取出標號均不為4的球的情況,

進而求解.

【詳解】

所有可能的情況有夕=64種，其中最大值不是4的情況有33=27種,所以取得小球標號最大值是4的取法有

64-27=37種,

故選:C

【點睛】

本題考查古典概型，考查補集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.

【詳解】

據(jù)題意，得/(0)=1+m=0,得加=—1,所以當x?0時，/(x)=2"+x-l.分析知，函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù).

又/(1)=2,所以/(一1)=一2.又一2</(%-1)<2,所以—1<尤一1<1,所以0<x<2,故選A.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

3.B

【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線bx-ay+2a=0與直線bx-ay=O的距離d,根據(jù)圓

(x—Xo)2+(y—yo)2=l與雙曲線C的右支沒有公共點，可得dNl,解得即可.

【詳解】

22人

由題意，雙曲線C:「—￡=l(a>0,b〉0)的一條漸近線方程為y=-x,即bx-ay=(),

ab-a

VP(Xo，yo)是直線bx-ay+4a=0上任意一點，

?4a4a

貝!I直線bx—ay+4a=0與直線bx-ay=0的距離d=/,已=—,

Va+b*c

?.?圓(*一*0)2+(丫一丫0)2=1與雙曲線。的右支沒有公共點，則dNl,

4〃c

A—>1,即e=-W4,又e>l

ca

故e的取值范圍為(1,4],

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線。的右支沒有公

共點得出dNl是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

根據(jù)含有〃個元素的集合，有2"個子集，有2"-1個真子集，計算可得；

【詳解】

解:集合｛2,0,1,9｝含有4個元素，則集合｛2,0,1,9｝的真子集有2J1=15(個),

故選：C

【點睛】

考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有〃個元素的集合，有2"個子集，有2"-1個真子

集，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運算列方程，解方程求得。的值.

【詳解】

由于z=l+(l—a)i(aeR),舊|=夜，所以，^正彳=及，解得。=0或a=2.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系，由四邊形A4&B?的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形A4人與面積關(guān)系求得C與“人等量

關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得C的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：

設(shè)四邊形444打的內(nèi)切圓半徑為r,雙曲線半焦距為C,

則|。&|=々,|。3]|=），

所以|人281|=+必—c>

四邊形AB14島的內(nèi)切圓面積為18萬，

則1盼="2,解得|0C|=r=3金,

貝四邊形。

US51AB2=5|4A2|.|BIB2|=4X1.|ABI|.|OC|,

即L2a.25=4XLC.3五

22

a2+〃

故由基本不等式可得二=ab￡2_d，即cZ6逝，

-372~372_65/2

當且僅當a=b時等號成立.

故焦距的最小值為12血.

故選：D

【點睛】

本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

7.B

【解析】

連接EF,4G，C。，DF,由正四棱柱的特征可知EFPAC，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線4E與直線GF共

面.，同理易得A用〃G。，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線A4與G尸所成角為NOGF，然后再利用

余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示:

連接跖，4G，C}D,DF,由正方體的特征得EFPAG,

所以直線AE與直線C7共面.

由正四棱柱的特征得ABJ/QD,

所以異面直線44與所成角為NOC/.

設(shè)他=0,貝！JA8==2,則。/=逐，C[F=5C]D=瓜

由余弦定理，得〃？=cosZDC|E=2：/義工=*.

故選：B

【點睛】

本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.

8.A

【解析】

化簡f(x)=3sinx+半cosx為f(x)=sin(x+。)，求出它的圖象向左平移加，〃>0)個單位長度后的圖象的函數(shù)表

達式y(tǒng)=sin[x+m+?),利用所得到的圖象關(guān)于N軸對稱列方程即可求得加=7+而依ez),問題得解。

【詳解】

函數(shù)/(8)=1欣+母<08>1可化為：/(x)=sin(x+q),

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移，〃(，〃>0)個單位長度后，

得到函數(shù)y=sin[尤+加+的圖象，又所得到的圖象關(guān)于)’軸對稱，

所以sin[o+"z+]J=±1,解得：m+/=/+k兀(kez),即：m=螢+k/r(kez),

又加>0,所以mmin=；7.

