第二章 被控對象的數(shù)學模型

第二章被控過程的數(shù)學模型§1.過程建模的基本概念1.1.過程的數(shù)學模型（被控對象的特性）被控過程的輸出量與輸入量之間的關(guān)系的數(shù)學描述。1.靜態(tài)（穩(wěn)態(tài)）：當輸入恒定不變時，被控參數(shù)處于相對靜止狀態(tài)，這種狀態(tài)就是靜態(tài)。2.動態(tài)：系統(tǒng)受到外來擾動的影響或在改變了設(shè)定值后，原來的穩(wěn)態(tài)遭到破壞，被控量隨時間而變化，系統(tǒng)未處于平衡工況的狀態(tài)。3.過渡過程：從一個穩(wěn)態(tài)到達另一個穩(wěn)態(tài)的歷程。4.控制系統(tǒng)過渡過程的形式(b).穩(wěn)定的隨動系統(tǒng)過渡過程(a).定值控制系統(tǒng)過渡過程的五種形式C(t)t單調(diào)發(fā)散0C(t)t發(fā)散振蕩0衰減振蕩C(t)t0等幅振蕩C(t)t0單調(diào)衰減C(t)t0C(t)t01.2過程控制系統(tǒng)建模概念被控對象＋過程檢測控制儀表按被控對象特性控制系統(tǒng)控制效果的好壞，在很大程度上取決于對被控對象動態(tài)特性了解的程度。過程控制系統(tǒng)控制方案選擇測量控制儀表組成控制系統(tǒng)1.選擇輸入量與輸出量A.多輸入單輸出的被控對象液位控制器給水控制閥鍋爐汽鼓液位變送器液位給定值e(t)u(t)+-蒸汽流量給水壓力選擇可控性好的給水流量信號為控制信號。通道：輸入信號與輸出信號之間的信號聯(lián)系。控制通道：控制作用至被控參數(shù)之間的信號聯(lián)系。干擾通道：干擾作用至被控參數(shù)之間的信號聯(lián)系。a.將復雜對象劃分成若干個獨立的被控區(qū)域，每個執(zhí)行機構(gòu)只對一個被控參數(shù)起作用。B.多輸入多輸出對象燃料

