rlc并聯(lián)電路的量子化

rlc并聯(lián)電路的量子化

對(duì)于介質(zhì)規(guī)模下的小電路，有必要考慮電路和硬件的體積效應(yīng)。介觀二次電路是重要模型之一。近年來(lái)，許多研究人員在不同的數(shù)量子中研究了無(wú)消耗lc電路的體積效應(yīng)，并對(duì)電壓和電壓的波動(dòng)進(jìn)行了影響。此外，在不利的情況下，人們非常重視r(shí)lc互聯(lián)電路的功率效應(yīng)。在文獻(xiàn)中，rlc互聯(lián)電路中的電壓和電壓量是對(duì)rlc互聯(lián)電路的影響。結(jié)果表明，在rlc互聯(lián)電路中，由于rlc互聯(lián)電路中的衰減，電流和電壓的數(shù)量丟失受到影響。然而，人們還沒(méi)有詳細(xì)討論rlc互聯(lián)電路的電流和電壓相位的損失。我們注意到rlc互聯(lián)電路和rlc互聯(lián)電路之間的電流和電壓運(yùn)行規(guī)律并不完全相同。因此，在這項(xiàng)工作中，我們推廣了rcl互聯(lián)電路和rcl互聯(lián)電路中的電壓和電壓相位的分類(lèi)，并引入了角因子的復(fù)正電壓和電流變量。為了通常rcl和公共rl的組合電路的量子化。作為應(yīng)用，我們計(jì)算了在激勵(lì)相干阻力下介觀電路中電壓和電流的數(shù)量波動(dòng)。結(jié)果表明，rlc互聯(lián)電路和rlc互聯(lián)電路中的電壓和電壓相位不僅具有偶異性，而且在欠阻尼或rc的情況下，電壓和電壓的數(shù)量隨著電阻量的變化而變化。首先,我們對(duì)介觀RLC并聯(lián)電路進(jìn)行量子化處理.對(duì)于一個(gè)經(jīng)典的有源RLC并聯(lián)電路,根據(jù)基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律,其運(yùn)動(dòng)方程為¨j(t)+(RC)-1˙j(t)+ω20j(t)=ω20js(t)j¨(t)+(RC)?1j˙(t)+ω20j(t)=ω20js(t),(1)式中,js(t)是外加電流源;ω2020=(LC)-1為電路的共振頻率;j(t)是電感電流,其共軛變量為并聯(lián)電壓u=L˙j(t)u=Lj˙(t).顯然,式(1)相當(dāng)于受迫阻尼諧振子的運(yùn)動(dòng)方程.我們引入復(fù)正則電流I和電壓V,則Ι=√C|ω|-1exp(iφ)[(|ω|+iβ)Lj+iu],V=i√C(4|ω|)-1exp(-iφ)[(|ω|-iβ)Lj-iu],式中,ω2=ω20-β2,β2=G(2C)-1,G=R-1.當(dāng)ω2>0,取φ=0,對(duì)應(yīng)于欠阻尼;當(dāng)ω2<0,取φ=2-1π,對(duì)應(yīng)于過(guò)阻尼.按照通常量子化方法,將復(fù)正則變量I和V看成算符,令算符I和V滿(mǎn)足正則對(duì)易關(guān)系式[I,V]=ih.可以得到[j,u]=ihω20.引入推廣的產(chǎn)生算符和消滅算符α=(2h)-1/2Ι=√C(2?|ω|)-1exp(iφ)[(|ω|+iβ)Lj+iu],(2)α+=-i(h/2)-1/2V=√C(2?|ω|)-1exp(-iφ)[(|ω|-iβ)Lj-iu].(3)由[j,u]=ihω20,可推出[a,a+]=1,因此,由(2)、(3)式所定義的算符具有玻色算符的性質(zhì).為研究激發(fā)相干態(tài)下介觀電路的量了漲落,我們假設(shè)js(t)=0時(shí),電路處于激發(fā)相干態(tài)|m,α?=(a+)m?α|ama+m|α?1/2|α?.