6

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。

9.C

【解析】

計算出X、石，進而可得出結(jié)論.

【詳解】

由頻率分布直方圖可知，馬=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則］>兀，

由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，高<捻<±±±<(.

22

故選：B.

【點睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

對。分類討論，當“40,函數(shù)f(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，當。>0,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可

求解.

【詳解】

當時，函數(shù)/(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以。>0,/(尤)=辦+一的遞增區(qū)間是

所以22一尸，即二.

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)/(x)=x-V7(x>0)，g(x)=x+e',/?(x)=x+lnx(x>o)的零點為y=x與y=?(x>0),y=-e',

y=-lnx(x>0)的交點，數(shù)形結(jié)合，即得解.

【詳解】

函數(shù)/(x)=x-Vx(x>0)，g(x)=x+e’，，(x)=x+lnx(x>0)的零點，即為y=x與y=4(x>0),y=-ex,

y=-lnx(x>0)的交點，

作出y=x與y=>Jx(x>0)?y=-ex,y=-Inx(x>0)的圖象，

''yss-e”

如圖所示，可知々<工3<玉

故選：C

【點睛】

本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.

12.C

【解析】

7兀71由對稱軸的性質(zhì)可知玉+%,=2三和工2+七='三，即可求出“，即可求

根據(jù)題意，知當x=—時，CDX-￥—=-

3。623/3。

出“X)的最小正周期.

【詳解】

解：由于/(x)=Asin(tyx+￡j—a(o77T

<a<A)在區(qū)間0,—有三個零點X],x,與，

_3a)_2

、“7K,兀57r

當X=---時，(OXH=9

3。62

兀兀7tc

，由對稱軸可知內(nèi)，占滿足/%+―++7=萬乂29

6

口口2兀

即X]+%2=——?

3力

71713?！?兀

同理X-占滿足COX?d----FCOX、d---=—x2,即nn——,

662”一。

.c10兀5兀

X1++X3=----=—，69=2,

36y3

所以最小正周期為：T-=n.

2

故選：C.

【點睛】

本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期，涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，考查計算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4

【解析】

根據(jù)流程圖依次運行直到SW-1,結(jié)束循環(huán)，輸出“，得出結(jié)果.

【詳解】

由題：S=1,n=1,S=l+log?=2,

22

S=0+log2^—j=log2-,n=3,

232

S=k>g,；+log,三二=log,7=一1,〃=4,SW-1結(jié)束循環(huán)，

3■3+1-4

輸出“=4.

故答案為：4

【點睛】

此題考查根據(jù)程序框圖運行結(jié)果求輸出值，關(guān)鍵在于準確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.

14.m>2m=5

【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合目標函數(shù)z=x-)，的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到

結(jié)論.

【詳解】

作出可行域如圖，

則要為三角形需滿足3(1,1)在直線=m下方，即1+1〈加，m>2；

目標函數(shù)可視為V=%-z,則z為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù),

該直線截距最大在過點A時，此時zmill=-1,

直線Q4：y=x+l,與45：>=2%-1的交點為4(2,3),

該點也在直線AC：x+y=m±,故相=2+3=5,

故答案為：m>2；m=5.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法，屬

于基礎(chǔ)題.

15.1

【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

分層抽樣的抽取比例為黑=1,...抽取學(xué)生的人數(shù)為600X—=1.

16002020

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.

I/小

16.-(-oo,4)

4

【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到/(-2),分x>()和兩種情況討論可得;

【詳解】

解：因為/(x)=F'(xW°),

[12-3x(x>0)

,1

所以/(一2)=2一2=:，

V/(x)>0,

...當x?0時，0</(x)=2“〈l滿足題意，.,.xWO；

當x〉0時，由/(x)=12-3x>0,

解得x<4.綜合可知：滿足/(X)>0的x的取值范圍為(-8,4).

