2024屆江蘇省匯文實(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題含解析

2024屆江蘇省匯文實(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．一個長方形的面積為，且一邊長為，則另一邊的長為（）A． B． C． D．2．如圖點(diǎn)D、E分別在△ABC的兩邊BA、CA的延長線上，下列條件能判定ED∥BC的是（）．A．； B．；C．； D．．3．如圖是由個完全相同的小正方形搭成的幾何體，如果將小正方體放到小正方體的正上方，則它的（）A．主視圖會發(fā)生改變 B．俯視圖會發(fā)生改變C．左視圖會發(fā)生改變 D．三種視圖都會發(fā)生改變4．.以3、4為兩邊長的三角形的第三邊長是方程x2-13x+40=0的根，則這個三角形的周長為（）A．15或12 B．12 C．15 D．以上都不對5．已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的是（）A．圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-1) B．圖象在第一、三象限C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，y隨著x的增大而增大6．下列事件中，屬于必然事件的是（）A．方程無實(shí)數(shù)解B．在某交通燈路口，遇到紅燈C．若任取一個實(shí)數(shù)a，則D．買一注福利彩票，沒有中獎7．如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點(diǎn)C的雙曲線交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面積等于3，則k的值（）A．等于2 B．等于 C．等于 D．無法確定8．已知點(diǎn)在同一個函數(shù)的圖象上，這個函數(shù)可能是（）A． B． C． D．9．下列函數(shù)中，變量是的反比例函數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知線段a、b、c、d滿足ab=cd，把它改寫成比例式，正確的是（）A．a(chǎn)：d＝c：b B．a(chǎn)：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面積分別為S、S1、S1．若S=1，則S1+S1=．12．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表：x…－2023…y…8003…當(dāng)x＝－1時，y＝__________．13．如圖，在中，點(diǎn)在上，請?jiān)偬砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件，使與相似，那么要添加的條件是__________．(只填一個即可)14．如圖，是的直徑，點(diǎn)和點(diǎn)是上位于直徑兩側(cè)的點(diǎn)，連結(jié)，，，，若的半徑是，，則的值是_____________．15．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是__________．16．已知，且，則的值為__________．17．在某一個學(xué)校的運(yùn)動俱樂部里面有三大筐數(shù)量相同的球，甲每次從第一個大筐中取出9個球；乙每次從第二個大筐中取出7個球；丙則是每次從第三個大筐中取出5個球.到后來甲、乙、丙三人都記不清各自取過多少次球了，于是管理人員查看發(fā)現(xiàn)第一個大筐中還剩下7個球，第二個大筐還剩下4個球，第三個大筐還剩下2個球，那么根據(jù)上述情況可以推知甲至少取了______次.18．使代數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的取值范圍為_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，是⊙的直徑，是⊙的弦，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求的長．20．（6分）如圖，直線y1=﹣x+4，y2=x+b都與雙曲線y=交于點(diǎn)A（1，m），這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點(diǎn)．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出當(dāng)x＞0時，不等式x+b＞的解集；（3）若點(diǎn)P在x軸上，連接AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（6分）如今網(wǎng)上購物已經(jīng)成為一種時尚，某網(wǎng)店“雙十一”全天交易額逐年增長，2015年交易額為50萬元，2017年交易額為72萬元．（1）求2015年至2017年“雙十一”交易額的年平均增長率；（2）如果按（1）中的增長率，到2018年“雙十一”交易額是否能達(dá)到100萬元？請說明理由．22．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x2+(m-1)x+4m的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（0，4），已知點(diǎn)E（0，1）．（1）求m的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結(jié)A′B、BE′．①當(dāng)點(diǎn)E′落在該二次函數(shù)的圖象上時，求AA′的長；②設(shè)AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時點(diǎn)E′的坐標(biāo)；③當(dāng)A′B+BE′取得最小值時，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)．23．（8分）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4.隨機(jī)摸取一個小球然后放回，再隨機(jī)摸出一個小球，請用樹狀圖或列表法求下列事件的概率.（1）兩次取出的小球的標(biāo)號相同；（2）兩次取出的小球標(biāo)號的和等于6.24．（8分）我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實(shí)上，所有的有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)形式(整數(shù)可看作分母為1的分?jǐn)?shù))，那么無限循環(huán)小數(shù)如何表示為分?jǐn)?shù)形式呢？請看以下示例：例：將化為分?jǐn)?shù)形式由于，設(shè)x=0.777…①則10x=7.777…②②?①得9x=7，解得，于是得．