七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)培優(yōu)專題03 和絕對(duì)值有關(guān)的五種常見題型-解析版

/培優(yōu)專題03和絕對(duì)值有關(guān)的五種常見題型【專題精講】運(yùn)用絕對(duì)值解決問題,在初中代數(shù)中具有重要的意義,利用絕對(duì)值的知識(shí)一般可以將問題化歸,結(jié)合分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題,從而達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的?！蝾愋鸵唬豪媒^對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡解題方法:關(guān)鍵是如何去掉絕對(duì)值符號(hào),要去掉絕對(duì)值符號(hào)的關(guān)鍵是如何確定絕對(duì)值里的符號(hào),根據(jù)數(shù)軸可知數(shù)軸的大小關(guān)系，這樣就可以確定符號(hào),從而使問題得到解決.1．（2021·湖北·公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)軸上表示a，b，c三個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡式子的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得出，，再根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡即可．【詳解】由數(shù)軸可知，∴，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由數(shù)軸上的點(diǎn)判斷式子的正負(fù)，化簡絕對(duì)值．由數(shù)軸正確的得出，是解題關(guān)鍵．2．（2021·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)七年級(jí)期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（

）A．b B．-b C．2a D．-2a【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：由數(shù)軸得：，即，∴，故A正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸和絕對(duì)值，解答此題的關(guān)鍵是明確絕對(duì)值里的數(shù)值是正是負(fù)，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡．3．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，則|c﹣a|﹣|a+b|+|b﹣c|的值為（）A．0 B．2a﹣2c+2b C．﹣2c D．2a【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸得出b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，從而得到c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，再根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，則c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，則|c﹣a|﹣|a+b|+|b﹣c|＝a﹣c+a+b+c﹣b＝2a．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸化簡絕對(duì)值，合并同類項(xiàng)，根據(jù)數(shù)軸得出c﹣a＜0、a+b＜0、b﹣c＜0是解題的關(guān)鍵．◎類型二：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求值4．（2021·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知|a|=1，b是3的相反數(shù)，則a+b的值為（）A．-2 B．-4 C．-2或-4 D．4或-2【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義和相反數(shù)的定義求出a，b的值，然后分兩種情況分別求a+b的值即可．【詳解】解：∵|a|=1，∴a=±1，∵b是3的相反數(shù)，∴b=-3，當(dāng)a=1，b=-3時(shí)，a+b=1-3=-2；當(dāng)a=-1，b=-3時(shí)，a+b=-1-3=-4；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，相反數(shù)，有理數(shù)的加法，體現(xiàn)了分類討論的思想，分兩種情況分別求a+b的值是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東德州·七年級(jí)期末）若，，則所有可能的值為（

）A．8 B．8或2 C．8或 D．或【答案】D【分析】先求出a、b的值，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴a=±5，∵，∴b=±3，當(dāng)a=5，b=3時(shí)，；當(dāng)a=5，b=-3時(shí)，；當(dāng)a=-5，b=3時(shí)，；當(dāng)a=-5，b=-3時(shí)，；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、平方根和有理數(shù)加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分類討論，準(zhǔn)確計(jì)算．6．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）若，則的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性得到與的值，代入求值即可．【詳解】解：∵，，當(dāng)時(shí)，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及到絕對(duì)值的非負(fù)性及冪的運(yùn)算，熟練掌握非負(fù)式的和為零的條件是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·云南·普洱市思茅區(qū)第四中學(xué)七年級(jí)期中）已知，，且，則的值為（