故答案為：—；(—℃,4).

4

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)m^-e-2(2)答案不唯一具體見解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點的坐標(Xo，e%-叫))，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一

條，從而得到方程組;'：一“；'，，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進而求得加=1-丁2；

1

e''-xoe'0=1

(2)對函數(shù)進行求導(dǎo)后得r(x)=e'-m,對加分三種情況進行一級討論，即m<0,加=0,

m>0,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.

【詳解】

解：(1)曲線y=lnx在點々2,2)處的切線方程為y—2=4(x—e2),即丁=!》+1.

ee

Xa

令切線與曲線/(%)=短一〃比相切于點(%,e與一〃/),則切線方程為y=(1-m)x-e(x0-1),

e”>-=1

:.(加-1n(m+"2)]=],

令根+e-2=/,貝i"(l-lnf)=l,

記gQ)=/(1-lnr),g，")=]-(1+In，)=-In/

于是，gQ)在(0，D上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

；?g(')max=g(D=1，于是f="Z+e-?=1，m=\—e~~?

(2)f\x)=ex-m,

①當機<()時，/'(x)>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增，且/(0)=1-%>0,/(1)=^-1<0

m

J.函數(shù)/(x)在R上有且僅有一個零點；

②當加=0時，/(x)=e'在R上沒有零點；

③當機>0時，令/'(x)>0,則x>lnm,即函數(shù)/(X)的增區(qū)間是(In+8),

同理，減區(qū)間是(-°o,ln〃2),

/(X)min=w(l-lnm).

i)若0<〃?<e,則f(x)min=機(1一Inm)>0,f(x)在R上沒有零點；

ii)若加=e,則/(%)="-ex有且僅有一個零點；

iii)若心e,則/(x)min=m(lTnm)<0.

f(2lniri)=m2-2m\nm=,

2

令/1(加)=加一21n/n,則/0)=1---,

m

.?.當”?>e時，〃(〃z)單調(diào)遞增，h(m)>h(e)>0.

f(2\nm)=rrr-2m\nm=m(m-2\nm)>m(e-2)>0

又???/(())=l>0,

.?./(x)在R上恰有兩個零點，

綜上所述，當0Wm<e時，函數(shù)f(x)沒有零點；當機<()或機=e時，函數(shù)f(x)恰有一個零點；當“〉e時，/(x)恰

有兩個零點.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關(guān)問題時，一定要明確切點坐標.以導(dǎo)數(shù)為工具，研究

函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點個數(shù)，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個

端點值的函數(shù)值相乘小于0,才算完整的解法.

17

18.(1)證明見解析；(2)—.

【解析】

(1)構(gòu)造直線PQ所在平面PHQ,由面面平行推證線面平行；

(2)以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)過點PHLBC交BC于H點,連接Q4,如下圖所示:

因為平面平面ABC。，且交線為CO,

又四邊形CDEE為正方形，故可得CE_LCD,

故可得CE_L平面ABCD,又CBu平面ABCD,

故可得CE_LCB.

在三角形C8E中，因為P為BE中點,PH±CB,CE±CB,

故可得PH//CE,H為CB中點;

又因為四邊形ABCD為等腰梯形，”,。是的中點，

故可得HQnCDi

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且PH,HQu平面PHQ,CD,CEu平面DFEC,

故面PHQ〃面EFDC,

又因為PQu平面尸HQ,

故PQ//面EEC0.即證.

