模塊5.1 多自由度系統(tǒng)振動(a)（動力學(xué)方程）《振動力學(xué)》教學(xué)課件

《振動力學(xué)》?精品課件合集振動力學(xué)

CAI多自由度系統(tǒng)振動2018年10月12日2kcm例子：轎車行駛在路面上會產(chǎn)生上下振動《振動力間學(xué)的》

相互影響要求：對轎車的上下振動進行動力學(xué)建模分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合建模方法1：將車、人等全部作為一個質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼優(yōu)點：模型簡單缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之多自由度系統(tǒng)振動2018年10月12日k2c2m車m人4《振動力學(xué)》k1c1建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響多自由度系統(tǒng)振動m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車5《振動力學(xué)》m輪m輪建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確2018年問10月題12日：如何描述各個質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？多自由度系統(tǒng)振動教學(xué)內(nèi)容2018年10月12日《振動力學(xué)》6多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的零根和重根情形多自由度系統(tǒng)的受迫振動有阻尼的多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程作用力方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣位移方程和柔度矩陣質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)耦合與坐標(biāo)變換2018年10月12日《振動力學(xué)》7多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程作用力方程幾個例子例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的運動微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》8解：

x

1、

x

2坐標(biāo)原點：取m1、m2

的靜平衡位置設(shè)某一瞬時：

m1、m2上分別有位移受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1

x

1m1x1、x2 加速度P2(t)k2(x1-x2)m2

x

2m2k3x2m1m2k1k2P1(t)x1 P2(t)x2k3多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》達朗貝爾慣性力92 1 2 3 3 2

2 2

m

x

k (x

x )

k

x

P

(t)建立方程：

m1

x

1

k1x1

k2(x1

x2)

P1

(t)

0

2 2 3

2

2

2

2

P

(t)x

x1

P1(t)

m x

k k

k矩陣形式：

m1

0

x

1

k1

k2

k2力量綱坐標(biāo)間的耦合項P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1

x

1m1P2(t)k2(x1-x2)m2

x

2m2k3x2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》10例2：轉(zhuǎn)動運動兩圓盤轉(zhuǎn)動慣量

I1

,

I

2軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度k

1

,

k

2

,

k

3試建立系統(tǒng)的運動微分方程k

11I

22Ik

2k

3M1

(t)2M

(t)

1外力矩

M1

(t),

M

2

(t)2018年10月12日《振動力學(xué)》11多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程建立坐標(biāo)：

1,

2設(shè)某一瞬時：

角位移角加速度

1

,

2受力分析：

1kI1

22I

2k

3kM1

(t)M

2(t)

1k

1

11

1I

1M

(t)k

2(

1

2

)2

2I

M

2(t)k

3

3

1

)k

2

(

2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程解：達朗貝爾慣性力偶2018年10月12日《振動力學(xué)》12建立方程：

21

M

(t)2 2

2

2

3

3

I

k (

)

k

I1

1

k

1

1

k

2

(

1

2

)

M

1

(t)

02

12

k矩陣形式：

I1 0

1

M1(t)

3

2

M

2(t)

k

2 k

2

k

k

2

1

k

2I

坐標(biāo)間的耦合項k

1

11

1I

M1

(t)k

2(

1

2

)2

2I

M

2(t)k

3

32018年10月12日《振動力學(xué)》13

1

)k

2

(

2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

011

221 1

1

P2

(t)

P

(t)

x

k3

x2

k2 k2m2

x

2

m 0

x

k

k

k

1

M

2(t)

M

1

(t)

I1

0

1

k

2

k

3

2

k

2

k

2

k

2

k

1I2

2

0

多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學(xué)描述上相同如同在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的m1m2k3k1 k2k

1I

1I

2k

2k

3M1(t

)M2(t

)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程P1(t) P2(t)2018年10月12日《振動力學(xué)》14

0

3

2

2

22

2

x P

(t)

k2

x1

P1

(t)

x

k k2

km

m1 0

x

1

k1

k2

02

12

k

I1 0

1

M1(t)

3

2

2

k

2 k

2

k

M (t)

k

2

1

k

2I

可統(tǒng)一表示為：M X

K X

P

(t)小結(jié)：例1：例2：作用力方程加速度向量質(zhì)量矩陣位移向量剛度矩陣激勵力向量多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程n

