地圖學課件-第二編-地圖投影

地圖學課件-第二編-地圖投影第一頁，共51頁。一、地球的形狀和大小地球的形狀近似于一個球體，但并不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近似于梨形的橢球體。這個不規(guī)則的地球體滿足不了測繪工作的需要，于是人們選擇了一個最接近地球形狀的旋轉橢圓體表示地球，稱為地球橢球體。我國1953年以前采用海福特橢球體，從1953年起采用克拉索夫斯基橢球體，它的長半徑a=6378245m，短半徑b=6356863m，偏率d=a-b/a=1：298.3由于地球橢球體長短半徑差值很小，約21km，在制作小比例尺地圖時，因為縮小的程度很大，如制作1：1000萬地圖，地球橢球體縮小1000萬倍，這時長短半徑之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地圖時，可忽略地球扁率，將地球視為圓球體，地球半徑為6371km。制作大比例尺地圖時必須將地球視為橢球體。

第一頁第二頁，共51頁。二、地圖表面和地球球面的矛盾

地圖通常是繪在平面介質上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發(fā)生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經線切開，或是沿緯線切開，或是在極點結合，或是在赤道結合，他們都是有裂隙的。第二頁第三頁，共51頁。三、地圖投影的概念球面上任一點的位置是用地理坐標（φ、λ）表示的，而平面上點的位置是用直角坐標（縱坐標是x,橫坐標是y）表示的，所以要將地球球面上的點轉移到平面上，必須采用一定的數(shù)學方法來確定地理坐標與平面坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關系的數(shù)學方法，稱為地圖投影。X=f1(φ、λ)Y=f2(φ、λ)第三頁第四頁，共51頁。球面上任意一點的位置決定于它的經緯度，所以實際投影時是先將一些經緯線的交點展繪在平面上，再將相同經度的點連成經線，相同緯度的點連成緯線，構成經緯線網。有了經緯線網后，就可以將球面上的地理事物，按照其所在的經緯度，用一定的符號畫在平面上相應位置處。由此看來，地圖投影的實質是將地球橢球面上的經緯網按一定的數(shù)學法則轉移到平面上。經緯線網是繪制地圖的“基礎”，是地圖的主要數(shù)學要素。第四頁第五頁，共51頁。四、地圖投影的方法1.幾何投影（透視投影）假想地球是一個透明體，光源位于球心，然后把球面上的經緯網投影到平面上，就得到一張球面經緯網投影。所不同的是，地圖投影面除了平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除了位于球心之外，還可以在球面、球外，或無窮遠處等。象這樣利用光源把地球面上的經緯網投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面這一對矛盾的一種方法。第五頁第六頁，共51頁。2.解析法所謂解析法就是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學分析法確定球面與平面之間點與點之間一一對應的函數(shù)關系。X=f1(φ、λ)Y=f2(φ、λ)函數(shù)的f1f2具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對應關系式，就可把球面上的經緯網交點表示到平面上了。第六頁第七頁，共51頁。五地圖投影的變形1變形的概念由于球面是一個不可直接展成平面的曲面，因此無論采用什么投影方法，投影后經緯網的形狀與球面上的經緯網形狀不完全相似。這表明地圖上的經緯網發(fā)生了變形。因而根據(jù)地理坐標展繪在地圖上的各種地面事物也必然發(fā)生了變形。為了正確使用地圖，必須了解投影后產生得變形，所以投影變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實際應用價值。第七頁第八頁，共51頁。2研究變形的方法

研究各種投影的變形規(guī)律是通過把投影后的經緯線網與地球儀上經緯線網格比較而實現(xiàn)的。為了研究變形，首先讓我們分析一下地球儀上經緯網的特點：

1.地球儀上所有經線圈都是通過兩極的大圓；長度相等；所有緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓，并且從赤道向兩極越來越小，極地成為一點。2.經線表示南北方向；緯線表示東西方向。3.經線和緯線是相互垂直的。4.緯差相等的經線弧長相等；同一條緯線上經差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經差相等的緯線弧長不等，而是從赤道向兩極逐漸縮小的。5.同一緯度帶內，經差相同的經緯線網格面積相等，不同緯度帶內，網格面積不等，同一經度帶內，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。第八頁第九頁，共51頁。比較第九頁第十頁，共51頁。3投影變形的相關概念

a.長度比和長度變形設地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds’,如圖所示。

dsds’

