第8章 組合變形

8組合變形及連接部分的計(jì)算

8.1組合變形的概念及工程實(shí)例8.2兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲8.3拉伸（壓縮）與彎曲8.4扭轉(zhuǎn)與彎曲8.5連接件的實(shí)用計(jì)算法8.6鉚釘連接的計(jì)算8.1組合變形的概念及工程實(shí)例8.1.1組合變形的概念

構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形，如幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力（或變形）屬同一量級(jí)，則構(gòu)件的變形稱為組合變形。工程實(shí)例:

煙囪，傳動(dòng)軸吊車梁的立柱煙囪：自重引起軸向壓縮

+水平方向的風(fēng)力而引起彎曲；傳動(dòng)軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲

+扭轉(zhuǎn)

立柱：荷載不過(guò)軸線，為偏心壓縮=軸向壓縮

+純彎曲F1F2

8.1.2組合變形的研究方法——疊加法外力分解和簡(jiǎn)化

——使每個(gè)力(或力偶)對(duì)應(yīng)一種基本變形內(nèi)力分析——

確定危險(xiǎn)面應(yīng)力分析——確定每種基本變形情況下，構(gòu)件內(nèi)危險(xiǎn)面上危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力，將結(jié)果進(jìn)行疊加，建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件疊加法的主要步驟解決組合變形問(wèn)題的基本方法:疊加法疊加法限制條件：構(gòu)件變形是小變形,材料服從虎克定律。8.2兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲8.2.1概念

平面彎曲：橫向力通過(guò)彎曲中心，與一個(gè)形心主慣性軸方向平行，撓曲線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。梁在鉛垂縱對(duì)稱面xy

面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對(duì)稱軸鉛垂縱向?qū)ΨQ面

xyz梁的軸線對(duì)稱軸水平縱向?qū)ΨQ面梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz

平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲:

雙對(duì)稱截面梁在水平和鉛垂兩縱向?qū)ΨQ面內(nèi)同時(shí)受通過(guò)彎曲中心的橫向外力作用，分別在水平縱向?qū)ΨQ面和鉛垂縱向?qū)ΨQ面內(nèi)發(fā)生對(duì)稱彎曲。也稱斜彎曲。荷載的分解8.2.2斜彎曲的計(jì)算

FxyzxkFyFz+xyzxkFyxyzxkFz任意橫截面任意點(diǎn)k

的“s”（1）內(nèi)力：xyzxkFyxyzxkFzzybhzybhMz=Fy

xMy=Fz

x（2）應(yīng)力：（應(yīng)力的“＋”、“－”由變形判斷）zybhMz=Fy

xkzybhMy=Fz

xk（3）疊加：zybhefzybhMz=Fy

xkzybhMy=Fz

xkzybhefzybhefF

yzOef（4）中性軸的位置y0——中性軸方程

中性軸是一條通過(guò)橫截面形心的直線。

角是橫截面上合成彎矩矢M

（或合力矢F

）與y

軸的夾角。

一般情況下，截面的Iz

Iy

，故中性軸與合成彎矩矢

M

所在平面不垂直。由于截面的撓度垂直于中性軸，所以撓曲線與外力（合成彎矩）矢所在面不共面。yz中性軸

zy

zyD1D2對(duì)于矩形、工字形等有兩個(gè)相互垂直的對(duì)稱軸的截面梁，橫截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的棱角處。

作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面周邊相切于D1

、D2兩點(diǎn)，D1

、D2

兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)。危險(xiǎn)截面——固定端危險(xiǎn)點(diǎn)——“b”點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)，“d”點(diǎn)為最大壓應(yīng)力點(diǎn)。強(qiáng)度條件（簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)）——強(qiáng)度計(jì)算

