人教版版七上第一章1.2 有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)與絕對值 培優(yōu)強化（含解析）

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有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)與絕對值培優(yōu)強化

易混淆講解

一、正數(shù)和負數(shù)

1、0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．0是正負數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是小于0的數(shù)．

2、用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．

二、有理數(shù)

1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．

2、有理數(shù)的分類：

①按整數(shù)、分數(shù)的關(guān)系分類：有理數(shù){整數(shù){正整數(shù)、0、負整數(shù)、分數(shù){正分數(shù)、負分數(shù)}}}；

②按正數(shù)、負數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù){正數(shù){正整數(shù)、正分數(shù)}、0、負數(shù){負整數(shù)、負分數(shù)}}．

注意：如果一個數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分數(shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分數(shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．

三、數(shù)軸

（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．

數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．

（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）

（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．

四、相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．

（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“﹣”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“﹣”號，結(jié)果為正．

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．

五、絕對值

如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：

①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；

②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；

③當a是零時，a的絕對值是零．

即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）

六、有理數(shù)大小比較

（1）有理數(shù)的大小比較

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

1．法則比較：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)．兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。?/p>

2．數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)．

3．作差比較：

若a﹣b＞0，則a＞b；

若a﹣b＜0，則a＜b；

若a﹣b=0，則a=b．

練習鞏固

一、選擇題（共10小題）

1．若1＜x＜2，則的值是（）

A．﹣3B．﹣1C．2D．1

2．如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點開始沿數(shù)軸向右無滑動地滾動一周到達點A，則點A表示的數(shù)是（）

A．2B．4C．πD．2π

3．下列說法中，正確的是（）

A．若，則B．若，則

C．若，則D．若，則

4．如圖，，在數(shù)軸上的位置如圖所示：，那么的結(jié)果是（）

A．B．C．D．

5．如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)可能為（）

A．B．C．D．

6．在數(shù)軸上，點A，B在原點O的同側(cè)，分別表示數(shù)a，1，將點A向左平移3個單位長度，得到點C．若點C與點B互為相反數(shù)，則a的值為（）

A．3B．2C．D．0

7．下列各數(shù)中，比小的數(shù)是（）

A．0B．C．D．

8．點A在數(shù)軸上，點A所對應(yīng)的數(shù)用表示，且點A到原點的距離等于3，則a的值為（）

A．或1B．或2C．D．1

9．如圖表示互為相反數(shù)的兩個點是（）

A．點與點B．點與點C．點與點D．點與點

10．下列各式正確的是（）

A．B．C．D．

二、填空題（共4小題）

11．如圖，化簡代數(shù)式的結(jié)果是．

12．有理數(shù)，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡：．

13．在數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)為3，在點A的左側(cè)的點B對應(yīng)的數(shù)為a．若|a﹣3|=5，則a為．

14．如圖，直徑為個單位的圓，沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點從原點到達點，則點對應(yīng)的實數(shù)是．

三、解答題（共5小題）

15．如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點，點A在點B的左側(cè)．已知點B對應(yīng)的數(shù)為2，點A對應(yīng)的數(shù)為a．

（1）若a＝﹣1，則線段AB的長為；

（2）若點C到原點的距離為3，且在點A的左側(cè)，BC﹣AC＝4，求a的值．

16．已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：

（1）判斷正負，用“>”、“<”或“=”填空：,,

（2）化簡：.

