數(shù)學人教B版選修2-3課堂探究1.2.1排列

課堂探究探究一排列數(shù)公式的應用排列數(shù)公式的乘積形式一般用于具體數(shù)字的計算和展開，而當排列數(shù)中含有字母或涉及化簡問題時一般選用階乘式．在具體應用時，應注意先提取公因式再計算，同時還要注意隱含條件“m≤n，且m，n∈N＋”的運用．【典型例題1】計算：(1)Aeq\o\al(3,16)＝__________；(2)eq\f(8?。獳\o\al(6,6),A\o\al(2,8)－A\o\al(4,10))＝__________.解：(1)Aeq\o\al(3,16)＝16×15×14＝3360.(2)eq\f(8！＋A\o\al(6,6),A\o\al(2,8)－A\o\al(4,10))＝eq\f(8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×1,8×7－10×9×8×7)＝eq\f(57×6×5×4×3×2,56×(－89))＝－eq\f(5130,623).答案：(1)3360(2)－eq\f(5130,623)【典型例題2】解下列方程或不等式：(1)3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)；(2)Aeq\o\al(x,9)＞6Aeq\o\al(x－2,9).思路分析：求解以排列數(shù)形式給出的方程或不等式時，應體現(xiàn)化歸與轉化的思想，利用公式轉化為一般的代數(shù)方程、不等式再求解．解：(1)由排列數(shù)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，,x≥3，x∈N＋.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))由①得3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝eq\f(2,3)，由②可知x＝5.(2)原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9！,(9－x)！)>\f(6×9！,(9－x＋2)！)，,2≤x≤9，x∈N＋.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,,②))由①式化簡得(x－8)(x－13)＞0，所以x＜8或x＞13.由②可知2≤x＜8，x∈N＋，所以x＝2,3,4,5,6,7.故所求不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}．探究二組數(shù)問題不同數(shù)字的無重復排列問題是排列問題中的一類典型問題，常見附加條件有：奇數(shù)、偶數(shù)、倍數(shù)、大小關系等．解決這類問題的關鍵是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，給出了什么樣的附加條件．然后按特殊元素(位置)的性質分類(每一類的各種方法都能保證事件的完成)，按事件發(fā)生的連續(xù)過程合理分步來解決．這類問題的隱含條件“0不能排在首位”尤其不能忽略．【典型例題3】用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．思路分析：該例中的每一個小題都是有限制條件的排列問題．除了應注意題目中要求的明顯條件外，還應注意隱含條件“0不能排在首位”．我們采取先特殊后一般的原則，將問題分解為幾個易求解的簡單問題．解：(1)方法1：(直接法)第一步：排個位，有Aeq\o\al(1,3)種排法；第二步：排十萬位，有Aeq\o\al(1,4)種排法；第三步：排其他位，有Aeq\o\al(4,4)種排法．故共可以組成Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288個無重復的六位奇數(shù)．方法2：(直接法)0不在兩端有Aeq\o\al(1,4)種排法，從1,3,5中任選一個排在個位有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他各位上全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，故可以組成Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288個無重復的六位奇數(shù)．方法3：(排除法)6個數(shù)字全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法，0,2,4在個位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(5,5)，1,3,5在個位上且0在十萬位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(4,4)，故可以組成Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288個無重復的六位奇數(shù)．(2)方法1：(排除法)0在十萬位和5在個位的排列都是不符合題意的六位數(shù)，故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(個)．方法2：(直接法)十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此分兩類．第一類：當個位排0時，有Aeq\o\al(5,5)種排法；第二類：當個位不排0時，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種排法．故共有符合題意的六位數(shù)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(個)．(3)①當千位上排1,3時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)種排法．②當千位上排2時，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)種排法．③當千位上排4時，形如40××，42××的數(shù)各有Aeq\o\al(1,3)個；形如41××的數(shù)有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)個；形如43××的數(shù)只有4310和4302這2個數(shù)滿足題意．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110個不大于4310的四位偶數(shù)．探究三排隊問題排隊問題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰，不相鄰，定序等問題．(1)對于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決．即將相鄰的元素視為一個整體進行排列．(2)對于不相鄰問題，可采用“插空法”解決．即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中．(3)對于定序問題，可采用“除階乘法”解決．即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．【典型例題4】有5名男生，4名女生排成一排．(1)從中選出3人排成一排，有多少種排法？(2)若男生甲不站排頭，女生乙不站排尾，則有多少種不同的排法？(3)要求女生必須站在一起，有多少種不同的排法？(4)若4名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？思路分析：(1)這是一個無限制條件的排列問題，利用排列數(shù)公式易求；(2)這是一個有限制條件的排列問題，特殊元素是男生甲和女生乙，排頭和排尾是特殊位置，需將問題合理分類、分步再計算；(3)女生站在一起，可將所有女生視為一個整體，既考慮整體內部的排列，又考慮這個整體與其他男生一起的排列；(4)由于4名女生不能相鄰，所以可考慮先將男生排好，再將4名女生插空排列．解：(1)只要從9名學生中任選三名排列即可，所以共有Aeq\o\al(3,9)＝9×8×7＝504(種)不同排法．(2)將排法分成兩類：一類是甲站在排尾，其余的可全排，有Aeq\o\al(8,8)種排法；另一類是甲既不站排尾又不站排頭，有Aeq\o\al(1,7)種排法，乙不站排尾而站余下的7個位置中的一個，有Aeq\o\al(1,7)種排法，其余人全排列，于是這一類有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)種排法．由分類加法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(8,8)＋Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)＝287280(種)不同排法．(3)女生必須站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法．全體女生視為一個元素與其他男生全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(6,6)＝17280(種)不同排法．(4)分兩步．第一步：男生的全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法；第二步：男生排好后，男生之間有4個空，加上男生排列的兩端共6個空，女生在這6個空中排列，有Aeq\o\al(4,6)種排法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200(種)不同排法．探究四易錯辨析易錯點：對問題考慮不全面，導致重復或遺漏【典型例題5】將鉛筆、圓珠筆、橡皮、直尺四件文具分給甲、乙、丙三個小朋友，每人至少分到一件文具，有多少種不同的分法？錯解：第一步，先分給三個小朋友每人一件，有Aeq\o\al(3,4)種方法；第二步，將余下的一件給三個小朋友中任何一個，有Aeq\o\al(1,3)種方法．所以，共有Aeq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(1,3)＝72種方法．錯因分析：這是一種常見的處理方式，但不是嚴密的解題方法，其中含有重復現(xiàn)象， 甲乙丙甲乙丙如第一步分配為直尺圓珠筆橡皮．第二步將鉛筆分給甲，結果是直尺鉛筆圓珠筆甲