FxyzxkFyFz剛度計(jì)算矩形截面梁斜彎曲解：1、外力分解2、強(qiáng)度計(jì)算例8-1矩形截面木檁條如圖，跨長(zhǎng)L=3.3m，受集度為q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，容許撓度為：L/200，E=9GPa，試校核此梁的強(qiáng)度和剛度。b=80mmh=120mmzqa=26°34′za=26°34′q3、剛度計(jì)算ABF=25

kN2m2m例8-2圖示梁為等邊角鋼200×200×20，荷載作用線如圖所示，截面的幾何性質(zhì)已知，求危險(xiǎn)截面上K點(diǎn)的應(yīng)力。zyCAFK20056.9解：（壓）zAzK例8-320a號(hào)工字鋼懸臂梁受集度為

q

的均布荷載和集中力F=0.5qa

作用，如圖所示。已知鋼的許用彎曲正應(yīng)力為[

]=160MPa,a=1m

。試求此梁的許可荷載集度[q]。ACBxzFqaay解：將力F向兩個(gè)y、z

軸分解Fy,q

使梁產(chǎn)生xy

平面內(nèi)彎曲。（z為中性軸）

Fz

使梁產(chǎn)生xz

平面內(nèi)彎曲。（y為中性軸）Mz

圖D0.617aMy

圖可能的危險(xiǎn)截面為A，D

兩截面。Mz

圖D0.617aMy

圖zyefe

點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)，f

點(diǎn)為最大壓應(yīng)力點(diǎn)。兩點(diǎn)正應(yīng)力的絕對(duì)值相等。查表得A，D兩截面的最大拉應(yīng)力為A

截面為梁的危險(xiǎn)截面。其強(qiáng)度條件解得8.3拉伸（壓縮）與彎曲8.3.1橫向力和軸向力共同作用

在橫向力和軸向力共同作用下，構(gòu)件將發(fā)生拉伸（壓縮）與彎曲組合變形。F1F2F1F2=+荷載的分解任意橫截面任意點(diǎn)的正應(yīng)力xyzk（1）內(nèi)力：（2）應(yīng)力：=+（3）疊加：=+危險(xiǎn)截面——固定端危險(xiǎn)點(diǎn)

——最上緣各點(diǎn)有最大的拉應(yīng)力，最下緣各點(diǎn)有最大的壓應(yīng)力（或最小拉應(yīng)力）。強(qiáng)度條件（簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)）——強(qiáng)度計(jì)算例8-4圖示結(jié)構(gòu)中，橫梁BD為20a工字鋼，已知F=15kN，鋼的容許應(yīng)力[

]=160MPa，試校核該梁的強(qiáng)度。F=15kNABCD2.6m1.4mFN圖○－40kNM圖○－21kN·m解：對(duì)于橫梁BDF=15kNBCDFBxFACFBy查表得20a工字鋼截面性質(zhì):

BD梁的危險(xiǎn)截面為C截面，危險(xiǎn)點(diǎn)在C截面的下邊緣，為壓應(yīng)力。橫梁安全。F=15kNABCD2.6m1.4mFN圖○－40kNM圖○－21kN·m例8-5鑄鐵壓力機(jī)框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應(yīng)力[

t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

c]=120MPa。試按立柱的強(qiáng)度計(jì)算許可荷載[F]。解：（1）立柱橫截面的幾何性質(zhì)（2）立柱橫截面的內(nèi)力（3）立柱橫截面的最大應(yīng)力（4）求壓力F8.3.2偏心拉伸（壓縮）

偏心拉伸（壓縮）的概念作用在桿件上的外力，當(dāng)其作用線與桿件的軸線平行但不重合時(shí)，將同時(shí)引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。（1）荷載的簡(jiǎn)化（2）任意橫截面任意點(diǎn)的“s”偏心拉(壓)的計(jì)算zyxFx（a）內(nèi)力：zyyzabcdyabcd（b）正應(yīng)力：正應(yīng)力的分布——在Mz