17．把下列各數(shù)表示在數(shù)軸上，然后把這些數(shù)按從大到小的順序用“＞”連接起來．

0，1，﹣3，﹣（﹣0.5），﹣|﹣|，+（﹣4）．

18．在單位長度為1的數(shù)軸上，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為4．

（1）求的長度；

（2）若把數(shù)軸的單位長度擴大30倍，點、點所表示的數(shù)也相應(yīng)的發(fā)生變化，已知點是線段的三等分點，求點所表示的數(shù)．

19．如圖所示，a，b，c分別表示數(shù)軸上的數(shù)，化簡：|2﹣b|+|a+c|﹣|b﹣a﹣c|．

參考答案

1．D

【分析】在解絕對值時要考慮到絕對值符號中代數(shù)式的正負性，再去掉絕對值符號．

【詳解】解：，

，，，

原式，

故選：．

【點睛】本題主要考查了絕對值，代數(shù)式的化簡求值問題．解此題的關(guān)鍵是在解絕對值時要考慮到絕對值符號中代數(shù)式的正負性，再去掉絕對值符號．

2．C

【分析】圓向前滾動了一個圓周長的距離，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：圓周長為π，所以點A表示的數(shù)是π，

故選：C．

【點睛】本題考查數(shù)軸上表示的數(shù)，明確圓向前滾動了一個圓周長的距離是解題的關(guān)鍵．

3．A

【分析】根據(jù)絕對值的意義進行逐一分析．

【詳解】、因為，若，則，即，所以選項正確；

、如果、互為相反數(shù)，如2與，，但，即，所以選項不正確；

、如果、互為相反數(shù)，如2與，，即，但，，所以選項不正確；

、如果、都為負數(shù)，如與，，即，但，，所以選項不正確．

故選：．

【點睛】本題考查了絕對值的意義，根據(jù)進行分類討論，通過賦值法可得出與題目相反的結(jié)論即判斷題目正誤．

4．A

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果．

【詳解】解：根據(jù)題意得：b＜a＜0，且|a|＜|b|，

∴a-b＞0，a+b＜0，

∴原式=a-b-a-b=-2b．

故選：A．

【點睛】此題主要考查了數(shù)軸以及絕對值，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

5．C

【分析】根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的特點，在-2和-4之間的數(shù)即為答案；

【詳解】由題可得，黑墨遮蓋的數(shù)字在-2和-4之間，符合條件的數(shù)字只有-3．

故答案選C．

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用，準確分析是解題的關(guān)鍵．

6．B

【分析】先用a的式子表示出點C，根據(jù)點C與點B互為相反數(shù)列出方程，即可求解．

【詳解】由題可知：A點表示的數(shù)位a，B點標示的數(shù)位1，

∵C點是A向左平移3個單位長度，

∴C點可表示為：a-3，

又∵點C與點B互為相反數(shù)，

∴a-3=-1

∴a=2．

故答案選B．

【點睛】本題主要考察了數(shù)軸上數(shù)的表示，準確表示平移后的點，找到等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵．

7．B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可．

【詳解】解：，

∵，

∴比小的數(shù)是，

故選：B．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小，注意絕對值越大的負數(shù)的值越小是解題的關(guān)鍵．

8．A

【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義列絕對值方程解答即可．

【詳解】解：由題意得：|2a+1|=3

當2a+1＞0時，有2a+1=3，解得a=1

當2a+1＜0時，有2a+1=-3，解得a=-2

所以a的值為1或-2．

故答案為A．

【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義，根據(jù)絕對值的幾何意義列出絕對值方程并求解是解答本題的關(guān)鍵．

9．B

【分析】根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)定義求解即可．

【詳解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互為相反數(shù)，則點A與點D表示互為相反數(shù)的兩個點．

故選：B．

【點睛】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．

10．D

【分析】根據(jù)絕對值的定義和正負數(shù)的意義逐一判斷即可．

【詳解】A．，故本選項錯誤；

B．，故本選項錯誤；

C．，故本選項錯誤；

D．，故本選項正確．

故選D．

【點睛】此題考查的是絕對值的定義和正負數(shù)的意義，掌握絕對值的定義和正負數(shù)的意義是解決此題的關(guān)鍵．

11．

【分析】先判斷的值的情況，利用數(shù)軸可得：＜＜＜＜，再判斷的符號，再化簡絕對值，合并同類項即可得到答案．

【詳解】解：＜＜＜＜，

＞，＞，＜，

故答案為：

【點睛】本題考查的是絕對值的化簡，整式的加減運算，掌握絕對值的化簡的方法是解題的關(guān)鍵．

12．-2a-b

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果．

【詳解】解：根據(jù)題意得：a＜0＜b＜c，且|c|＞|a|＞|b|，

∴a+b＜0，b-c＜0，c-a-b＞0，

則-(a+b)-(c-b)+(c-a-b)=-2a-b．

故答案為：-2a-b．

【點睛】本題考查整式的加減，數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，觀察出數(shù)軸判斷出a、b、c的正負情況并去掉絕對值號是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．

