2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典技巧與方法第01講直接討論法含解析

Page1Page1第1講知識(shí)與方法1.直接討論法處理恒成立問題,是指對(duì)題中給出的函數(shù)(含有參數(shù))直接求導(dǎo),通過對(duì)參數(shù)的分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)的最值(或值域),進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.核心思想是:若函數(shù)fx(1)fx≥0(2)fx≤02.直接討論法研究恒成立問題,求解的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.一般地,可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.常用的手段是對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行因式分解或利用求根公式求根;當(dāng)極值點(diǎn)不可求時(shí),常利用零點(diǎn)存在性定理,確定導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的范圍之后再進(jìn)行討論.3.用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,一般要進(jìn)行分類討論,其一般步驟為:(1)先求函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)函數(shù)(通分、因式分解,便于討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù));(3)先討論只有一種單調(diào)區(qū)間的(導(dǎo)函數(shù)同號(hào)的)情況;(4)再討論有增有減的情況(導(dǎo)函數(shù)有正有負(fù),以其零點(diǎn)分界);(5)點(diǎn)睛意函數(shù)的斷點(diǎn),不連續(xù)的同類單調(diào)區(qū)間不要合并.典型例題可求最值型【例1】已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx≥0【解析】(1)函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,+∞f①若a=0,則fx②若a>0,則由f'當(dāng)x∈-∞,lna時(shí),f'x故fx在-∞,lna單調(diào)遞減,在③若a<0,則由f'當(dāng)x∈-∞,ln-當(dāng)x∈ln-故fx在-∞,ln-a(2)①若a=0,則②若a>0,則由(1)得,當(dāng)x=lna時(shí),從而當(dāng)且僅當(dāng)-a2lna≥0,解得③若a<0,則由(1)得,當(dāng)x=ln最小值為fln從而,當(dāng)且僅當(dāng)a234-ln-綜上,a的取值范圍為-2【點(diǎn)睛】求導(dǎo)之后,要有因式分解的意識(shí).f'x=2e2x-aex-a2=2對(duì)數(shù)靠邊走【例2】已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=(2)若當(dāng)x∈1,+∞時(shí),f【解析】(1)fx的定義域?yàn)?當(dāng)a=4時(shí),曲線y=fx在1(2)當(dāng)x∈1,+∞時(shí),f今gx=lnx①當(dāng)a≤2,故g'x>0,②當(dāng)a>2時(shí),令g'由x2>1和x故當(dāng)x∈1,x2因此gx<g綜上,a的取值范圍是(-∞,2【點(diǎn)睛】第二問將不等式進(jìn)行變形,讓對(duì)數(shù)變成單獨(dú)一項(xiàng),再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo),對(duì)數(shù)便消失了.利用“對(duì)數(shù)靠邊走”,只需一次求導(dǎo)就可以往下做,可以避免多次求導(dǎo)的麻煩.對(duì)于第二問,分類討論的標(biāo)準(zhǔn)其實(shí)不止受判別式影響,還需要根據(jù)定義域及二次結(jié)構(gòu)的正負(fù),進(jìn)行進(jìn)一步的整合.本題亦可考慮分離參數(shù)來處理,由fx=x+1lnx-ax-1>0,分離參數(shù)a,可得a<x+1lnxx-1,令hx=x+1lnxx指數(shù)找朋友【例3】已知函數(shù)fx=ex-sin【解析】(1)fx令hx(1)當(dāng)x∈-5π當(dāng)x∈-π,0時(shí),h'x結(jié)合圖像可知:當(dāng)x∈-5π4,(2)當(dāng)x∈[π,+∞)而sinx+cosx≤2綜上,得證.【點(diǎn)睛】對(duì)于含指數(shù)型函數(shù)的不等式,通常要讓一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)乘以或除以指數(shù)型函數(shù).“指數(shù)找朋友”,往往很容易求出極值點(diǎn),從而避免多次求導(dǎo)的麻煩.三角帶參型【例4】已知點(diǎn)Pexx(1)當(dāng)m=-2時(shí),判斷函數(shù)fx(2)若x≥0時(shí),不等式fx【解析】由已知,fx(1)當(dāng)m=-2時(shí),當(dāng)x<0時(shí),ex<1所以函數(shù)fx在-∞,(2)解法1:①當(dāng)x=0時(shí),fx②當(dāng)x>0時(shí),f'則g'x=ex所以g'x=ex所以gx>m+2,即f(i)當(dāng)m≥-2時(shí),f'x>所以fx(ii)當(dāng)m<-2時(shí),f'0=又當(dāng)x=ln2-則存在x0∈0,+∞,對(duì)任意故fx在0,x0上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)綜上,所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2解法2:端點(diǎn)效應(yīng)令Fx=ex+F'x=ex下證:當(dāng)m≥-2時(shí),因?yàn)閤≥0,令gx=e所以g'x單調(diào)遞增,所以所以gx單調(diào)遞增,所以g所以ex+mx綜上,m的取值范圍是[-2強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx有兩個(gè)零點(diǎn),求a【解析】(1)f'(i)若a≤0,則f'x<(ii)若a>0,則由f'當(dāng)x∈-∞,-lna當(dāng)x∈-lna所以fx在-∞,-lna單調(diào)遞減,在(2)(i)若a≤0,由(1)知,(ii)若a>0,由(1)知,當(dāng)x=-lna時(shí),(1)當(dāng)a=1時(shí),由于f-ln(2)當(dāng)a∈1,+∞時(shí),由于1-1(3)當(dāng)a∈0,1時(shí),又f-2=ae設(shè)正整數(shù)n0滿足n則fn由于ln3a-1>綜上,若fx有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為02.已知函數(shù)fx(1)若a=-1,求函數(shù)fx(2)若fx≥0【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí),fx=又因?yàn)榍悬c(diǎn)為0,1(2)f(1)若a+1=0,即a=-1,則(2)若a+1>0,即a>當(dāng)x∈-∞,lna+12時(shí),所以fx在x∈-∞,ln所以fx最小值為f即-1<a(3)若a+1<0,即a<當(dāng)x∈-∞,ln-a-1時(shí),故fx在-∞,lna-所以當(dāng)x=ln-a最小值為fln所以-a+12ln綜上所述:a的取值范圍為-2【點(diǎn)睛】第二問通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性,發(fā)現(xiàn)a+3.已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)當(dāng)a≤2時(shí),若fx【解析】(1)因?yàn)閒x所以f'令f'x=0,得當(dāng)a≤0時(shí),由f'x>0,得則fx在0,1當(dāng)0<a<1時(shí),由f'由f'x<則fx在a,1上單調(diào)遞減,在0當(dāng)a=1時(shí),f'x≥當(dāng)a>1時(shí),由f'x>由f'x<則fx在1,a上單調(diào)遞減,在0綜上,當(dāng)a≤0時(shí),fx在0當(dāng)0<a<1時(shí),fx當(dāng)a=1時(shí),fx當(dāng)a>1時(shí),fx在1(2)當(dāng)a≤0時(shí),由(1)可知fx在0則fx有最小值f1=-當(dāng)0<fx在a,1上單調(diào)遞減,在0因?yàn)閒x無最小值,所以f0<f1當(dāng)a=1時(shí),由1可知,fx在0