作用下：在FN作用下：在My

作用下：abcdzy（3）疊加：MzMy強(qiáng)度計(jì)算危險(xiǎn)截面——各截面危險(xiǎn)點(diǎn)——“d”點(diǎn)有最大的拉應(yīng)力，“b”點(diǎn)有最大的壓應(yīng)力。強(qiáng)度條件（簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)）——yzabcdyabcdabcdzyMzMy對(duì)有棱角的截面，最大的正應(yīng)力發(fā)生在棱角點(diǎn)處，且處于單向應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于無(wú)棱角的截面如何進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算——1、確定中性軸的位置；yzFyFzFzyxFx令z0、y0代表中性軸上任意點(diǎn)的坐標(biāo)(z0,y0)——中性軸方程（不經(jīng)過(guò)截面形心的一條斜直線）設(shè)中性軸在z,y

軸的截距為ay，

az

則：yzFyFzF慣性半徑中性軸ayaz(z0,y0)（1）、中性軸不過(guò)截面形心，與外力無(wú)關(guān)，與偏心距及截面形狀、尺寸有關(guān)；（2）、中性軸的截距與偏心距符號(hào)相反，表明外力作用點(diǎn)與中性軸分別在截面形心的相對(duì)兩側(cè)；（3）、外力作用點(diǎn)越是向形心靠攏，中性軸離形心越遠(yuǎn)，甚至移到截面外面。當(dāng)中性軸移到與截面相切或截面以外時(shí)，截面上則只存在壓應(yīng)力或拉應(yīng)力3、強(qiáng)度計(jì)算將兩切點(diǎn)的坐標(biāo)代入應(yīng)力計(jì)算公式確定最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。2、確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置yzFyFzF中性軸ayaz(z0,y0)D2D1例8-6正方形截面立柱的中間處開(kāi)一個(gè)槽，使截面面積為原來(lái)截面面積的一半。求：開(kāi)槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來(lái)不開(kāi)槽的幾倍。aaFF11aa解：未開(kāi)槽前立柱為軸向壓縮開(kāi)槽后立柱危險(xiǎn)截面為偏心壓縮11FFa

/28.3.3截面核心

軸向力不偏心時(shí)，橫截面均勻受拉（壓），無(wú)異號(hào)正應(yīng)力。在偏心拉（壓）時(shí)，橫截面可能出現(xiàn)異號(hào)正應(yīng)力。由中性軸的性質(zhì)知，力F的作用點(diǎn)越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，中性軸離坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)。當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時(shí)，整個(gè)圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力。yzFyFzF中性軸ayaz(z0,y0)D2D1在橫截面上存在一個(gè)包圍形心的區(qū)域，當(dāng)軸向力的作用點(diǎn)在此區(qū)域內(nèi)，橫截面上不會(huì)出現(xiàn)異號(hào)正應(yīng)力（即中性軸不穿過(guò)橫截面），此區(qū)域即稱為截面核心。當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。yz作截面核心步驟1、作截面周邊的任一切線

，將其看作中性軸，它在y,z

兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為

ay1

和az1。12、根據(jù)ay1

和

az1可求得對(duì)應(yīng)的外力作用點(diǎn)1，亦即截面核心邊界上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（y1、z1）2345235413、同理，分別作切線②、③、

等，求得對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上點(diǎn)2、3、

等點(diǎn)的坐標(biāo)。

4、連接1、2、3、

等點(diǎn)得到的一條封閉曲線，該曲線所含面積，即為截面核心。注意：中性軸2與z

軸平行，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)2在y

軸上。因?yàn)閍z2=

，所以，z2=0。即外力作用點(diǎn)2在y

軸上。yz1234523541結(jié)論：與z軸平行的中性軸所對(duì)應(yīng)的外力作用點(diǎn)一定在y軸。與y

軸平行的中性軸所對(duì)應(yīng)的外力作用點(diǎn)一定在z軸。yzB1122設(shè)B

點(diǎn)的坐標(biāo)為（yB

,zB

），是這一系列中性軸所共有的，將其代入中性軸方程得：表示外力作用點(diǎn)坐標(biāo)（yF

,zF

）的直線方程。結(jié)論

：當(dāng)中性軸繞B

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是一條連結(jié)點(diǎn)1，2的直線。yzdOA圓形截面的截面核心11、作切線①，在兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為相應(yīng)的外力作用點(diǎn)1在y