平面上微小線段與球面上相應微小線段之比，叫做長度比。用公式表示為：μ=ds’/ds長度比是一個變量，它不僅隨著點的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。第十頁第十一頁，共51頁。通常研究長度比時，不一一研究各個方向的長度比，而只研究一些特定方向的長度比，即研究最大長度比（a）和最小長度比（b）,經線長度比（m）和緯線長度比（n）。投影后經緯線成直交者，經緯線長度比就是最大和最小長度比。用長度比可以說明長度變形。所謂長度變形就是長度比（μ）與1之差，用v表示長度變形則：v=μ-1由此可知，長度變形有正負之分，長度變形為正，表示投影后長度增加；長度變形為負表示投影后長度縮短；長度變形為零，則長度無變形。第十一頁第十二頁，共51頁。b.面積比與面積變形

投影平面上的微小面積與球面上相應微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF’=abπ,相應球面上微小圓的面積dF=π12為例，以P表示面積比，則:P=dF’/dF=abπ/π12=ab上式說明面積比等于主方向長度比的乘積。若經緯線方向就是主方向時：P=mn若經緯線方向不是主方向時，則面積比:P=mnsinθ(θ為投影后經緯線夾角)面積比是個變量，它隨點位置不同而變化。面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。Vp=p-1面積變形有正有負，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負，表示投影后面積縮小。第十二頁第十三頁，共51頁。c.角度變形

投影面上任意兩方向線所夾角與球面上相應兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過一點可以做許多方向線，每兩條方向線均可以組成一個角度，這些角度投影到平面上之后，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線組成的角度產生的變形一般也不一樣。

第十三頁第十四頁，共51頁。d.主比例尺和局部比例尺主比例尺,運用地圖投影方法繪制經緯線網時，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區(qū)別。第十四頁第十五頁，共51頁。e.主方向

由于投影要產生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線段投影后一般不一定正交，例如設o是球面上一點，過o作兩條垂線ac和bd，投影后為a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc為直角，投影后分別為銳角a’o’b’和鈍角b’o’c’。abcda’oo’b’c’d’第十五頁第十六頁，共51頁。設想ac、bd二垂線相對位置保持不便，并繞o點順時針旋轉，當旋轉90度時，直角aob轉到原來boc的位置，這時投影由原來的銳角轉變成鈍角；同樣的，直角boc轉到了cob的位置，它的投影由原來的鈍角變?yōu)殇J角。由此可見，一個直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，可以由銳角變?yōu)殁g角，或者相反。那么在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。abcda’oo’b’c’d’第十六頁第十七頁，共51頁。第二節(jié)變形橢圓在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點位置外，一般情況下為橢圓，下面我們用數(shù)學方法驗證一下。

MM第十七頁第十八頁，共51頁。

設o為球面上一點，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長度（為1），M(x,y)是微小圓周上一點，圓心曲線方程為x2+y2=1

o’為o的投影，以主方向作為坐標軸，M‘（x’,y’）是M（x,y）的投影，令主方向長度比為a和b，則:x’/x=a,y’/y=b則:x=x’/a,y=y’/b(x,y)為圓上一點，將其代如圓的方程，得x2/a2+y2/b2=1

這是一個橢圓方程，這表明該微小圓投影后為長半徑為a短半徑為b的橢圓，這種橢圓可以用來表示投影后的變形，故叫做變形橢圓。第十八頁第十九頁，共51頁。在研究投影時，可借助變形橢圓與微小圓比較，來說明變形的性質和數(shù)量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比μ，為b<μ<a;橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形;橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。

第十九頁第二十頁，共51頁。第四節(jié)地圖投影的分類地圖投影的種類很多，由于分類的標志不同，分類的方法也不同。

一、按變形性質分類地球球面投影到平面時，產生的變形有長度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。第二十頁第二十一頁，共51頁。1.等角投影（正形投影）角度變形為0，地球面上的微小圓經過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長度和面積變形。等角投影的條件是：w=0a=b，m=n等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。多用于編制航海圖、洋流圖、風向圖等地形圖。第二十一頁第二十二頁，共51頁。等積投影的條件是：Vp=p―１＝０p=1因為p=ab所以a=1/b或b=1/a由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經濟地圖。2.等積投影