同理可得，根據(jù)以上閱讀，回答下列問題：(以下計(jì)算結(jié)果均用最簡分?jǐn)?shù)表示)（基礎(chǔ)訓(xùn)練）（1），；（2）將化為分?jǐn)?shù)形式，寫出推導(dǎo)過程；（能力提升）（3），；(注：，2.01818…)（探索發(fā)現(xiàn)）（4）①試比較與1的大?。?；(填“＞”、“＜”或“=”)②若已知，則．(注：0.285714285714…)25．（10分）已知：為的直徑，,為上一動點(diǎn)（不與、重合）.（1）如圖1，若平分，連接交于點(diǎn).①求證：；②若，求的長；（2）如圖2，若繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得，連接.求證：為的切線.26．（10分）閱讀材料：材料2若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x2，x2則x2+x2＝﹣，x2x2＝．材料2已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，且m≠n，求的值．解：由題知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料2得m+n＝2，mn＝﹣2，所以＝﹣2．根據(jù)上述材料解決以下問題：（2）材料理解：一元二次方程5x2+20x﹣2＝0的兩個根為x2，x2，則x2+x2＝，x2x2＝．（2）類比探究：已知實(shí)數(shù)m，n滿足7m2﹣7m﹣2＝0，7n2﹣7n﹣2＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：（2）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t分別滿足29s2+99s+2＝0，t2+99t+29＝0，且st≠2．求的值．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式運(yùn)算法則解題即可．【題目詳解】長方形的面積為，且一邊長為，另一邊的長為故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、長方形的面積等知識，是常見考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2、D【分析】根據(jù)選項(xiàng)選出能推出，推出或的即可判斷．【題目詳解】解：、∵，，不符合兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等的相似三角形判定定理.無法判斷與相似，即不能推出，故本選項(xiàng)錯誤；、，，，，即不能推出，故本選項(xiàng)錯誤；、由可知，不能推出，即不能推出，即不能推出兩直線平行，故本選項(xiàng)錯誤；、∵，，，，，，故本選項(xiàng)正確；故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定和平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和辨析能力，注意：有兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形相似．3、A【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形事俯視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【題目詳解】如果將小正方體放到小正方體的正上方，則它的主視圖會發(fā)生改變，俯視圖和左視圖不變．故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．4、B【解題分析】試題分析：將方程進(jìn)行因式分解可得：（x－5）（x－8）=0，解得：x=5或x=8，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：這個三角形的第三邊長為5，則周長為：3+4+5=1．考點(diǎn)：（1）解一元二次方程；（2）三角形三邊關(guān)系5、D【解題分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解．【題目詳解】解：A、x=-1，y==-1，∴圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，-1），正確；B、∵k=1＞0，∴圖象在第一、三象限，正確；C、∵k=1＞0，∴圖象在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＞1時，0＜y＜1，正確；D、應(yīng)為當(dāng)x＜0時，y隨著x的增大而減小，錯誤．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＞0時，函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y的值隨x的值的增大而減?。?、A【分析】根據(jù)必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件即可得出答案．【題目詳解】解：A、方程2x2+3＝0的判別式△＝0﹣4×2×3＝﹣24＜0，因此方差2x2+3＝0無實(shí)數(shù)解是必然事件，故本選項(xiàng)正確；B、在某交通燈路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯誤；C、若任取一個實(shí)數(shù)a，則（a+1）2＞0是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯誤；D、買一注福利彩票，沒有中獎是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯誤；故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考察隨機(jī)事件，解題關(guān)鍵是熟練掌握隨機(jī)事件的定義.7、B【解題分析】如圖分別過D作DE⊥Y軸于E,過C作CF⊥Y軸于F,則△ODE∽△OBF,∵OD：DB=1:2∴相似比=1:3∴面積比=OD：DB=1:9即又∴∴解得K=故選B8、D【解題分析】由點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，可知函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，于是排除選項(xiàng)；再根據(jù)的特點(diǎn)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可知拋物線的開口向下，即，故選項(xiàng)正確．【題目詳解】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱；由于的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此選項(xiàng)錯誤；由可知，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，對于二次函數(shù)只有時，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，選項(xiàng)正確故選．