軸上2、由于圓截面關(guān)于圓心O

對(duì)稱，因而，截面核心的邊界對(duì)于圓心也應(yīng)是極對(duì)稱的，

從而可知，截面核心邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心、以為半徑的圓。1hbABCDyzO1、作切線①，得兩截距分別為①矩形截面的截面核心矩形截面的對(duì)應(yīng)的核心邊界上點(diǎn)1的坐標(biāo)為12、分別作中性軸、、，對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上的點(diǎn)2、3、4的坐標(biāo)依次為223344將1、2、3、4點(diǎn)中相鄰的兩點(diǎn)連以直線，即得矩形截面的截面核心。例8-7試確定圖示T字形截面的截面核心。圖中y,z

兩軸為截面的形心主慣性軸。解：（1）求截面的有關(guān)幾何性質(zhì)0.450.450.40.60.20.2yz2、列表求出各值①0.45

②-0.40④-0.451.08⑥0.451.08中性軸編號(hào)中性軸的截距（m）⑤0.600.450.450.40.60.20.2yz123456對(duì)于周邊有凹進(jìn)部分的截面（如T字形截面），不能取與凹進(jìn)部分的周邊相切的直線作為中性軸，因?yàn)檫@種直線穿過(guò)橫截面。③-0.45

①1-0.1020②20.200中性軸編號(hào)對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上的點(diǎn)核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)值(m)③

30.1020④

40.102-0.074⑤

5

0-0.133⑥

6-0.102-0.0740.450.450.40.60.20.2yz1234561234568.4.1彎扭組合

8.4扭轉(zhuǎn)與彎曲FFFABT=Fa+ABABT=FaClaABzyFABT=Fa+ABM圖○－FlT圖○－Fa危險(xiǎn)截面——截面A+=

zyab

abzy

ab

危險(xiǎn)點(diǎn)——a與b危險(xiǎn)點(diǎn)a、b的應(yīng)力狀態(tài)a點(diǎn)

b點(diǎn)

zy

ab

應(yīng)力狀態(tài)——

單向＋純剪切強(qiáng)度條件（塑性材料,圓截面）

彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形例8-8圖示卷?yè)P(yáng)機(jī)，已知F1

=800N

，

R=180mm

，[

]=80MPa，試按第三強(qiáng)度理論確定圓軸直徑d。ABCd0.4m0.4mFF1F1aRABF1TT解：M圖T圖⊕⊕160N.m144N.m

C截面b點(diǎn)bazy危險(xiǎn)點(diǎn)位于C截面外緣上、下的a、b兩點(diǎn)。BACDyz5kN10kN300300100x1.82kN3.64kN例8-9圖示一鋼制實(shí)心圓軸，齒輪C的節(jié)圓直徑dc

=400mm，齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。設(shè)許用應(yīng)力

=100MPa

，試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。xyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m解：1、外力的簡(jiǎn)化將每個(gè)齒輪上的切向外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。

1kN.m

的力偶使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)

5kN

和3.64kN

兩力使軸在xz

縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。

1.82kN

和10kN

兩力使軸在xy

縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。

斜彎曲+

扭轉(zhuǎn)2、內(nèi)力分析xyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m0.5680.364CBMy圖0.2271CBMz

圖

1CT

圖由于通過(guò)圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面，故軸在xz

和xy

兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲，可用總彎矩來(lái)計(jì)算該截面正應(yīng)力?？倧澗貫椋築截面為危險(xiǎn)截面。3、按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑d=5.19mmxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m0.5680.364CBMy圖0.2271CBMz

圖

1CT

圖8.4.2彎拉扭組合F1ABTF2危險(xiǎn)截面——截面A危險(xiǎn)點(diǎn)——aa點(diǎn)

zy

ab

=M+N應(yīng)力狀態(tài)－單向＋純剪切強(qiáng)度條件（塑性材料）例8-10直徑d=40mm的實(shí)心鋼圓軸，某一橫截面上的內(nèi)力為FN=100kN，Mx=0.5kN·m，My=0.3kN·m。已知此軸的許用應(yīng)力[]=150MPa。試按第四強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。xzyFNMyMx解：FN產(chǎn)生軸向拉伸My產(chǎn)生xz

