第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類決賽試題

第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題答案（非數(shù)學(xué)類）2016年3月27日一填空題（5×6分=30分）程微分方的通解是_______解：令,則，則，積分得到，即，積分得（為常數(shù)）.設(shè)D:，則積分的值是_______解：（對稱性和極坐標(biāo)）.設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，若，則解：，，所以，則得設(shè)，，…，是n階方陣A的特征值，為多項式，則矩陣的行列式的值為_______解：極限的值為________解：，為整數(shù)，所以結(jié)果。編者注：填空題考察基礎(chǔ)，簡易，穩(wěn)扎穩(wěn)打，唾手可得?。ū绢}滿分14分）設(shè)在全平面上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試證明：曲面的所有切平面都交于點.證明：記，求其偏導(dǎo)數(shù)得到其法向量：--------------------------------6分（得分比高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽都容易)為方便取曲面的法向量.記為曲面上的點，為切面上的點，則曲面上過點的切平面方程為--------------12分容易驗證，對任意，都滿足上述切平面方程.結(jié)論得證。編者注：此題入手容易，拿分也容易，主要的就是一個思路，不在于過多的計算，恰到好處的體現(xiàn)了一個很淺顯但用數(shù)學(xué)化的語言描述的一個證明或者定理。（本題滿分14分）設(shè)在上連續(xù)，試證明：證明：由在上連續(xù)，知在可積.第二型曲面積分試證明：.證明：設(shè)上半球面的底平面為,方向向下，和圍成的區(qū)域記為，由高斯公式得--------------------4分由于底平面為負(fù)面，所以，再由題設(shè)條件得注意到上試對任何r>0都成立，由此證明反證法：若不然，設(shè)由于.而當(dāng)，因此左端為一個二階的無窮小.類似地，當(dāng)時一個三階的無窮小，而當(dāng)，該積分趨于0的階高于3.因此式右端階高于左端，從而當(dāng)r很小，則，這與（*）式矛盾.---------------------------------------10分因此在任何點都有,故=0.帶入（*）式得重復(fù)前面的證明可知.由得任意性知.編輯者注：可以說這道題證明點細(xì)微，用到反證法這一重要思想，通過比較階次的高低來比較大小，這應(yīng)該是我們平常不是很注意到的，在這道題中恰恰得到了很好的體現(xiàn)。細(xì)致推理，拿10分左右不是問題，滿分也未嘗不可.總：從本屆試題看出，填空題沒有啥大變動之處，解答題新增了空間幾何問題，題都不是很難，對于曾經(jīng)參加過全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的學(xué)生來說，這些題相應(yīng)于一個認(rèn)識階段來看，不是很難?？疾旎A(chǔ)，但卻能體現(xiàn)厚重基礎(chǔ)，思維清晰的良好素養(yǎng).估計起碼參加這個決賽的起碼獲得70分左右，也考慮到大學(xué)學(xué)生事情繁雜，沒有多大精力在這一枯燥的學(xué)科之上，畢竟不是學(xué)數(shù)學(xué)的.分?jǐn)?shù)不重要，喜歡數(shù)學(xué)就足夠了，并能用于生活就行.與君共享，喜歡數(shù)學(xué)的都是不錯的！