）A．9 B．－9 C．9或3 D．－9或－3【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值的含義先求解的值，再根據(jù)進(jìn)行分類討論，最后求解代數(shù)式的值即可.【詳解】解：，，，或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的含義，有理數(shù)的減法運(yùn)算，代數(shù)式的值，掌握“”是解本題的關(guān)鍵.◎類型三：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)解決1a8．（2021·四川·榮縣一中七年級(jí)階段練習(xí)）已知a、b、c均為不等于0的有理數(shù)，則的值為（

）A．1或3 B．–1或–3 C．±1或±3 D．0或3【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化，即正數(shù)的絕對(duì)值是本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，求值即可．【詳解】解：分情況討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)中有一個(gè)小于0時(shí)，；當(dāng)中有兩個(gè)小于0時(shí)，；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，分情況討論，找出所有情況．9．（2021·江蘇·南通市海門區(qū)中南中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）設(shè)，且，則的值有可能是（

）A．0 B． C． D．0或【答案】A【分析】根據(jù)題意可得a、b、c中只存在兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)或兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)這兩種情況；據(jù)此討論求解即可．【詳解】解：∵，且，∴a、b、c中只存在兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)或兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)這兩種情況；不妨設(shè)，則，∴；不妨設(shè)，則，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加法，乘法與除法運(yùn)算，化簡絕對(duì)值，正確得到a、b、c中只存在兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)或兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)這兩種情況是解題的關(guān)鍵．10．（2021·湖北黃石·七年級(jí)期末）a，b，c的大小關(guān)系如圖所示，則的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【分析】先根據(jù)數(shù)軸分別判斷出的符號(hào)，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去絕對(duì)值，化簡即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知∶，，，∴===故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是數(shù)軸的比較大小和去絕對(duì)值，掌握利用數(shù)軸比較大小和絕對(duì)值的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b，c是有理數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc（乘積）是正數(shù)，則的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【答案】B【分析】由已知變形得a＋b＝﹣c，a＋c＝﹣b，b＋c＝﹣a，根據(jù)a，b，c是有理數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc（乘積）是正數(shù)，得到a，b，c中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，設(shè)a＜0，b＜0，c＞0，將原式變形計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】解：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝﹣c，a＋c＝﹣b，b＋c＝﹣a，∵a，b，c是有理數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc（乘積）是正數(shù)，∴a，b，c中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，設(shè)a＜0，b＜0，c＞0，∴原式＝＝＝﹣（）＝﹣（1﹣1﹣1）＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的化簡求值，有理數(shù)加法法則的理解，乘法法則的理解，絕對(duì)值的化簡，正確理解有理數(shù)加法及乘法法則是解題的關(guān)鍵．◎類型四：運(yùn)用零點(diǎn)分段法求最大、最小值解題方法：化簡含有多個(gè)絕對(duì)值的式子,關(guān)鍵是如何去掉絕對(duì)值,要想去掉絕對(duì)值,就需要知道各個(gè)絕對(duì)值部分的正負(fù)性,可先求出各個(gè)絕對(duì)值等于零的字母的值,也就是先求出分界點(diǎn),從而得到每個(gè)部分中字母的取值范圍,再根據(jù)取值范圍分類時(shí)論即可求解。12．（2021·全國·七年級(jí)）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b．A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|．則數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a﹣b|．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時(shí)，符合條件的整數(shù)x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，問當(dāng)x取何值時(shí)，y最小，最小值為多少？請(qǐng)求解．【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2時(shí)，y最小，最小值為4【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的求解列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離表示列式并計(jì)算即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的意義解答；（4）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的意義解答．