投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點微小圓投影后為面積相等的各個橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長度變形。第二十二頁第二十三頁，共51頁。3.任意投影任意投影是既不等角也不等積的投影。這種投影的特點是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，其條件是，m=1。即誤差橢圓上的一個半徑和球面上相應微小圓半徑相等。第二十三頁第二十四頁，共51頁。等角投影等積投影等距投影任意投影如圖表示各種變形性質不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出：①等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。②任意投影不能保持等積、等角特性。③等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。第二十四頁第二十五頁，共51頁。二、按投影方法分類1.幾何投影幾何投影是把地球球面上的經緯線網投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進一步分為如下幾類：

⑴方位投影以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到平面上而成。第二十五頁第二十六頁，共51頁。⑵圓住投影以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。第二十六頁第二十七頁，共51頁。⑶圓錐投影以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。第二十七頁第二十八頁，共51頁。2.非幾何投影不借助于任何幾何面，根據(jù)一定的條件用數(shù)學解析法確定球面與平面之間點與點的函數(shù)關系。在這類投影中，一般按經緯網形狀又可分為偽方位投影、偽圓住投影、偽圓錐投影和多圓錐投影等。第二十八頁第二十九頁，共51頁。第四章幾種常見的地圖投影第一節(jié)方位投影一、方位投影的概念和種類方位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經緯線投影到平面上所得到的圖形。本節(jié)只介紹常用的切方位投影，將地球半徑視為R的球體。

方位投影可分為透視方位投影和非透視方位投影兩類。1.透視方位投影利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。透視方位投影的點光源或視點位于垂直于投影面的地球直徑及其延長線上，由于視點位置不同，因而有不同的透視方位投影。第二十九頁第三十頁，共51頁。①當視點（光源）位于地球球心時，即視點距投影面距離為R時，稱為中心射方位投影或球心投影。②當視點或光源位于地球表面時，即視點到投影面距離為2R時，稱為平射方位投影或球面投影。③當視點或光源位于無限遠時，投影線（光線）成為平行線，稱為正射投影。。第三十頁第三十一頁，共51頁。根據(jù)投影面和地球球面相切位置的不同，透視投影可分為三類：①當投影面切于地球極點時，稱為正軸方位投影。②當投影面切于赤道時，稱為橫軸方位投影。③當投影面切于既不在極點也不在赤道時，稱為斜軸方位投影。第三十一頁第三十二頁，共51頁。2.非透視方位投影

非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構成的投影。在這類投影中有等距方位投影和等積方位投影。二、正軸方位投影投影中心為極點，緯線為同心圓，經線為同心圓的半徑，兩條經線間的夾角與實地相等。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。包括等角、等積、等距三種變形性質，主要用于制作兩極地區(qū)圖。第三十二頁第三十三頁，共51頁。方位投影的特點是：在投影平面上，由投影中心（平面與球面的切點）向各方向的方位角與實地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。繪制地圖時，總是希望地圖上的變形盡可能小，而且分布比較均勻。一般要求等變形線最好與制圖區(qū)域輪廓一致。因此，方位投影適合繪制區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。從區(qū)域所在的地理位置來說，兩極地區(qū)和南、北半球圖采用正軸方位投影；赤道附近地區(qū)和東、西半球圖采用橫軸方位投影；其他地區(qū)和水、陸半球圖采用斜軸方位投影。第三十三頁第三十四頁，共51頁。第二節(jié)圓柱投影一、圓柱投影的概念和種類假定以圓柱面作為投影面，把地球面上的經緯線網投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投影。當圓柱面和地球體相切時，稱為切圓柱投影，和地球體相割時稱為割圓柱投影。由于圓柱和地球體相切相割的位置不同，圓柱投影又分為正軸、橫軸和斜軸圓柱投影三種。第三十四頁第三十五頁，共51頁。正軸圓柱投影——圓柱的軸和地球的地軸一致；橫軸圓柱投影——圓柱的軸和地軸垂直并通過地心；斜軸圓柱投影——圓柱的軸通過地心，和地軸不垂直不重合。第三十五頁第三十六頁，共51頁。

在上述三種投影方式中，最常用的是正軸圓柱投影，假定視點在球心，正軸圓柱投影中，經緯線網的特點是：1、經線投影為平行直線，平行線間的距離和經差成正比。2、緯線投影成為一組與經線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。3、和圓柱面相切的赤道弧長無變形。圓柱投影按變形性質可分為等角圓柱投影、等積圓柱投影和任意圓柱投影。