個自由度，則各項皆為

n

維矩陣或列向量20若18年系10統(tǒng)月12有日《振動力學(xué)》15多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程n

個自由度系統(tǒng):M X

K X

P

(t)

m ...m

...m

.....................

m ...m ...m21 2

j 2n

m11...m1j

...m1nM

2

P (t

)

P1

(t

)

P(t

)

nj nn

k

k ...

k ...

k

.......... .......... .

n1...

k

2

j

...

k

2

n21

k11

...

k1

j

...

k1nK

X

[x

,

x ,...,

x ]T

Rn1 2 nn1 nj nn

n

nn

n

Pn

(t

)

n

1質(zhì)量矩陣第

j

列2018年10月12日《振動力學(xué)》16剛度矩陣第

j

列廣義坐標(biāo)列向量MX

KX

P

(t)作用力方程：X

Rn當(dāng)

M、K

確定后，系統(tǒng)動力方程可完全確定M、K

該如何確定？先討論

K加速度為零X

0KX

P

(t)假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2018年10月12靜日《振動力學(xué)》力平衡準(zhǔn)靜態(tài)外力列向量1717作用力方程：X

RnMX

KX

P

(t)KX

P

(t)假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程m1m2k3k1x1例如：F1k2

F2

F2

k2

F1

k1

k2

x2

0

x1

1,...,

x ]T

[0,...,0,1,0,...,0]Tx2j

1

n即

：

X

[x1

,...,

x

j

1

,

x

j

,

xF

kx2018年10月12日

《振動力學(xué)》2018年10月12日《振動力學(xué)》18MX

KX

P

(t)作用力方程：X

Rn

KX

P(t)假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移n,...,

x ]T

[0,...,0,1,0,...,0]Tj

1X

[x1

,...,

x

j

1

,

x

j

,

x

0

0

0

0

.....................

1

()

21

2n

k

n1

...

k

nj

...

k

nnk

21

...

k

2

j

...

k

k11

...

k1

j

...

k1n

Pn

(t

)

P(t

)

P

(t

)

代入

：

P

t多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

knj

k

2j

k1j

2018年10月12日19

knj

k2j

k1j

1

0

0

k

n1

...

k

nj

...

k

nn

.....................

1

k11

...

k1j

...

k1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

k

21

...

k

2

j

...

k

2

n

0

所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣

K

的第

j

列kij（i=1~n）

：在第

i

個坐標(biāo)上施加的力多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

0

考慮：這樣的外力列陣是否唯一？x1x2k1F1k2F2k312

1

1 2 1

F

k

k

x

1

21

k2 ?

F2

k2

x2

0k

k ?

K

《振動力學(xué)》

knj

k2j

k1j

1

0

0

k

n1

...

k

nj

...

k

nn

.....................

1

k11

...

k1j

...

k1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

k

21

...

k

2

j

...

k

2

n

0

所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣

K

的第

j

列kij（i=1~n）

：在第

i

個坐標(biāo)上施加的力結(jié)論：剛度矩陣

K

中的元素

kij

是使系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

0

2018年10月12日《振動力學(xué)》21

knj

k2j

k1j

1

0

0

k

n1

...

k

nj

...

k

nn

.....................

1

k11

...

k1j

...

k1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

k

21

...

k

2

j

...

k

2

n

0

結(jié)論：剛度矩陣

K

中的元素

kij

是使系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

0

第j個坐標(biāo)產(chǎn)生單位位移剛度矩陣第j列系統(tǒng)剛度矩陣j=1~n2018年10月12日《振動力學(xué)》22確定2018年10月12日22作用力方程：X

Rn討論

MMX

√KX

P

(t)MX

P(t)

0

0

0

1

mn1...mnj

...mnn

m11...m1j

...m1n

Pn

(t)

P

(t)

P(t)

P2(t)

m21...m2j...m2n

多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他各個坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度

0

《振動力學(xué)》

mnj

.....................

1

m2j

m1j

23

mnj

m1j

1

0

0

0

mn1...mnj

...mnn

..........

..........

.