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是：；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是：；（2）∵A，B分別表示的數(shù)為x，﹣1，∴數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，則|x+1|＝2，解得：x＝1或﹣3；（3）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時(shí)，﹣1≤x≤2，∴符合條件的整數(shù)x有﹣1，0，1，2；（4）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值時(shí)，x＝2，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y最小，即最小值為：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．故x＝2時(shí)，y最小，最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸與絕對(duì)值，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．（2020·山東·臨沂第十七中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：已知（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求的最大值；【答案】（1）3或-5；（2）5【分析】（1）由已知分別求出m和n的值，由已知可得m=-1，n=-4或m=-1，n=4，再求m+n即可；（2）分四種情況分別求解即可．【詳解】解：∵|m|=1，|n|=4，∴m=±1，n=±4；（1）∵m＜0，∴m=-1，n=-4或m=-1，n=4，∴m+n=3或-5；（2）當(dāng)m=1，n=4時(shí)，m-n=-3；當(dāng)m=-1，n=-4時(shí)，m-n=3；當(dāng)m=1，n=-4時(shí)，m-n=5；當(dāng)m=-1，n=4時(shí)，m-n=-5；∴m-n的最大值是5．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，絕對(duì)值的意義；掌握有理數(shù)和絕對(duì)值的運(yùn)算法則，能夠正確分類是解題的關(guān)鍵．14．（2019·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）完成下列各題：（1）|x+1|+5的最小值是，此時(shí)x2019＝．（2）方程|x﹣2|+|x+3|＝6的解有個(gè)．（3）已知x＜﹣3，則化簡式子|﹣x|+|x+3|﹣|x﹣3|．【答案】（1）5，-1；（2）2；（3）﹣x﹣6．【分析】（1）由絕對(duì)值的性質(zhì)可得|x+1|≥0，當(dāng)|x+1|＝0時(shí)，|x+1|+5有最小值，求出x=-1，則x2019＝﹣1；（2）分三種情況：當(dāng)x≥2時(shí)，當(dāng)x≤﹣3時(shí)，當(dāng)﹣3＜x＜2時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的意義，可化簡方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）當(dāng)x＜﹣3時(shí)，先化簡絕對(duì)值，再合并同類項(xiàng)即可求解．【詳解】解：（1）∵|x+1|≥0，∴|x+1|+5的最小值為5，此時(shí)x＝﹣1，∴x2019＝﹣1，故答案為5，﹣1；（2）當(dāng)x≥2時(shí)，|x﹣2|+|x+3|＝2x+1＝6，∴x＝2.5；當(dāng)﹣3＜x＜2時(shí)，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，不成立；當(dāng)x≤﹣3時(shí)，|x﹣2|+|x+3|＝﹣2x﹣1＝6，∴x＝﹣3.5；綜上所述，|x﹣2|+|x+3|＝6的解有兩個(gè)；故答案為2；（3）當(dāng)x＜﹣3時(shí)，|﹣x|+|x+3|﹣|x﹣3|＝﹣x﹣x﹣3+x﹣3＝﹣x﹣6．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)；熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，分段去掉絕對(duì)值的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一元一次方程解題是關(guān)鍵．15．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們知道，表示數(shù)到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義.進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)、，分別用，表示，那么，兩點(diǎn)之間的距離為，利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_______；數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是_______；數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是_______；（2）數(shù)軸上表示和-1的兩點(diǎn)，之間的距離是______，如果，那么的值為______；（3）求的最小值是_______．【答案】（1）3，3，4；（2），或1；（3）1．【分析】（1）根據(jù)題意及絕對(duì)值的幾何意義解題，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即是兩點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對(duì)值；（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義解題，數(shù)軸上的點(diǎn)x與-1的距離即求x與-1的差的絕對(duì)值，如果，則點(diǎn)x可能在-1的右側(cè)距離-1是2個(gè)單位長度，或者點(diǎn)x可能是在-1的左側(cè)距離-1是2個(gè)單位長度，據(jù)此解題；（3）將變形成兩數(shù)差的絕對(duì)值形式，再根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義解題即可．【詳解】（1）數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離為，故答案為：3，3，4；（2）數(shù)軸上表示和-1的兩點(diǎn)之間的距離為，如果，則，，或故答案為：或；（3），其表示的幾何意義是：數(shù)軸上表示的點(diǎn)x到-1和-2之間的距離和，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式，則最小值為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、絕對(duì)值等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．