第三十六頁第三十七頁，共51頁。正軸圓柱投影特點：經緯線是互相垂直的直線，經緯線方向是主方向。切圓柱投影，赤道是一條沒有變形的線，離開赤道越遠緯線變形越大，等變形線與緯線平行，稱平行線狀分布。根據(jù)圓柱投影變形分布規(guī)律，這種投影適合繪制赤道附近和沿赤道兩側呈東西方向延伸地區(qū)的地圖。第三十七頁第三十八頁，共51頁。第三節(jié)圓錐投影一、圓錐投影的概念和種類圓錐投影是假定以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成，當圓錐面與地球相切時，稱為切圓錐投影，當圓錐面與地球相割時，稱為割圓錐投影。按圓錐面與地球相對位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影，但橫軸、斜軸圓錐投影實際上很少應用。第三十八頁第三十九頁，共51頁。切圓錐投影，視點在球心，緯線投影到圓錐面上仍是圓，不同的緯線投影為不同的圓，這些圓是互相平行的，經線投影為相交于圓錐頂點的一束直線，如果將圓錐沿一條母線剪開展為平面，則呈扇形，其頂角小于360度。在平面上緯線不再是圓，而是以圓錐頂點為圓心的同心圓弧，經線成為由圓錐頂點向外放射的直線束，經線間的夾角與相應的經差成正比，但比經差小。在切圓錐投影上，圓錐面與球面相切的一條緯線投影后是不變形的線。叫做標準緯線。它符合主比例尺，這條緯線通常位于制圖區(qū)域的中間部位。從切線向南向北，變形逐漸增大。第三十九頁第四十頁，共51頁。在割圓錐投影上，兩條緯線投影后沒有變形，是雙標準緯線，兩條割線符合主比例尺，離開這兩條標準緯線向外投影變形逐漸增大，離開這兩條標準緯線向里投影變形逐漸減小，凡是距標準緯線相等距離的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。

圓錐投影的特點：緯線是同心圓弧，經線是放射狀直線束，經緯線互相垂直，經緯線方向是主方向。等變形線是平行與緯線的同心圓弧，離開標準緯線越遠變形越大。該投影適合繪制中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖。第四十頁第四十一頁，共51頁。第五章地圖投影的應用和變換

第一節(jié)地圖投影的選擇無論是編繪地圖還是使用地圖，對地圖投影的選擇是非常重要的。這里所講的地圖投影選擇，主要是指中小比例尺地圖，不包括國家基本比例尺地圖。在選擇地圖投影時，受到許多地圖因素的影響，這就需要正確處理好主要矛盾和次要矛盾的關系，在選擇投影時，需要考慮如下幾個條件：1.制圖區(qū)域的地理位置、形狀和范圍

制圖區(qū)域的位置、形狀、大小都直接影響地圖投影的選擇，任何一幅地圖都希望變形減小到最小程度，這就要求投影的等變形線基本符合制圖區(qū)域的輪廓，以保證制圖中心地區(qū)和靠近中心的地區(qū)變形較小。例如制圖區(qū)域是圓形或兩極地區(qū)和東、西半球圖多采用方位投影；東西延伸且位于中緯度地區(qū)的國家，如中國，采用正軸圓錐投影。第四十一頁第四十二頁，共51頁。2.制圖比例尺不同比例尺地圖對精度的要求不同，導致投影選擇也不相同。3.地圖內容地圖內容不同對地圖投影要求也不一樣。例如經濟圖一般多采用等積投影，因為等積投影能進行地面要素面積的正確對比，從而有利于掌握經濟要素的分布情況。如分布圖、人口圖、地質圖、土壤圖等多采用等積投影。航海圖、航空圖、軍用圖、氣象圖等多采用等角投影。因為等角投影能正確的表示方向，如風、洋流等，并且在小范圍內保持圖形和實地相似。

第四十二頁第四十三頁，共51頁。4.地圖的出版方式

對于單幅地圖來說，選擇投影就比較簡單，但如果它是地圖集中或一組圖中的一幅，就需要考慮它和其余地圖的相互關系，使他們比較協(xié)調一致。例如同一地區(qū)的一組自然地圖可用同一投影。5.地圖的用途

地圖的用途不一樣對投影的要求也不同。如航海圖，航空圖要求方向正確，多采用等角投影。如航海圖多采用墨卡托投影。教學掛圖常要求圖上各種變形都不太大，