1

m11

...m1j...m1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

m21

...m2

j

...m2

n

m2j

這組外力正是質(zhì)量矩陣

M

的第

j

列多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

0

考慮：這樣的外力列陣是否唯一？m1m2k3x1x2F1k1 k2

F2

2018年10月

12日2F

0

F1

m1

2

x

0

x

1

1F

ma

0 ?

?

M

m1《振動力學(xué)》24

mnj

m1j

1

0

0

mn1...mnj

...mnn

..........

..........

.

1

m11

...m1j...m1n

Pn

(t

)

P

(t

)

P

(t

)

P2

(t

)

m21

...m2

j

...m2

n

m2j

0

這組外力正是質(zhì)量矩陣

M的第

j

列結(jié)論：質(zhì)量矩陣

M

中的元素

mij

是使系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

0

第j個坐標(biāo)單2018年位10加月1速2日度質(zhì)量矩陣第j列系統(tǒng)質(zhì)量矩陣j=1~n《振動力學(xué)》確定多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》25剛度矩陣

K

中的元素

kij是使系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上所需施加的力質(zhì)量矩陣

M

中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上所需施加的力mij、kij又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法例：寫出

M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考慮靜態(tài)令多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

02

k

k1

k2

k2使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

k11

k1保持m2不動所需施加的力：

k21

k2保持m3不動所需施加的力：

k31

0X

1

0

0

T

只使m1產(chǎn)生單位位移，m2和m3不動在三個質(zhì)量上施加力能夠使得

0

2

x3

x1

1

X

x

0

系20統(tǒng)18剛年1度0月矩12陣日

的第一列26《振動力學(xué)》2018年10月12日27例：寫出

M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考慮靜態(tài)令多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

?

?

2

k1

k2 ? ?

剛度矩陣：

K

k ?0 ?k2使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

k11

k1保持m2不動所需施加的力：

k21

k2保持m3不動所需施加的力：

k31

0X

1

0

0

T

只使m1產(chǎn)生單位位移，m2和m3不動《振動力學(xué)》例：寫出

M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

2 3 5 6

k3k2只使m2產(chǎn)生單位位移，m1和m3不動在三個質(zhì)量上施加力

k

0

2

x3

x1

0

k

k

k

能夠使得

X

x

1

系統(tǒng)201剛8年度10矩月1陣2日的第二列28《振動力學(xué)》令X

0

1

0

T

k3

k5

k6使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

k22

k2保持m1不動所需施加的力：

k12保持m3不動所需施加的力：

k32

k2

k32018年10月12日29例：寫出

M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程只使m2產(chǎn)生單位位移，m1和m3不動令X

0

1

0

T

k3

k5

k6使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

k22

k2

?

0?

?

63 52 2k3k

k

k2

k3k2保持m1不動所需施加的力：

k12保持m3不動所需施加的力：

k32

k1

k2剛度矩陣：

K

k k

k《振動力學(xué)》例：寫出

M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程

30k只使m3產(chǎn)生單位位移，m1和m2不動在三個質(zhì)量上施加力

2

x1

0

能夠使得

X

x

0

令

k3

k4

x3

1

系2統(tǒng)018剛年1度0月矩12陣日的第三列《振動力學(xué)》30X

0

0

1

T保持m1不動所需施加的力：

k13

0保持m2不動所需施加的力：

k23

k3使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

k33

k3

k4例：寫出

M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考慮靜態(tài)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程只使m3產(chǎn)生單位位移，m1和m2不動令X