【題目點(diǎn)撥】考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以采用排除法，直接法得出答案．9、B【解題分析】根據(jù)反比例函數(shù)的一般形式即可判斷．【題目詳解】A.不符合反比例函數(shù)的一般形式的形式，選項(xiàng)錯誤；B.符合反比例函數(shù)的一般形式的形式，選項(xiàng)正確；C.不符合反比例函數(shù)的一般形式的形式，選項(xiàng)錯誤；D.不符合反比例函數(shù)的一般形式的形式，選項(xiàng)錯誤．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的一般形式是解題的關(guān)鍵．10、A【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積．對選項(xiàng)一一分析，選出正確答案．【題目詳解】解：A、a：d=c：b?ab=cd，故正確；B、a：b=c：d?ad=bc，故錯誤；C、c：a＝d：b?bc=ad，故錯誤D、b：c＝a：d?ad=bc，故錯誤．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比例的基本性質(zhì)實(shí)現(xiàn)比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換．二、填空題(每小題3分,共24分)11、2．【題目詳解】∵E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，∴EFBC．∴ΔPEF∽ΔPBC．∴SΔPBC=4SΔPEF=8s．又SΔPBC=S平行四邊形ABCD，∴S1+S1=SΔPDC＋SΔPAB=S平行四邊形ABCD=8s=2．12、3【解題分析】試題解析：將點(diǎn)代入，得解得：二次函數(shù)的解析式為：當(dāng)時，故答案為：13、或【解題分析】已知與的公共角相等，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似再添加一組對應(yīng)角相等即可.【題目詳解】解：（公共角）（或）（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.14、【分析】根據(jù)題意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD的正弦就是∠ACD的正弦值．【題目詳解】解：∵是的直徑，∴∠ADB=90°∴∠ACD=∠ABD∵的半徑是，，∴故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查的是銳角三角函數(shù)值.15、且【分析】根據(jù)根的判別式和一元一次方程的定義得到關(guān)于的不等式，求出的取值即可．【題目詳解】關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∵，∴且，

解得：且，

故答案為：且．【題目點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，能根據(jù)題意得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵．16、1【解題分析】分析：直接利用已知比例式假設(shè)出a，b，c的值，進(jìn)而利用a+b-2c=6，得出答案．詳解：∵，∴設(shè)a=6x，b=5x，c=4x，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=1．故答案為1．點(diǎn)睛：此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．17、2【分析】設(shè)每框球的總數(shù)為k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根據(jù)題意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整數(shù))，然后根據(jù)整除的性質(zhì)解答即可．【題目詳解】設(shè)每框球的總數(shù)為k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根據(jù)題意得：k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整數(shù))∴9a+7=5c+2，∴9a=5(c-1)，∴a是5的倍數(shù)．不妨設(shè)a=5m(m為正整數(shù))，∴k=45m+7=7b+4，∴b=，∵b和m都是正整數(shù)，∴m的最小值為1．∴a=5m=2．故答案為：2．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的者方程，會根據(jù)整除性進(jìn)一步設(shè)未知數(shù)．18、【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出即可求解.【題目詳解】若代數(shù)式有意義，則，解得：，即實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故填：【題目點(diǎn)撥】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義即根號內(nèi)的式子要大于等于零是關(guān)鍵.三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）1．【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得出，然后再利用圓周角定理的推論即可得出；（2）先根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后利用的面積求出CE的長度，最后利用垂徑定理可得CD=2CE，則答案可求．【題目詳解】（1）證明：∵為⊙的直徑，，，；（2）解：∵為⊙的直徑，∴，，，又∵∴．∵，即，解得，∵為⊙的直徑，，∴．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查垂徑定理，圓周角定理的推論，勾股定理，掌握垂徑定理，圓周角定理的推論，勾股定理是解題的關(guān)鍵．