◎類型五：運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義求最小值一般來說,出現(xiàn)若干個(gè)絕對(duì)值的代數(shù)和,求其最小值,通常可以采用零點(diǎn)分段法解決問題,但若出現(xiàn)三個(gè)或三個(gè)以上,再用該法就顯得特別繁雜,此時(shí),若利用絕對(duì)值的幾何意義來解題,將顯得更加簡捷.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義:x-a表示在數(shù)軸上,x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.這樣就可以把該問題轉(zhuǎn)化為:在數(shù)軸上求一點(diǎn),使其到各零點(diǎn)的距離和最小.再結(jié)合求絕對(duì)值代數(shù)和的一般規(guī)律即可解決。16．（2020·江蘇·射陽縣第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知A、B在數(shù)軸上分別表示a，b．（1）對(duì)照數(shù)軸填寫下表：a6-62-1.5b44-10-1.5A、B兩點(diǎn)的距離（2）若A、B兩點(diǎn)間的距離記為d，試問：d和a，b有何數(shù)量關(guān)系？（3）在數(shù)軸上標(biāo)出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)P，使它到5和-5的距離之和為10，并求所有這些整數(shù)的和；（4）找出（3）中滿足到5和-5的距離之差大于1而小于5的整數(shù)的點(diǎn)P；（5）若點(diǎn)C表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，|x＋1|＋|x-2|取得的值最?。坎⑶蟪鲎钚≈担敬鸢浮浚?）見表格；（2）d=|a-b|；（3）P點(diǎn)的取值為-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，所有這些整數(shù)的和為0；（4）-2、-1、1、2；（5）點(diǎn)C在-1到2之間時(shí)，最小值是3．【分析】（1）根據(jù)各數(shù)據(jù)分別計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義即可得到結(jié)果；（3）求出5到-5的距離正好等于10可知-5到5之間的所有整數(shù)點(diǎn)都可以，然后求解即可；（4）將（3）中的P點(diǎn)依次嘗試即可得到答案；（5）根據(jù)數(shù)軸，求出-1到2的距離即為所取得的最小值．【詳解】解：（1）數(shù)軸為：填表如下：a6-62-1.5b44-10-1.5A、B兩點(diǎn)的距離210120（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義可知，d和a、b的數(shù)量關(guān)系為：d=|a-b|；（3）如圖，∵5-（-5）=5+5=10，因此從-5到5范圍內(nèi)所有的整數(shù)點(diǎn)都可以使它到5和-5的距離之和為10，P點(diǎn)的取值為-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，，所有這些整數(shù)的和為0；（4）在（3）中滿足到5和-5的距離之差大于1且小于5的整數(shù)只有-2、-1、1、2，故答案為：-2、-1、1、2；（5）|x+1|+|x-2|=|x-（-1）|+|x-2|∵-1到2的距離是2-（-1）=2+1=3，∴點(diǎn)C在-1到2之間時(shí)，|x+1|+|x-2|取得的值最小，最小值是3．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．17．（2019·廣東·江門市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知A、B在數(shù)軸上分別表示a，b．(1)對(duì)照數(shù)軸填寫下表：a6－6－6－62－1.5b404－4－10－1.5A、B兩點(diǎn)的距離(2)若A、B兩點(diǎn)間的距離記為d，試問：d和a，b有何數(shù)量關(guān)系?(3)在數(shù)軸上找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)P，使它到5和－5的距離之和為10，并求所有這些整數(shù)的和；(4)若點(diǎn)C表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，取得的值最小?最小值是多少？【答案】（1）2，6，10，2，12，0；（2）；（3）0；（4）點(diǎn)C在-1和2之間時(shí)，取得最小值為3【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)距離即可；（2）數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即為差的絕對(duì)值；（3）到兩定點(diǎn)距離之和等于兩定點(diǎn)之間的距離的點(diǎn)的集合是兩定點(diǎn)之間的連線，即可得解；（4）表示x到-1的距離，同理表示x到2的距離，該題及轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上一點(diǎn)到-1和2的距離和最小.【詳解】（1）由題意，得A、B兩點(diǎn)間的距離依次為：2，6，10，2，12，0；（2）由題意，得（3）到兩定點(diǎn)距離之和等于兩定點(diǎn)之間的距離的點(diǎn)的集合是兩定點(diǎn)之間的連線故p點(diǎn)一定在5和-5之間這樣的整數(shù)點(diǎn)有1,2,3,4,5,-5,-4,-3,-2,-1,0故它們的和為0；（4）由題意，得表示x到-1的距離，同理表示x到2的距離，∴點(diǎn)C在-1和2之間時(shí)，取得最小值，最小值為3.【點(diǎn)睛】此題主要考查數(shù)軸的性質(zhì)以及絕對(duì)值的應(yīng)用，熟練掌握，即可解題.18．（2020·山東濰坊·七年級(jí)期末）根據(jù)材料，解答問題如圖，數(shù)軸上有點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是6，-4，4，-1，則兩點(diǎn)間的距離為；兩點(diǎn)間的距離為；兩點(diǎn)間的距離為；由此，若數(shù)軸上任意兩點(diǎn)分別表示的數(shù)是，則兩點(diǎn)間的距離可表示為．反之，表示有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，稱之為絕對(duì)值的幾何意義．