送風機

引風機

噴水

壓力

風燃比

負壓

溫度

水位

給水

給水流量給水壓力蒸汽流量水位汽鼓引風量爐膛壓力爐膛爐膛送風量爐排轉(zhuǎn)速蒸汽壓力對于每個獨立的被控區(qū)域?qū)ο蟮姆治?，可按只有一個被控參數(shù)的對象處理?！璾1up…d1dny1yp…b.綜合控制具有多個被控參數(shù)的對象有相應(yīng)個數(shù)的控制作用。1.3數(shù)學模型的作用與要求1.設(shè)計過程控制系統(tǒng)及整定調(diào)節(jié)器參數(shù)2.指導生產(chǎn)工藝及其設(shè)備的設(shè)計與操作3.對被控過程進行仿真研究過程控制中實際應(yīng)用的數(shù)學模型傳遞函數(shù)的階次一般不超過三階，最常用的是帶有時滯的一階慣性傳遞函數(shù)形式1.4建立過程數(shù)學模型的途徑建立被控過程數(shù)學模型的方法機理演繹法實驗辨識方法機理演繹與實驗辨識相結(jié)合的混合方法開環(huán)辨識與閉環(huán)辨識1.用機理演繹法(解析法)建立被控過程的數(shù)學模型根據(jù)被控過程的內(nèi)在機理,運用已知的靜態(tài)和動態(tài)物料平衡、能量平衡等關(guān)系，用數(shù)學推理的方法求取被控過程的數(shù)學模型。2.實驗辨識方法(系統(tǒng)辨識與參數(shù)估計方法)根據(jù)過程輸入、輸出的實驗測試數(shù)據(jù)，通過過程辨識和參數(shù)估計得出數(shù)學模型。A.明確數(shù)學模型的應(yīng)用目的及相應(yīng)要求B.掌握足夠的驗前知識對過程內(nèi)在物理化學規(guī)律的了解、事先的測試數(shù)據(jù)、日常操作記錄分析等。C.實驗設(shè)計輸入信號的幅值和頻譜、采樣周期、總的測試時間、信號發(fā)生、數(shù)據(jù)存儲、計算裝置、開環(huán)或閉環(huán)辨識、離線或在線辨識、信號濾波及漂移處理方法。D.信號發(fā)生、測量、數(shù)據(jù)存儲由信號發(fā)生器、特性測試儀或計算機產(chǎn)生輸入信號，用記錄儀、測試儀或計算機對輸出信號進行測量處理，將結(jié)果存儲起來。E.辨識方法用階躍響應(yīng)、頻率響應(yīng)、頻譜分析、相關(guān)函數(shù)或參數(shù)估計方法來建立過程的模型。F.模型結(jié)構(gòu)模型形式、時滯情況、方程階次的確定G.模型驗證自身驗證：把在測試時所得同一輸入下實際過程的輸出與模型的計算輸出加以比較。交叉驗證：多進行一次驗證，把另一組輸入下的過程實際輸出與模型的計算輸出加以比較。采用以上步驟后，若所得模型不能滿足精度要求，則要重新修正實驗設(shè)計，修正假定結(jié)構(gòu)，反復幾次，直到達到要求為止。3.機理演繹與實驗辨識相結(jié)合的混合方法4.開環(huán)辨識與閉環(huán)辨識A.多級過程，部分采用機理演繹方法推導出相應(yīng)的數(shù)學模型。對于尚不熟悉的部分采用實驗辨識的方法得出其相應(yīng)的數(shù)學描述。B.先通過機理分析確定模型的結(jié)構(gòu)形式，再通過實驗數(shù)據(jù)來確定模型中各個參數(shù)的大小。目前常用開環(huán)辨識。若工作中無法除去反饋、開環(huán)辨識有可能破壞生產(chǎn)的正常進行時需采用閉環(huán)辨識。閉環(huán)辨識的實驗條件:在調(diào)節(jié)器輸出端施加外部信號、在調(diào)節(jié)器輸入端施加外部信號、改變線性反饋規(guī)律（如調(diào)節(jié)器的放大系數(shù)）等?！?.解析法建立過程數(shù)學模型根據(jù)生產(chǎn)過程中實際發(fā)生的物理化學變化機理，寫出物質(zhì)平衡方程，能量平衡方程，動量平衡方程以及反映流體流動、傳熱、傳質(zhì)、化學反應(yīng)等基本規(guī)律的運動方程、特性參數(shù)方程和某些設(shè)備的特性方程等，從中獲得所需的數(shù)學模型。2.1單容過程的建模單容過程：指只有一個貯蓄容量的過程。由于不同的物理背景的若干過程都遵循同一變化規(guī)律，故單容過程可代表一類過程。單容過程可分為：有自平衡單容過程無自平衡單容過程有自平衡過程：指被控過程在擾動作用下，平衡狀態(tài)被破壞后，不需要操作人員或儀表的干預，依靠自身能夠恢復平衡的過程。1.單容水槽水位的動特性Q1：輸入水流量的穩(wěn)態(tài)值m3/sΔQ1:輸入水流量的增量m3/sQ2：輸出水流量的穩(wěn)態(tài)值m3/sΔQ2:輸出水流量的增量m3/sh0：液位的穩(wěn)態(tài)值mΔh:液位的增量mΔu1：閥門1開度增量m2ΔQ1＝Ku?Δu1Ku：閥門1流量系數(shù)m/sQ20+ΔQ2Q20h0+Δhh0Rs:液阻S/m2C稱為水槽的容量系數(shù)，又稱液容.K＝Ku?

RsT＝A?

Rs對象的響應(yīng)曲線：輸入量作階躍變化時，輸出量對時間的變化曲線。（對象的飛升曲線）A.放大系數(shù)KB.時間常數(shù)TtThh0KΔu1Δu1tu（靜態(tài)參數(shù)）（動態(tài)參數(shù)）2.對象的自衡特性對象在擾動作用下，平衡狀態(tài)被破壞以后，不需要任何外力作用，依靠自身的能力，被控參數(shù)可以自發(fā)地恢復平衡的特性。A.有自衡能力對象

1

Q1

h

Q2（直到

Q2=Q1）自衡率（ρ）：對象的ρ大，表示即使加上一個很大的擾動Δu1，h變化也會很小。B.無自衡能力對象對象在擾動作用下，平衡狀態(tài)被破壞以后，被調(diào)量以固定的速度一直變化下去而不會自動地在新的水平上恢復平衡的對象。

1

Q1

Q2不變(

Q2<

Q1)

h

0QQ10Q20Q2Q1h0htt0無自衡特性水槽的飛升曲線3.純滯后單容對象的特性h0+hLQ10+Q1Q20+Q2A.有自衡能力對象干擾發(fā)生處與測定被控參數(shù)點之間有一定距離（由信號傳輸引起）產(chǎn)生純滯后現(xiàn)象原因：B.無自衡能力對象h0+hLQ10+Q1Q20純滯后、容量滯后對系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)會帶來不利影響。2.2多容過程的建模1.雙容對象的特性A.調(diào)節(jié)對象具有兩個儲蓄容器(稱為雙容對象)B.由兩個一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)起來(被調(diào)量是第二個水槽的水位)C.對于擾動的響應(yīng)在時間上存在滯后（容量滯后

c，由對象儲蓄容量引起）圖中P為拐點，過拐點作切線交于時間軸A點，可求T、

c。2.多容對象的飛升曲線A.多容對象的飛升曲線若中間容積不止兩個，則對象的慣性將隨之增大B.多容對象的數(shù)學模型a.有自衡能力對象的數(shù)學模型無純滯后對象有純滯后對象b.無自衡能力對象的數(shù)學模型無純滯后對象有純滯后對象例2-6