13．﹣2．

【分析】先去絕對值，再解方程即可求解．

【詳解】解：∵|a﹣3|=5，

∴a﹣3=±5，

解得：a=﹣2或8．

∵點B在點A的左側(cè)，

∴a小于3．

故答案為：﹣2．

【點睛】考查了數(shù)軸，絕對值，關(guān)鍵是掌握絕對值方程的解法．

14．

【分析】運用圓的周長公式求出周長即可．

【詳解】解：C=πd=π．

故答案為：π.

【點睛】此題考查了實數(shù)與數(shù)軸，求出直徑為1個單位的圓，沿數(shù)軸向右滾動1周的路程是解本題的關(guān)鍵．

15．（1）3；（2）﹣2

【分析】（1）根據(jù)點A、B表示的數(shù)利用兩點間的距離公式即可求出AB的長度；

（2）設(shè)點C表示的數(shù)為c，則|c|＝3，即c＝±3，根據(jù)BC﹣AC＝4列方程即可得到結(jié)論．

【詳解】（1）AB＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3，

故答案為：3；

（2）∵點C到原點的距離為3，

∴設(shè)點C表示的數(shù)為c，則|c|＝3，即c＝±3，

∵點A在點B的左側(cè)，點C在點A的左側(cè)，且點B表示的數(shù)為2，

∴點C表示的數(shù)為﹣3，

∵BC﹣AC＝4，

∴2﹣（﹣3）﹣[a﹣（﹣3）]＝4，

解得a＝﹣2．

【點睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.

16．（1）＜；＞；＜；（2）a．

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，判斷出a，b，c的取值范圍，進而求解；

（2）根據(jù)數(shù)軸，判斷出a，b，c的取值范圍，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，去絕對值號，合并同類項即可．

【詳解】（1）根據(jù)數(shù)軸可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，

∴a+b＜0，ab＞0，a＋b+c＜0，

故答案為：＜；＞；＜；

（2）根據(jù)數(shù)軸可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，

∴bc＜0，ab＜0，a＋c＞0，

∴

＝（a+c）+（a+b+c）＋（a-b）

＝-a-c+a+b+c＋a-b

＝a．

【點睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對值、整式的加減等知識的綜合運用，解決此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)數(shù)軸上的信息，判斷出a，b，c等字母的取值范圍，同時解決此題時也要注意絕對值性質(zhì)的運用．

17．數(shù)軸見解析，1＞﹣（﹣0.5）＞0＞﹣|﹣|＞﹣3＞+（﹣4）

【分析】先把各數(shù)化簡，在數(shù)軸上表示出各數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸的特點把這些數(shù)按從大到小的順序用“＞”連接起來．

【詳解】解：如圖所示：

根據(jù)數(shù)軸的特點把這些數(shù)按從大到小的順序用“＞”連接起來為1＞﹣（﹣0.5）＞0＞﹣|﹣|＞﹣3＞+（﹣4）．

【點睛】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系，任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，在數(shù)軸上，原點左邊的點表示的是負數(shù)，原點右邊的點表示的是正數(shù)，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大．

18．（1）6.5；（2）或55

【分析】（1）數(shù)軸上兩不同點之間的距離為兩點代表的數(shù)的差的絕對值，此題用B代表的數(shù)減去A代表的數(shù)即可求解；

（2）首先求出在單位長度擴大30倍之后的新數(shù)軸上點A、B所表示的數(shù)，再分類討論求出