問題應(yīng)用1：（1）如果表示-1的點(diǎn)和表示的點(diǎn)之間的距離是2，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值為___________；（2）方程的解____________；（3）方程的解______________；問題應(yīng)用2：如圖，若數(shù)軸上表示的點(diǎn)為.（4）的幾何意義是數(shù)軸上_____________，當(dāng)__________，的值最小是____________；（5）的幾何意義是數(shù)軸上_______，的最小值是__________，此時(shí)點(diǎn)在數(shù)軸上應(yīng)位于__________上；（6）根據(jù)以上推理方法可求的最小值是___________，此時(shí)__________．【答案】（1）-3或1；（2）-7或1；（3）1；（4）點(diǎn)到4的距離；4；0；（5）點(diǎn)到-1和到4的距離之和；5；線段CD；（6）2；2．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義即可求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義即可求解；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義即可求解；（4）絕對(duì)值的幾何意義即可求解；（5）絕對(duì)值的幾何意義即可求解；（6）絕對(duì)值的幾何意義即可求解．【詳解】（1）如果表示-1的點(diǎn)和表示的點(diǎn)之間的距離是2，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值為-3或1，故答案為：-3或1；（2）即表示的點(diǎn)距離-3的點(diǎn)距離是4，則的值為-7或1，故答案為：-7或1；（3）即表示的點(diǎn)距離-4與6的距離相等，故m是-4與6的中點(diǎn)，∴m=1；故答案為：1；（4）的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)到4的距離，當(dāng)4，的值最小是0故答案為：點(diǎn)到4的距離；4；0；（5）的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)到-1和到4的距離之和，的最小值是5，此時(shí)點(diǎn)在數(shù)軸上應(yīng)位于線段CD上故答案為：點(diǎn)到-1和到4的距離之和；5；線段CD；（6）表示點(diǎn)到1，2，3的距離之和∴的最小值是2，此時(shí)2．故答案為：2；2．【點(diǎn)睛】此題主要考查數(shù)軸的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知絕對(duì)值的幾何意義．19．（2021·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a﹣b|．請(qǐng)用上面的知識(shí)解答下面的問題：（1）數(shù)軸上表示1和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示﹣2和﹣4的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果|AB|=2，那么x為；（3）|x+1|+|x﹣2|取最小值是．【答案】（1）4；2；4；（2）|x+1|；1或﹣3；（3）3．【分析】（1）依據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a﹣b|進(jìn)行計(jì)算即可；（2）數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a﹣b|列出方程求解即可；（3）|x+1|+|x﹣2|取最小值表示數(shù)軸上某點(diǎn)到﹣1和2的距離之和，從而可求得最小值．【詳解】（1）數(shù)軸上表示1和5的兩點(diǎn)之間的距離是=|5﹣1|=4；數(shù)軸上表示﹣2和﹣4的兩點(diǎn)之間的距離=|﹣2﹣（﹣4）|=2；數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是=|﹣3﹣1|=4；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離=|x﹣（﹣1）|=|x+1|；∵|AB|=2，∴x+1=±2．解得：x=1或x=﹣3．（3）|x+1|+|x﹣2|表示數(shù)軸上某點(diǎn)到﹣1和2的距離之和．∴當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，|x+1|+|x﹣2|有最小值，最小值為3．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值、數(shù)軸的認(rèn)識(shí)，理解絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【鞏固訓(xùn)練】1．（2020·浙江省義烏市稠江中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a>b>c(ac<0)，且|c|<|b|<|a|，則|b?a|+|a+c|-|b?c|的最小值為(

)A．2a-2b+2c B．2a-2b C．0 D．2a+2c【答案】A【分析】由ac<0，可得a，c異號(hào)，再根據(jù)a>b>c，可得a>0>c，a-b＞0，b-c＞0，結(jié)合|c|<|b|<|a|，可得a＞-c，即有a+c＞0，問題得解．【詳解】∵ac<0，∴a，c異號(hào)，∵a>b>c，∴a>0>c，a-b＞0，b-c＞0，又∵|c|<|b|<|a|，∴a＞-c，∴a+c＞0，∵a-b＞0，b-c＞0，a+c＞0，故，整理化簡可得2a-2b+2c．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)以及去絕對(duì)值的知識(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)得到a-b＞0，b-c＞0，a+c＞0，是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是，則計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，利用絕對(duì)值的性質(zhì)，把|b|，|a|化簡即可．【詳解】∵數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是，∴a＜0，b＞0，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·云南·劍川縣馬登鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）有理數(shù)、、在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸可以得到b＜c＜0＜a，|b|>|c|，|b|>|a|，然后即可將所求式子化簡．