2.3測試法建模若對于復雜的工藝過程，要求出其數(shù)學模型（微分方程）很困難。復雜對象錯綜復雜的相互作用可能會對結(jié)果產(chǎn)生估計不到的影響，即使能用機理法得到數(shù)學模型，但仍希望通過實驗測定來驗證，可采用實驗和測試方法來求取對象數(shù)學模型。方法：時域法頻域法相關(guān)統(tǒng)計法1.概述§3響應(yīng)曲線法辨識過程的數(shù)學模型1.階躍響應(yīng)曲線法脈沖響應(yīng)曲線法階躍響應(yīng)曲線法在對象上人為地加一瞬變擾動，測定對象的響應(yīng)曲線，然后根據(jù)此響應(yīng)曲線，推求出對象的傳遞函數(shù)。缺點：被控參數(shù)的偏差往往會超出實際生產(chǎn)所允許的數(shù)值。tu(t)ty(t)y(0)u(0)2.脈沖響應(yīng)曲線法u(t)：矩形脈沖輸入u1(t)：階躍輸入u(t)＝u1(t)－u1(t－T)tu(t)ty(t)

uu1(t)T2T4T3TY’(t)u(t)Y’(t)u1(t)y(t)Y’(t)＝y(tǒng)(t)－y(t－T)y(t)＝Y(jié)’(t)＋y(t－T)0<tT

y(t)＝Y(jié)’(t)t＝Ty(T)＝Y(jié)’(T)t=2Ty(2T)＝Y(jié)’(2T)+y(T)

t＝3Ty(3T)＝Y(jié)’(3T)+y(2T)實驗中應(yīng)注意的問題：a.將對象調(diào)整到相對穩(wěn)定的工況，采取一切措施防止其他干擾的發(fā)生b.在相同條件下應(yīng)重復多做幾次試驗，從幾次試驗中選擇兩次以上比較接近的響應(yīng)曲線作為分析依據(jù)。c.進行正、反方向?qū)嶒炓詸z驗對象的非線性特性，擾動量要適量d.測試應(yīng)進行到被控參數(shù)接近的穩(wěn)態(tài)值e.應(yīng)在被控對象最小、最大及平均負荷下重復測試n條響應(yīng)曲線3.實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)處理將測試的曲線與標準的一、二階對象的階躍響應(yīng)曲線比較，確定其相應(yīng)曲線對應(yīng)的傳遞函數(shù)形式作為數(shù)據(jù)處理的模型。對一條曲線：用低階傳遞函數(shù)擬合：數(shù)據(jù)處理簡單。準確程度較低。用高階傳遞函數(shù)擬合：數(shù)據(jù)處理復雜。擬合精度高。由于閉環(huán)控制尤其是PID控制并不要求非常精確的數(shù)學模型，故在滿足精度要求的情況下盡量使用低階的傳遞函數(shù)來擬合。A.飛升曲線確定一階環(huán)節(jié)的參數(shù)yy0tu(t)ty(t)y(0)u(0)

uTy0.63[yy0]a.飛升曲線在輸入發(fā)生階躍的瞬間斜率最大b.飛升曲線在輸入發(fā)生階躍的瞬間斜率不是最大，而是呈一條S形的非周期曲線（a）直角坐標圖解法（b）計算法（兩點法）ty(0)u(t)tu(0)y(t)

uy

(t)ty(0)100%39.3%t163.2%t2選由曲線找到t1、t2值代入下述方程，求T、

。y

(t)ty(0)100%39.3%t163.2%t2（c）.半對數(shù)坐標圖解法采用半對數(shù)坐標圖解法的最大優(yōu)點：可很方便地判斷所辨識的過程究竟是不是一階無時延環(huán)節(jié)。一階無時延環(huán)節(jié)：階躍響應(yīng)是一條直線。B.由S形飛升曲線確定二階環(huán)節(jié)的參數(shù)a.由飛升曲線求k、T1、T2、

u(t)tu(0)