由(2)、(3)式的逆變換可以得到,在激發(fā)相干態(tài)下,電流與電壓的平均值與均方值分別為ˉj=√?(2CL2|ω|)-1[αe-iφ+α*eiφ](m+1)Y1m(|α|2);(4)ˉu=√?(2C|ω|)-1[(β+i|ω|)αe-iφ+(β-i|ω|)α*eiφ](m+1)Y1m(|α|2);(5)ˉj2=h(2CL2|ω|)-1{[α2e-i2φ+α*2ei2φ](m+1)(m+2)Y(2)m(|α|2)+[2(m+1)γm-1]};(6)ˉu2=h(2C|ω|)-1{[(β+i|ω|)2α2e-i2φ+(β-i|ω|)2α*2ei2φ](m+1)(m+2)Y(2)m(|α|2)+(β2+|ω|2)[2(m+1)γm-1]}.(7)其中Y(1)m(|α|2)=1Lm(-|α|2)m∑k=0f1(k)m!(k!)2(m-k)!|α|2k,Y(2)m(|α|2)=1Lm(-|α|2)m∑k=0f2(k)m!(k!)2(m-k)!|α|2k,γm=Lm+1(-|α|2)Lm(-|α|2),f1(k)=(k+1)-1,f2(k)=[(k+1)(k+2)]-1上面的Lm(-|α|2)為拉蓋爾多項(xiàng)式.由(4)～(7)式可得到電壓、電流在激發(fā)相干態(tài)下的量子漲落為ˉ(Δj)2=ˉj2-(ˉj)2,(8)ˉ(Δu)2=ˉu2-(ˉu)2.(9)當(dāng)m=0時(shí),電路處于相干態(tài).Y(1)0(|α|2)=1,Y(2)0(|α|2)=2-1,γ0=1+|α|2.進(jìn)行運(yùn)算后,從上面兩式還可得到ˉ(Δj)2=hω20(2L|ω|)-1?ˉ(Δu)2=h(β2+|ω|2)(2C|ω|)-1.它們的不確定度之積為ˉ(Δj)2?ˉ(Δu)2=4-1h2ω40(1+β2|ω|-2).對(duì)于欠阻尼(φ=0,ω2=ω20-β2>0)ˉ(Δj)2=hω20/(2L√ω20-β2),(10)ˉ(Δu)2=hω20/(2C√ω20-β2).(11)對(duì)于過(guò)阻尼(φ=π/2,ω2=β2-ω20>0)ˉ(Δj)2=hω20/(2L√β2-ω20),(12)ˉ(Δu)2=h(2β2-ω20)/(2C√β2-ω20).(13)將(10)、(11)式與(12)、(13)式對(duì)應(yīng)比較,可以發(fā)現(xiàn),在欠阻尼或過(guò)阻尼情形下,阻尼對(duì)相干態(tài)下的量子漲落的影響是不相同的:在欠阻尼電路中,電流、電壓的量子漲落以及它們不確定度求積都隨著電阻的增大而減少;在過(guò)阻尼電路中,電流、電壓的量子漲落以及它們不確定度的乘積卻隨著電阻的增大而增大,正好與欠阻尼電路的情況相反.把上面的計(jì)算結(jié)果(10)～(13)與文獻(xiàn)的RLC串聯(lián)電路的量子漲落作一比較,不難發(fā)現(xiàn),RLC并聯(lián)電路與RLC串聯(lián)電路中的電流和電壓的量子漲落無(wú)論是在欠阻尼電路還是在過(guò)阻尼電路中,均具有對(duì)偶性.在(8)～(13)式中,當(dāng)m≠0,α=0時(shí),γm=1,系統(tǒng)實(shí)際上處于粒子數(shù)態(tài),此時(shí)電壓,電流的量子漲落為ˉ(Δj)2=(2m+1)hω20(2L|ω|)-1,(14)ˉ(Δu)2=(2m+1)h(β2+|ω|2)(2C|ω|)-1,(15)ˉ(Δj)2?ˉ(Δu)2=4-1(2m+1)2h2ω40(1+β2|ω|-2).(16)當(dāng)m=0時(shí),系統(tǒng)實(shí)際處于真空態(tài).另外,G=0(R→∞)時(shí),β=0,ω=ω0=(√LC)-1,這樣,電路實(shí)際上退化回到無(wú)耗散介觀