【詳解】解：∵b＜c＜0＜a，|b|>|c|，|b|>|a|，∴∴===故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了借助數(shù)軸進(jìn)行的絕對(duì)值化簡及整式的加減運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2020·貴州銅仁·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）若，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】先根據(jù)題意求得a、b的值，然后再求a-b的值，最后求a-b的絕對(duì)值即可．【詳解】解：∵∴a=±3，b=±5當(dāng)a=3，b=5時(shí)，a-b=-2當(dāng)a=3，b=-5時(shí)，a-b=8當(dāng)a=-3，b=5時(shí)，a-b=-8當(dāng)a=-3，b=-5時(shí)，a-b=2所以a-b=±2或±8所以2或8．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值方程和求絕對(duì)值，根據(jù)題意求得a-b的值是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，，且a＞b，則()A．±8或±2 B．±8 C．±2 D．8或2【答案】D【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)平方根、絕對(duì)值的含義，求出a，b的值，又因?yàn)閍＞b，可以分為兩種情況：①a=5，b=3；②a=5，b=-3，分別將a、b的值代入代數(shù)式求出兩種情況下的值即可．【詳解】∵，|b|=3，∴a=±5，b=±3，∵a＞b，∴a=5，a=-5(舍去)，當(dāng)a=5，b=3時(shí)，a+b=8；當(dāng)a=5，b=-3時(shí)，a+b=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的求值，本題用到了分類討論的思想，關(guān)鍵在于熟練掌握平方根、絕對(duì)值的含義．6．（2019·江蘇泰州·七年級(jí)階段練習(xí)）如果是有理數(shù)，代數(shù)式的最小值是(

)．A．0 B．1 C．-1 D．沒有最小值【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵|5m?6|?0，∴當(dāng)5m?6=0，即m=時(shí)，代數(shù)式|5m?6|+1的最小值是1.故答案為B.【點(diǎn)睛】此題考查絕對(duì)值，解題關(guān)鍵在于掌握絕對(duì)值的值恒大于等于0.7．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b為非0有理數(shù)，且a，b同號(hào)，則的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【答案】C【分析】分兩種情況：a＞0，b＞0，和a＜0，b＜0，計(jì)算分析即可得解．【詳解】解：當(dāng)a＞0，b＞0，此時(shí)ab＞0，＝＝1+1﹣1＝1；當(dāng)a＜0，b＜0，此時(shí)ab＞0，＝＝﹣1+（﹣1）﹣1＝﹣3∴值為1或﹣3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的除法，分類討論是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)x，y，若，則的值是（

）．A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】由，可得異號(hào)，再分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再化簡絕對(duì)值即可得到答案.【詳解】解：，異號(hào)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的化簡，有理數(shù)的乘法與除法的符號(hào)確定，除法運(yùn)算，掌握“絕對(duì)值的化簡”是解本題的關(guān)鍵.9．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下面的材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為∣AB∣，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離∣AB∣=∣a-b∣．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是________，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是___________；(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是________，如果∣AB∣=2，那么x為__________．(3)當(dāng)代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是__________．【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)【分析】（1）根據(jù)材料提供的方法進(jìn)行計(jì)算數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，緊緊抓住在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離∣AB∣=∣a-b∣解題即可．（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離得到，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義求出x的值．（3）把原題看成點(diǎn)x到點(diǎn)-1和點(diǎn)2的距離之和，即可得到答案．(1)解：數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離為；故答案為：3，3，4；(2)解：數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，根據(jù)題意得，即，所以x=1或-3，故答案為，1或-3；(3)解：代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距離和，只有在-1和2之間才會(huì)有最小距離3，所以x的取值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離以及絕對(duì)值，重點(diǎn)是讀懂題干的兩點(diǎn)間的距離以及絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．10．（2019·湖北·武漢市南湖中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的差的絕對(duì)值．例：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、