uy(

)ty(0)y(t)t20.8t10.4ty(0)y

(t)1b.半對數(shù)坐標圖解法C.二階時延環(huán)節(jié)參數(shù)的確定二階時延環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)D.無自衡過程的參數(shù)確定方法Y(t)可按一階時延環(huán)節(jié)的參數(shù)確定方法求取T1、T2和的值將y(t)曲線n等份，每份的時間間隔為Δt然后按一階時延環(huán)節(jié)的參數(shù)確定方法求取各個參數(shù)?！?相關(guān)函數(shù)法辨識過程的數(shù)學模型對于大多數(shù)系統(tǒng)只能進行離線辨識。由階躍響應(yīng)和頻率響應(yīng)辨識對象傳遞函數(shù)的局限性：影響控制系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)，有時甚至有破壞設(shè)備的危險；認為被測試對象的動態(tài)特征是不變化的，若發(fā)生變化，就必須重新進行一套反復的測試計算工作，實驗、分析計算過程較長；一般不易消除各種干擾的影響；A.基本概念1.平穩(wěn)隨機過程、相關(guān)函數(shù)、功率譜密度相關(guān)函數(shù)法測定動態(tài)特性的基本思路：a.隨機信號：隨時間隨機地變化的信號。x1(t),x2(t)，…,xk(t)是隨時間隨機地變化的信號,它們的集合就稱為隨機過程。在被測對象上加隨機信號x(t)，測量被控參數(shù)y(t)，計算出自相關(guān)函數(shù)Rxx(

)和x(t)與y(t)的互相關(guān)函數(shù)Rxy(

)，然后再根據(jù)Rxy(

)與對象脈沖響應(yīng)函數(shù)間的關(guān)系求出對象脈沖響應(yīng)g(t)，對象的傳遞函數(shù)為G(s）＝L〔g(t)〕。b.平均值、均方值平均值均方值c.平穩(wěn)隨機過程若一個隨機過程，它的統(tǒng)計特性在各個時刻都不變，則稱之為平穩(wěn)隨機過程d.自相關(guān)函數(shù)e.互相關(guān)函數(shù)f.功率譜密度g.白噪聲2.相關(guān)分析法識別對象動態(tài)特性的原理線性對象脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)x(t)y(t)

一個線性對象的輸入函數(shù)x(t)是一個平穩(wěn)的隨機過程，那么相應(yīng)的輸出y(t)亦是一個平穩(wěn)的隨機過程，由輸入x(t)與輸出y(t)的互相關(guān)函數(shù)來確定脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)。原理：A.wiener-hopf方程X(t)看作是無數(shù)脈沖的疊加Y1(t)、Y2(t)……是x1(t)、x2(t)………的響應(yīng)。y(t)＝y(tǒng)1(t)＋y2(t)+????將x(t)分解為許多脈沖之和。每個脈沖的面積為這是維納－何甫方程，是相關(guān)分析法辨識線性對象動態(tài)特性的重要依據(jù)B.用白噪聲測定對象的動態(tài)特性代入上式采用白噪聲作為輸入信號時，對象輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)Rxy

與該對象的脈沖響應(yīng)函數(shù)g

成正比。x(t-）實驗可在正常運行狀態(tài)下進行；要得到較精確的互相關(guān)函數(shù)，必須在較長一段時間內(nèi)進行積分，于是會產(chǎn)生信號漂移和記錄儀器的零點漂移。白噪聲是隨機信號，要使兩個周期內(nèi)的信號形式和狀態(tài)完全相同，這幾乎是不可能的。方法的特點：優(yōu)點：缺點：用偽隨機信號識別對象的動態(tài)特性3.用偽隨機信號識別對象的動態(tài)特性A.偽隨機信號的特點a.信號中有二個數(shù)值＋a和－a，在t＝kt瞬間由一個值切換到另一個值，其中－a個數(shù)為2n－1，＋a個數(shù)為2n－1－1。b.若干個＋a（或－a）連在一起稱為“游程”.一個游程中的＋a（或－a）的個數(shù)稱為游程長度.長度為t的游程為總數(shù)的1/2，長度為2t的游程為總數(shù)的1/4，長度為3t的游程約占總數(shù)的1/8…。在同樣長度的所有游程中＋a的游程與－a的游程約各占半數(shù)。初態(tài)1111，第3、4位作模2運算11110111111100010011010——一個周期（15）偽隨機信號是一種周期為T的信號序列，它的自相關(guān)函數(shù)偽隨機信號的自相關(guān)函數(shù)與白噪聲的自相關(guān)函數(shù)相同，只是它有重復周期Tc.偽隨機信號中最常用的是M序列M序列信號有以下性質(zhì):M序列周期為N=2n-11出現(xiàn)的個數(shù)為（N+1）/20出現(xiàn)的個數(shù)