平面內(nèi)彎曲Mx

產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)FN引起拉伸正應(yīng)力為My引起最大彎曲正應(yīng)力為A點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)Mx

引起最大切應(yīng)力為拉伸

+彎曲

+扭轉(zhuǎn)組合變形AxzyFNMyMxA最大正應(yīng)力為按第四強(qiáng)度理論校核滿足強(qiáng)度要求8.5連接件的實(shí)用計(jì)算法8.5.1連接件的概念及工程實(shí)例鉚釘連接工程實(shí)際中用到各種各樣的連接，如：銷軸連接平鍵連接榫連接在構(gòu)件連接處起連接作用的部分，如鉚釘，螺栓，鍵等，統(tǒng)稱為連接件。鉚釘FFFFF/2F/2nnmmF以鉚釘連接為例，連接處的破壞可能性有三種：1鉚釘在m—m

和n—n

截面被剪斷鉚釘和鋼板在接觸面上因擠壓使連接松動(dòng)2鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處被拉斷3剪切與擠壓破壞都是復(fù)雜的情況，這里僅介紹工程上的實(shí)用計(jì)算方法剪切破壞擠壓破壞拉伸破壞8.5.2剪切的實(shí)用計(jì)算FF剪切面受力特點(diǎn)：桿件受到兩個(gè)大小相等，方向相反、作用線垂直于桿的軸線并且相互平行且相距很近的力的作用。變形特點(diǎn)：桿件沿兩力之間的截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。剪切面：發(fā)生錯(cuò)動(dòng)的面。剪切的概念構(gòu)件剪切面上的內(nèi)力可用截面法求得。將構(gòu)件沿剪切面假想地截開(kāi)，保留一部分考慮其平衡。FFF剪切面剪切面剪力單剪切：只有一個(gè)剪切面。FF剪切面雙剪切：有兩個(gè)剪切面。FFFF剪切面剪切面FFmmFFFFmmF分析螺栓剪切面上的剪力。FS設(shè)兩塊鋼板用螺栓連接后承受拉力F剪切面剪切的實(shí)用計(jì)算剪力FS=FFFmmmmFFS剪切面FS

為受剪面上的剪力AS為受剪面的面積假設(shè)螺栓受剪面上各點(diǎn)的切應(yīng)力均勻分布，則受剪面上的名義切應(yīng)力為剪切強(qiáng)度條件：——名義許用切應(yīng)力常由實(shí)驗(yàn)方法確定剪切強(qiáng)度條件同樣可解三類問(wèn)題8.5.3擠壓的實(shí)用計(jì)算螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上，發(fā)生的彼此間的局部承壓現(xiàn)象，稱為擠壓。在接觸面上的壓力，稱為擠壓力，并記為Fbs

。FFFF受剪面擠壓面擠壓力不是內(nèi)力，而是外力。擠壓破壞的兩種形式：（1）螺栓壓扁（2）鋼板在孔緣壓皺擠壓面上應(yīng)力分布也是復(fù)雜的實(shí)用計(jì)算中，名義擠壓應(yīng)力公式擠壓強(qiáng)度條件：常由實(shí)驗(yàn)方法確定擠壓強(qiáng)度條件同樣可解三類問(wèn)題Abs為計(jì)算擠壓面積Fbs

為接觸面上的擠壓力當(dāng)接觸面為圓柱面時(shí),計(jì)算擠壓面積

Abs

為實(shí)際接觸面在直徑平面上的投影面積dd實(shí)際接觸面直徑投影面當(dāng)接觸面為平面時(shí),計(jì)算擠壓面積Abs

就是實(shí)際接觸面的面積。擠壓強(qiáng)度條件：剪切強(qiáng)度條件：脆性材料：塑性材料：可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范中查得例8-11已知外載集度p

=

2MPa，角鋼厚

t

=

1