0

0

1

T保持m2不動所需施加的力：

k23

k3使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

k33

k3

k4

362 50k

kk2

k3

k保持m1不動所需施加的力：

k13

0

k1

k2

k2剛度矩陣：

K

k

k3

k4

k302018年10月12日《振動力學(xué)》31例：寫出

M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k21P

(t)P2(t)m3k4k5k63P

(t)解：先只考慮靜態(tài)令X

1

0

0

Tk11

k1

k2k21

k2k31

0令k12

k2k22

k2

k3

k5

k6k32

k3令X

0

1

0

TX

0

0

1

T

0k13k23

k3k33

k3

k4

36532200k3

k4

k3k

k

k

k

kk2

k1

k2剛度矩陣：

K

k多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》32只考慮動態(tài)令

X

1

0

0

Tm1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零所需施加的力：F1

m1a1

m1

1

m1

m11所需施加的力：F3

m3a3

0

m31

0

0

F2

m2a2

0

m21

m1

在三個質(zhì)量上施加力能夠使得

0

1

2X

x

x

3

0

x

1

m1產(chǎn)生單位加速度的瞬時，m2

和

m3

尚沒有反應(yīng)2018年10月12日《振動力學(xué)》系統(tǒng)質(zhì)量矩陣的第一列34只考慮動態(tài)令

X

1

0

0

Tm1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零所需施加的力：F1

m1a1

m1

1

m1

m11所需施加的力：F2

m2a2

0

m21F3

m3a3

0

m31m1產(chǎn)生單位加速度的瞬時，m2

和

m3

尚沒有反應(yīng)質(zhì)量矩陣：

?

0?

m1 ? ?

M

0 ??2018年10月12日《振動力學(xué)》35m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k

?

0

0?

0 ?

21

mM

0 m多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程同理令

X

0

1

0

T2018年10月12日《振動力學(xué)》36同理m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k

3

210

00

m

m 0 0

M

0 m多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程令

X

0

1

0

T2018年10月12日《振動力學(xué)》37令

X

0

0

1

T0 0

T令X

11

m21m

031m

0有：

m111222213233m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

k20

00

m3

m1 0 0

質(zhì)量矩陣：

M

0 m多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程令X

010

T有：m

0m

mm32

0令X

001

T有：m

0m

0m33

m2018年10月12日《振動力學(xué)》382018年10月12日《振動力學(xué)》

36532200k3

k4

k3k2

k1

k2K

k k

k

k

k

k20

00

m3

m1 0 0

M

0 m

000

0

022

3653222

2

P3

(t)

P1(t)

x1

k3

k4

x3

k3k

k

k

k

k

x

P

(t)

k2

k1

k2

m1 0m3

x

3

m 0

x

k0

x

1

運動微分方程：m1m2k3k12P1(t)

kP2(t)m34k5k6P3(t)

kMX

KX

P(t)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程外力38列陣矩陣形式：21m,

mc1,

c21 2I ,

I例：雙混合擺質(zhì)心繞通過自身質(zhì)心的z

軸的轉(zhuǎn)動慣量兩剛體質(zhì)量h1I1

C1C2lxy求：以微小轉(zhuǎn)角

1、

2

為坐標(biāo)，寫出在x-y平面內(nèi)擺動的作用力方程I2

1

2 h2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》40受力分析Ih11

C1C2lxyI21

2 h2m1h1

1m

g1m

g2I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2xy多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》412018年10月12日令

1

1，

2

0y解：先求質(zhì)量影響系數(shù)I1h1C1C2lxI2

1

2 h2m

g1m

g2m1h1

1I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程整體對B取矩：《振動力學(xué)》m11m21m1h1Im2l

1

1

2

01AB則需要在兩桿上施加力矩m11 m211

1 2 2 21111m

I下擺對A取矩：

m21

m2lh2問：為什么不考慮重力？示意圖，實際鉛垂21

11

ml42

1

mh

2

m

h

2

ml(l

h)

m

I42解：令

1

0，

2

1多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2Im2

h2

1

0

2

1AByI1h1C1C2lx2I

1

2 h2m

g1m

g2m1h1

1I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2

m2h2(l

h2)

m22

I22 2222mh

2

I下擺對A取矩：

m20整18年體10對月1B2日取矩：

m12則需要在兩桿上施加力矩

m12m22

m2

lh2m12《振動力學(xué)》m222018年10月12日43令

1

1，

2

0221ml

2

I

mh21 1

1m

I

mh2

ml(l

h)

m11 1 1

1 2 2m21

m2

lh2令

1

0，

2

1m22m122

I2

m2h2

I

2

m2

h2(l

h2

)

m22

m2

lh2

2 2

22 22 21I

mh

2m

lhm

lhmh2

ml

21

1 2

IM

質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程《振動力學(xué)》求剛度影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實際上是求重力影響系數(shù)令