(2)連接4E,AC,作交AB于M點，

由(1)可知CE_L平面ABC。，又因為DF//CE,故可得江，平面ABCO,

則OF，￡>M,￡>F，OC；

又因為AB〃C。，DMLAB,故可得DMLOC

即DM，DC,。尸兩兩垂直，

則分別以DM，DC,DF為x,y,二軸建立空間直角坐標系。一孫z,

則。河=\IAD2-AM2=752-22=V21，

0(0,0,0),F(0,0,2),￡(0,2,2),

_(丙\

4同-2,0),P勺,3,1,C(0,2,0)

1)

設(shè)面AEF的法向量為慶=(x,y,z),則屋=(0,2,0),XX=(-721,2,2),

m-FE=02y=0

則(一=>\!—，

m-AF=0[-J21x+2y+2z=0

可取玩=(2,0,JIT),

設(shè)平面PQC的法向量為五=(x,y,z),則反=(0,2,0),麗=—,3,1,

I2，

一f2y=0

,(n-DC=0—?

[n-DP=Q等-=0

可取萬=(2,0,—陰)，

可知平面AEF與平面PCO所成的銳二面角的余弦值為

2照=哮劌」.

\n\\m\2?+2125

【點睛】

本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.

19.(1)證明見解析；(2)[6,26].

【解析】

(D首先根據(jù)題中條件求出橢圓方程，設(shè)A、B、。點坐標，根據(jù)礪+礪+反=6利用坐標表示出原屋上"即可

得證;

（2）設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理表示出|A@,即可求出|A3|范圍.

【詳解】

b=l

c“2=4丫2

（1）依題有〈,2,所以橢圓方程為土+丁=1.

a2b2=\4

/=b?4-c2

設(shè)A（x”y）,8（孫％），。（不,為），

由。為AABC的重心=＞玉+玉:=一七，%+%=一%；

又因為x；+4才=4,名+4￡=4=（石+%）（石一馬）+4（1+%）（乂一%）=0,

（2）當AB的斜率不存在時：西=々，,+必=0nx3=-2九?,%=。，

代入橢圓得，％=±1,y,—=>|AB|=\/3?

當A3的斜率存在時：設(shè)直線為了="+，，這里￡。0,

由4],2”=＞（4爐+1）》2+8m+4/_4=0,△〉0n4%2_]＞『,

x2+4/=4、7

如田十斗士e七,4/2-4,

根據(jù)韋達定理有玉+々=8一kt目….々=訪,乂+%二標2t幣’

f_8fo_-2r代入橢圓方程有〃"一卜『斗

故C[4r+1'4F+J

16（4&2—/+1）

又因為總同=，1+%21%一無2I=VF+i

綜上，|A8|的范圍是[百,2g].

【點睛】

本題主要考查了橢圓方程的求解，三角形重心的坐標關(guān)系，直線與橢圓所交弦長，屬于一般題.

20.（1）2；（2）見解析

【解析】

(1)將V+2V+3Z2化簡為(V+z2)+2(y2+z2),再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出心的值；

(2)根據(jù)/+8222|而即2(/+/)“.+與2,得出x2+4y2+gz2Ng(x+2?+；z2,利用基本不等式求

出最值，便可得出”?的取值范圍.

【詳解】

解：(1)由題可知，X,y,ZGR,z(x+2y)=m

x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)>2xz+4yz=2m=4,

??11T=2?

(2)Vcr+b2>2|aZ?|,

二l[cr+/?2)>(a+/?)2,

,f+今2+gz??；(x+2y)-+gz?22Kx+2y)z,l,

|?/i|>1,即：mW—I或

【點睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.

21.(1)—(2)工,1

【解析】

(1)根據(jù)。=1,得到函數(shù)/(x)=sinx+cos(x+g),然后，直接求解〃￡)的值；

63

7TJI

(2)首先，化簡函數(shù)/(x)=sin(④<:+§),然后，結(jié)合周期公式，得到。=2,再結(jié)合xe0,-,及正弦函數(shù)的性

質(zhì)解答即可.

【詳解】

(1)因為啰=1,所以/(x)=sinx+cos

(2)因為/(x)=sin(yx+cosx+q

.7r..7i

=sincox4-coscoxcos----sincoxsm—

66

1.G

=-sin<yx+——coseyx

22

=sin(ox+—

I3

即f(x)=sin|ftzx+/

因為T=—=萬，所以。=2