第2章 2-4 典型環(huán)節(jié)分析

2.4、典型環(huán)節(jié)的分析1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，K為放大系數(shù)（或增益）。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：其數(shù)學(xué)方程為：

一個(gè)物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的，雖然元件的結(jié)構(gòu)和作用原理多種多樣，但若考察其數(shù)學(xué)模型，卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種基本類型，稱之為典型環(huán)節(jié)。

這些環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和滯后環(huán)節(jié)1第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析

比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化，下圖給出比例環(huán)節(jié)的實(shí)例。在上圖中，運(yùn)算放大器具有很大的開環(huán)放大系數(shù)，且其輸入電流很小，可以忽略，因此A點(diǎn)對(duì)地電位近似為零，于是有：而電壓uc又近似等于R1兩端電壓，故有：或式中：uc為輸出電壓，ur為輸入電壓，K=R１

/R０為比例系數(shù)。2第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析u=Kn

下圖為一測(cè)速發(fā)電機(jī)，在不計(jì)所接負(fù)載的影響時(shí)，其輸出端電壓ur

與輸入轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為：式中為測(cè)速發(fā)電機(jī)的比例系數(shù)K3第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析傳遞函數(shù)為：2.慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸入、輸出間的微分方程為：式中T為時(shí)間常數(shù)，K為比例系數(shù)。

慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上延遲，時(shí)間常數(shù)愈大慣性愈大，延遲時(shí)間也愈長，時(shí)間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。4第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析若在零初始條件下對(duì)慣性環(huán)節(jié)輸入單位階躍信號(hào)，則有：由拉氏變換得：可見，在單位階躍輸入時(shí)慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當(dāng)t=3T~4T時(shí)，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。如下圖所示5第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析慣性環(huán)節(jié)的實(shí)例如下圖所示。

在圖(a)所示的電路中，輸出電壓uc與輸入電壓ur間的微分方程為：式中T=RC為電路的時(shí)間常數(shù)。6第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析在圖(b)所示的直流電機(jī)的激磁電路中，當(dāng)以激磁電壓uf為輸入量、以激磁電流if為輸出量時(shí)，其電路方程為：或?yàn)榧ご爬@組的電磁時(shí)間常數(shù)。式中7第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析

3.3.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的微分方程是：或傳遞函數(shù)為：式中K=1/T，稱為積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，而T稱為積分時(shí)間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由式（2-58）求得積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為：c(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為K，如右圖所示。8第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析下圖給出了積分環(huán)節(jié)的實(shí)例。在圖(a)中，因?yàn)槎敵鲭妷簎c近似等于電容兩端電壓，所以有在圖(b)中，以電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速n(轉(zhuǎn)/分))為輸入量，以減速齒輪帶動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)的軸的角位移θ為輸出量，可得微分方程式中T為計(jì)及轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)角單位關(guān)系的常數(shù)。9第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析4.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是：傳遞函數(shù)為：式中T為時(shí)間常數(shù)，ζ為阻尼比，對(duì)振蕩環(huán)節(jié)有：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，可用拉氏變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示10第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析下圖給出了振蕩環(huán)節(jié)的實(shí)例。圖(a)中，輸出電壓uc和輸入電壓ur之間的微分方程為：圖(b)中，輸出位移y(t)與輸入作用力F(t)之間的微分方程為：可見它們都是典型的振蕩環(huán)節(jié)。11第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析5.微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為：傳遞函數(shù)為：式中τ為微分時(shí)間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)在瞬態(tài)過程中其輸出量是輸入量的微商，該環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)運(yùn)算是微分運(yùn)算。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為：這是一個(gè)強(qiáng)度為τ的理想脈沖。在實(shí)際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。12第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析下圖給出了微分環(huán)節(jié)的實(shí)例。在圖(a)的電路中，輸出電壓uc與輸入電壓ur間的微分方程為：傳遞函數(shù)為：式中：13第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析在圖(b)中，輸出電流i(t)與輸入電壓ur(t)間的微分方程為：式中其傳遞函數(shù)為：14第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析

在圖(c)中，選取直流測(cè)速發(fā)電機(jī)的輸入量為轉(zhuǎn)角θ，輸出量為電樞電壓u(t)則其輸入、輸出間的微分方程為顯然其特性相當(dāng)于一個(gè)微分環(huán)節(jié)。15第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析6.純滯后環(huán)節(jié)

當(dāng)輸入作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時(shí)間τ后，才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，在時(shí)間0到τ的時(shí)間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時(shí)效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為：式中τ為純滯后時(shí)間。當(dāng)輸入信號(hào)為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)曲線如下圖(b)所示。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：16第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析

上述各典型環(huán)節(jié)，是從數(shù)學(xué)模型的角度來劃分的。它們是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的最基本的構(gòu)成因子。在和實(shí)際元件相聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

⑴系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性來劃分的，他與系統(tǒng)中使用的元件并非都是一一對(duì)應(yīng)的，一個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型可能是若干個(gè)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型的組合。而若干個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型的組合也可能就是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型。⑵同一裝置（元件），如果選取的輸入、輸出量不同，它可以成為不同的典型環(huán)節(jié)。如直流電動(dòng)機(jī)以電樞電壓為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時(shí)，它是一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)。但若以電樞電流為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時(shí)，它卻是一個(gè)積分環(huán)節(jié)。17第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析⑶在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將被控對(duì)象（或系統(tǒng)）的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分解，就可以了解它是由哪些典型環(huán)節(jié)所組成的。因而，掌握典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性將有助于對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的分析研究。⑷典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)。

既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為若干典型環(huán)節(jié)，那么控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也可以寫成如下一般形式：

18第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析式中

都是微分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)的組合，稱為一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。由于它們?cè)诳刂葡到y(tǒng)中較常用，所以也可以把他們當(dāng)作典型環(huán)節(jié)對(duì)待。既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為若干典型環(huán)節(jié)，那么控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也可以寫成如下一般形式：19第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析四、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對(duì)于簡單的控制系統(tǒng)，在求取它的傳遞函數(shù)時(shí)，可以采用直接計(jì)算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程，再經(jīng)過拉氏變換來求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2-9設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為u0，試寫出其傳遞函數(shù)。解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式：20第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式：在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得：由此得出該電路的傳遞函數(shù)為：21第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析

在上述計(jì)算過程中，如果先對(duì)所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計(jì)算。在零初始條件下，對(duì)方程組取拉氏變換，得到：消去中間變量可得：傳遞函數(shù)為：22第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析例2-10設(shè)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如下圖所示，試寫出以給定電壓ur為輸入，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ω為輸出的傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)工作時(shí)，測(cè)速機(jī)將電動(dòng)機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速ω測(cè)量出來，并轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的電壓uCF，然后與給定電壓ur相比較，得到誤差信號(hào)e，e經(jīng)放大裝置再控制電動(dòng)機(jī)。23第2章2-4典型環(huán)節(jié)分析按照信號(hào)傳遞順序，可得到微分方程組：電動(dòng)機(jī)的微分方程直接應(yīng)用例2-3的結(jié)果，即式而測(cè)速機(jī)的輸出電壓正比于轉(zhuǎn)子的角速度。K為測(cè)速機(jī)輸出電壓的斜率。在零初始條件下對(duì)上述方程進(jìn)行拉氏變換，得：24第2