1

1，

2

0yI1h1C1C2lxI2

1

2 h2m1h1

1m1

gm2

g1

I1

2 2I

m2(l

1

h2

2

)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程mg1m2

g

1

1

2

0B則需要在兩桿上施加力矩k11 k2111

m1gh1

m2

gl

0201下8年擺10月對12日A取矩：《振動力學(xué)》整體對B取矩：k11k2145kAk21令

1

0，

2

1

m2

gh2

m2gh2

k22

0多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程m2

g

1

0

2

1m1

gAByI1h1C1C22lxI2

12

hm

g1m

g2m1h1

1I1

1m2(l

1

h2

2

)I2

2則需要在兩桿上施加力矩k12 k22下擺對A取矩：k22整體對B取矩：k12k122018年10月12日《振動力學(xué)》4622k令

1

1，

2

0k21

0k11

m1gh1

m2

gl令

1

0，

2

1k22

m2

gh2

m2gh2

k22

0k12

2 2

0mgh

(m1h1

m2l)g 0剛度矩陣：

K多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》47

2 2

21

10mgh

(m

h

m

l)g 0K

2 2

22 22 21I

mh

2m

lhm

lhmh2

ml

21

1 2

IM

01

2 2 2

0

1

1

22

1

2 2

22 22 21

0

m

gh

I

mh

2m

lhm

lhmh2

ml

21

1 2

I

(mh

m

l)g 0運動微分方程：yIh11

C1C

2lxI21

2

h2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》48例：每桿質(zhì)量

m桿長度

l水平彈簧剛度

k彈簧距離固定端

a求：以微小轉(zhuǎn)角

1、

2

為坐標(biāo)，寫出微擺動的運動學(xué)方程1

2

kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》49雙剛體桿則需要在兩桿上施加力矩解：令：

1

1

2

0k11 k21分別對兩桿

O1、O2

求矩：211 21k

1mgl

ka2 k

ka2則需要在兩桿上施加力矩令：

1

0

2

11222k k分別對兩桿

O1、O2

求矩：222k

1mgl

ka22k12

ka1

02

1aOOmgmg

1

1

2

0aO1mgmgka

1多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程11kO2

k211

k12ka

12k222018年10月12日《振動力學(xué)》50112k

1mgl

ka221k

ka2剛度矩陣：22k

1mgl

ka2212k

ka2

2212mgl

ka

kaka2

1

mgl

ka2K

2

1

1

2

0aO1Omgmgk11ka

1212k

1

0

2

1aO1mgmgk21ka

122O2k多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》51令：則需要在兩桿上施加力矩

1

1

2

011211 1

131m

I

ml

m21

0令：m2222 2223則需要在兩桿上施加力矩

m121

mlm

I

12m

0

1

0

2

1

2100ml

質(zhì)量矩陣：

1

ml2M

321m m1

12

0aO1O2mgmg

1

0

2

1aOOmgmg多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程11kmm2112k1

m22

32018年10月12日《振動力學(xué)》522

m

2212mgl

ka

ka

1mgl

ka2

ka2K

2運動學(xué)方程：

13

0ml2

1

ml2 0M

3

0

0121

0

32

122

122

mgl

ka

kaka2

1

mgl

ka2ml

1

ml2 0

1

2

kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2

018年10月12日3《振動力學(xué)》

253例：兩自由度系統(tǒng)擺長

l，無質(zhì)量，微擺動求：運動微分方程xm1k1

m2k2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》54解：

剛度矩陣

0令：

x

1k11

(k1

k2

)

1

k1

k2k21

0多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程x方向力平衡A點力矩平衡x

1m1k1m2

gk2

剛度矩陣第一列：

0

k1

k2

需要施加的力和矩11kk21

0Ax靜態(tài)平衡k11 k21受力：

彈性力

重力2018年10月12日《振動力學(xué)》55

1令：

x

0k22

m2

g

l

sin

m2

gl多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程x方向力平衡k12

(k1

k2

)