20、（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）【解題分析】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入雙曲線y=，可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）依據(jù)A（1，3），可得當(dāng)x＞0時，不等式x+b＞的解集為x＞1；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，則CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入雙曲線y=，可得k=1×3=3，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=；（2）∵A（1，3），∴當(dāng)x＞0時，不等式x+b＞的解集為：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，則x=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，∴b=，∴y2=x+，令y2=0，則x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，∴CP=BC=，或BP=BC=∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，∴P（﹣，0）或（，0）．點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．21、（1）20%；（2）不能，見解析【分析】（1）一般用增長后的量＝增長前的量×（1＋增長率），2016年交易額是2500（1＋x）萬元，在2016年的基礎(chǔ)上再增長x，就是2017年的交易額，即可列出方程求解．（2）利用2017年的交易額×（1＋增長率）即可得出答案．【題目詳解】解：（1）設(shè)所求的增長率為x，依據(jù)題意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合題意，舍去）．答：2015年至2017年“雙十一”交易額的年平均增長率為20%．（2）依據(jù)題意，可得：72×（1+20%）=72×1.2=86.4（萬元）∵86.4＜100，∴到2018年“雙十一”交易額不能達(dá)到100萬元．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程中增長率的知識．增長前的量×（1＋年平均增長率）年數(shù)＝增長后的量．22、（2）m="2,A(-2,0);"(2)①,②點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（2，2）,③點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（，2）．【分析】試題分析：(2)將點(diǎn)代入解析式即可求出m的值，這樣寫出函數(shù)解析式，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①將E點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，即可求出AA′；②連接EE′，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求出A′B2+BE′2當(dāng)n=2時，其最小時，即可求出E′的坐標(biāo)；③過點(diǎn)A作AB′⊥x軸，并使AB′="BE"=2．易證△AB′A′≌△EBE′，當(dāng)點(diǎn)B，A′，B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．易證△AB′A′∽△OBA′，由相似就可求出E′的坐標(biāo)試題解析：解：（2）由題意可知4m=4，m=2．∴二次函數(shù)的解析式為．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）．（2）①∵點(diǎn)E（0,2），由題意可知，．解得．∴AA′=．②如圖，連接EE′．由題設(shè)知AA′=n（0＜n＜2），則A′O=2-n．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2–n)2+42=n2-4n+3．∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=n．又BE=OB-OE=2.∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2+9，∴A′B2+BE′2=2n2-4n+29=2(n–2)2+4．當(dāng)n=2時，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（2，2）．③如圖，過點(diǎn)A作AB′⊥x軸，并使AB′=BE=2．易證△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．當(dāng)點(diǎn)B，A′，B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．易證△AB′A′∽△OBA′，∴，∴AA′=∴EE′=AA′=，∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（，2）．考點(diǎn)：2.二次函數(shù)綜合題；2.平移.【題目詳解】23、(1)；(2)=.【分析】（1）列出表格展示所有可能的結(jié)果，再找到相同小球的情況數(shù)，利用概率公式，即可求解；（2）找出兩次取出的小球標(biāo)號的和等于6的情況數(shù)，再利用概率公式，即可求解．【題目詳解】解：12341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)總共有16種可能，其中4種兩次取的小球標(biāo)號一樣，∴P=；（2）有三種情況：2+4=6，3+3=6，4+2=6，∴P=．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查例舉法求隨機(jī)事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖以及概率公式是解題的關(guān)鍵．24、（1），；（2），推導(dǎo)過程見解析；（3），；（4）①；②．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料的方法即可得；（2）參照閱讀材料的方法，設(shè)，從而可得，由此即可得；（3）參照閱讀材料方法，設(shè)，從而可得，由此即可得；先將拆分為2與的之和，再參照閱讀材料的方法即可得；（4）①先參照閱讀材料的方法將寫成分?jǐn)?shù)的形式，再比較大小即可得；②先求出，再根據(jù)①的結(jié)論可得，然后根據(jù)即可得．【題目詳解】（1）設(shè)①，則②，②①得：，解得，即，設(shè)①，則②，②①得：，解得，即，故答案為：，；（2）設(shè)①，則②，②①得：，解得，即；（3）設(shè)①，則②，②①得：，解得，即；，設(shè)①，則②，②①得：，解得，則，故答案為：，；（4）①設(shè)②，則③，③②得：，解得，即，故答案為：；②因?yàn)?，，所以，所以，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的大小比較、等式的性質(zhì)、解一元一次方程，讀懂閱讀材料的方法并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．25、（1）①見解析，②2；（2）見解析【分析】（1）①先根據(jù)圓周角定理得出，再得出，再根據(jù)角平分線的定義得出，最后根據(jù)三角形外角定理即可求證；②