0

0A點力矩平衡剛度矩陣第二列：需要施加的力和矩k12 k22m1k1

1m2

gk2x

0Ak1222k

m

gl

2

0x2018年10月12日《振動力學(xué)》56多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程xm1k1

m2k2

2018年10月12日《振動力學(xué)》57

剛度矩陣第一列：

0

k1

k2

剛度矩陣第二列：

m

gl

2

0系統(tǒng)剛度矩陣：

2

21k

k 00 m

gl

K

多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程m11慣性力m2

x

m1k1

0m2

gk2

x

1m1

x

慣性力質(zhì)量矩陣令：

x

1

0需要施加的力和矩m21瞬時動態(tài)m11 m21達朗貝爾慣性力A質(zhì)量塊加速度

x

桿加速度分析A點加速度

x

x

B為桿上定點2

l

l

x

x

B AB

x

加速度2018年10月12日《振動力學(xué)》58達朗貝爾慣性力m21

(m2

x

)

l

m2l多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程m11慣性力m2

x

m1k1m2

gk2

x

1m1

x

m21

0慣性力A求解質(zhì)量矩陣

x

1

0系統(tǒng)水平方向力平衡m11

(m1

m2

)

x

m1

m2桿對A點力矩平衡2018年10月12日《振動力學(xué)》592018年10月12日59

x

1

0m11

(m1

m2

)

x

m1

m2m21

(m2

x

)

l

m2l

1令：

x

0m1k1m2

gk2

x

0m12m22

1多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程m1k1m2

gk2

x

1m11m21

0m2

x

慣性力m

x

1慣性力BA

x

0

x

B

1

lB A

2

lx

x

l達朗貝爾慣性力m2

x

B

m2l《振動力學(xué)》2018年10月12日60

x

1

0m11

(m1

m2

)

x

m1

m2m21

(m2

x

)

l

m2l多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程m1k1m2

gk2

x

1m11m21

0慣性力m2

x

m

x

1慣性力m1k1m2

gk2

x

0m12m22

1《達振朗動力貝學(xué)爾》慣性力m2

x

B

m2l水平方向力平衡：

m12

m2l桿A點力矩平衡：

m

ml

222 22018年10月12日61m21

m2lm11

m1

m2 m12

m2lm

ml

222 2

2

2

21 2m

l m

lm

m m2l

質(zhì)量矩陣：

M

xm1k1

m2k2剛度矩陣：

2

0 m

gl

k1

k2 0K

運動微分方程：

0

02

212

2

x

0

mgl

k

k

0xm2l m2l

m1

m2 m

l

多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程《振動力學(xué)》2018年10月12日62建立動力學(xué)方程的影響系數(shù)法《振動力學(xué)》剛度矩陣：

靜態(tài)剛度矩陣

K

中的元素

kij是使系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上所需施加的力質(zhì)量矩陣：

動態(tài)質(zhì)量矩陣

M

中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程小結(jié)：多自由度系統(tǒng)作用力方程：

MX

KX

P(t)力的量綱63以一個例子說明位移方程的建立m1 m2P1 P2無質(zhì)量彈性梁上有若干集中質(zhì)量（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化）假設(shè)

P1、P2是常力 以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度2018年10月12日m1、m2《取振動質(zhì)力學(xué)量》的靜平衡位置為坐標(biāo)

x1、x2

的原點多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程位移方程和柔度矩陣對于靜定結(jié)構(gòu)，有時通過柔度矩陣建立位移方程比通過剛度矩陣建立作用力方程來得更方便些柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反x1x264（1）P1

1、P2

0 時m1位移：x1

f11m2位移：

x2

f21（3）P1、P2

同時作用m1位移：

x1

f11P1

f12

P2m2位移：x2

f21P1

f22

P22018年10月12日f11f21P1=1f12 f22（2）P1

0、P2

1

時m1位移：x1

f12m2位移：

x2

f22P2=1x1m1x2m2P1 P2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程《振動力學(xué)》1P、P

同時作用時：2x1

f11P1

f12P2x2

f21P1

f22

P2矩陣形式：

X

FP

2

xX

x1

21 22

f

fF

f11 f12

2

2018年1P0月12日

P1

P

柔度矩陣物理意義：系統(tǒng)僅在第

j 個坐標(biāo)受到單位力作用時相應(yīng)于第

i個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移65fijf11f21P1=1f12f22P2=1m1

x1 x2柔度影響系數(shù)m2P1 P2多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程《振動力學(xué)》X

FP當(dāng)

P1、P2

是動載荷時集中質(zhì)量上有慣性力存在

2 2

22221

2

P(t)

m

xf ff12

x

x1

f11

P1(t)

m1

x

1

2

2

x

2

21 f

22

P2

(t)

0 m

f12

P1

(t)

m1

f11

x

f

x1

0

x

1

x1x2m1

x

1m2

x

2m1 m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程P1 P2m1 m2X

F(P

MX

)2018年10月12日《振動力學(xué)》位移方程67

2

2221

2

P

P1

fff12

x

x1

f11m2

x

2

m1 m2

多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程P1(t) P2(t)也可按作用力方程建立方程：MX

KX

PKX

P

MX

若K非奇異m1

x

1位移方程：X

F(P

MX

)FMX

X

FP柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：X

K

1

(P

MX

)F

K

1FK

I

2

2018年10月12日《振動力學(xué)》68

x

X

x1

P

(t)

2

P

P1(t)

剛度矩陣對于允許剛體運動產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在應(yīng)當(dāng)注意：I

1I

2k

m1m2k1 k2m3原因：在任意一個坐標(biāo)上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運動而無法計算各個坐標(biāo)上的位移剛度矩陣

K

奇異位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)2018年10月12日《振動力學(xué)》69多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程例：

求圖示兩自由度簡支梁橫向振動的位移方程梁不計質(zhì)量，抗彎剛度EJx1x2l/3l/3l/3m1 m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》702018年10月12日《振動力學(xué)》706EJlABf

ab (l2

a2

b2

)柔度影響系數(shù)：

f11

f

22

8

f

7

ff

21

f12l

3f

486EJ

7

f 8f

7f

2

2

2

2

x7

f 8f

P

0 m

8

f 7

f

P1

m1x

x1

0

x

1

柔度矩陣：

F

8

f位移方程：x1x2P=1labAB多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程P1(t) P2(t)m1 m2l/3 l/3 l/3X

F(P

MX

)由材料力學(xué)知，當(dāng)B點作用有單位力時，A點的撓度為：2018年10月12日《振動力學(xué)》71例：

求柔度陣

0k3

k3

k1

k2

k2 0

k

k

2 3k3K

k2131k

1f11

f21

fm1m2k1k2m3k3x1x2x3解：（1）在坐標(biāo)

x1

上對質(zhì)量

m1

作用單位力系統(tǒng)在坐標(biāo)

x1、x2、x3

上產(chǎn)生位移:（2）在坐標(biāo)

x2

上對質(zhì)量

m2

作用單位力22k1 k2f

1

1112kf

11 232k kf

1

1（3）在坐標(biāo)

x3

上對質(zhì)量

m3

作用單位力13f1 1 223k k kf

1

1

1333k1 k2 kf

1

1

1多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程2018年10月12日《振動力學(xué)》72111kf

1121kf

1131kf

122f

1

1112kf

132f

1

1113kf

11 223k kfk1 k2

1

131 233k k kfk1 k2

1

1

1

111

1

1

1

1

1

1

1

1

1

k3

k1 k2 k1 k2

k1k1 k21

1k1 k2

k11k1k

k柔度矩陣：

F

1可以驗證，有：FK

Im1m2k1k2m3k3x1x2x3

21 200

k3

k

k

kK

k k

k

k

2 2 3 3k3多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程小結(jié)：2018年10月12日《振動力學(xué)》74多自由度系統(tǒng)的位移方程：FMX

X

FP位移的量綱柔度矩陣：柔度矩陣fij的含義為系統(tǒng)僅在第

j

個坐標(biāo)受到單位力作用時相應(yīng)于第

i

個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移柔度矩陣和剛度矩陣互為逆陣位移方程不適用于建立存在剛體自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程n

階方陣

A

正定y

0并且等號僅在 時才成立yTAy

0是指對于任意的

n

維列向量

y，總有成立如果y

0

時，等號也成立，那么稱矩陣

A

是半正定的根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對于定常約束系統(tǒng)：2動能：T

1

X

T

MX

2勢能：V

1

X

T

KX多自由度系統(tǒng)振動/

多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)標(biāo)量2018年10月12日《振動力學(xué)》75A

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