相交線與平行線導學案1

第二章相交線與平行線1兩條直線的位置關系第1課時對頂角、余角和補角學習目標1.能識別對頂角，并掌握它的性質.2.理解補角和余角的概念及性質，并能進行簡單的角度計算.知識點1相交線與平行線1.在同一平面內兩條直線的位置關系可能是(C)A.相交B.平行C.平行或相交D.平行且相交2.已知點P在直線a上，也在直線b上，但不在直線c上，且直線a，b，c兩兩相交，那么符合以上條件的圖形是(D)ABCD知識點2對頂角3.如圖所示，∠1和∠2是對頂角的是(B)ABCD4.(教材P39隨堂練習變式)如圖是一把剪刀，其中∠1＝40°，則∠2＝40°，其理由是對頂角相等.5.如圖，直線AB和CD相交于點O，OE平分∠DOB，∠AOC＝40°，則∠DOE＝20°.6.如圖，直線AB，CD相交于點O，∠1＝35°，∠2＝75°，求∠EOB的度數(shù).解：因為∠1與∠DOB是對頂角，所以∠DOB＝∠1＝35°.又因為∠2＝75°，所以∠EOB＝∠2＋∠DOB＝75°＋35°＝110°.知識點3余角和補角7.如果α與β互為余角，那么(D)A.α＋β＝180°B.α－β＝180°C.α－β＝90°D.α＋β＝90°8.下面角的圖示中，可能與34°互補的是(D)9.(2022·湖州)已知∠α＝60°32′，則∠α的余角是(A)°28′°68′°28′°68′10.如圖所示，用量角器度量幾個角的度數(shù)，下列結論正確的是(B)A.∠BOC＝60°B.∠AOD與∠COE互補C.∠AOC＝∠BODD.∠COA是∠EOD的余角11.若∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，則∠A＝∠C，理由是同角的補角相等.12.若一個角的補角是這個角的余角的3倍，則這個角為多少度？解：設這個角為x°，則這個角的余角為(90－x)°，這個角的補角為(180－x)°，根據題意，得180－x＝3(90－x).解得x＝45.所以這個角為45°.易錯點1對對頂角的性質理解不透徹致錯13.下列說法正確的有(B)①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.個個個個易錯點2未給出圖形，考慮不周全致錯14.兩條直線相交所成的四個角中，有兩個角分別是(2x－10)°和(110－x)°，則x＝40或80.中檔題15.如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則∠1＋∠2＋∠3的度數(shù)等于(C)°°°°16.一副三角尺按如圖的方式擺放，且∠1比∠2大54°，則∠1的度數(shù)是(C)°°°°17.∠1與∠2互余，∠1與∠3互補.若∠3＝125°，則∠2＝(A)°°°°18.平面內有兩兩相交的三條直線，若三條直線最多有m個交點，最少有n個交點，則m＋n等于(D)19.如圖所示，直線a，b，c兩兩相交，∠1＝3∠3，∠2＝75°，則∠4＝25°.20.如圖，要測量兩堵圍墻所形成的∠AOB的度數(shù)，但人不能進入圍墻內，如何測量？解：延長AO到點D，延長BO到點C，測量∠COD的度數(shù)，根據對頂角相等，可得∠AOB＝∠COD，則∠AOB的度數(shù)可測得.21.如圖所示，l1，l2，l3相交于點O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度數(shù).解：設∠1＝∠2＝x°，則∠3＝8x°.由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得10x＝180.解得x＝18.所以∠1＝∠2＝18°.所以∠4＝∠1＋∠2＝36°.22.如圖，已知∠AOB＝155°，∠AOC＝∠BOD＝90°.(1)寫出與∠COD互余的角；(2)求∠COD的度數(shù)；(3)圖中是否有互補的角？若有，請寫出來.解：(1)因為∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠COD＋∠AOD＝90°，∠COD＋∠BOC＝90°.所以與∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC.(2)因為∠AOB＝155°，∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝65°.所以∠COD＝∠BOD－∠BOC＝25°.(3)有，∠COD與∠AOB互補，∠AOC與∠BOD互補.綜合題23.觀察如圖所示的各角，尋找對頂角(不含平角).(1)圖1中有2對對頂角，圖2中有6對對頂角，圖3中有12對對頂角；(2)若有n條直線相交于一點，共有n(n－1)對對頂角(用含n的式子表示)；(3)若有2019條直線相交于一點，共有4__074__342對對頂角.

第2課時垂直學習目標1.理解垂直、垂線、垂足等概念.2.能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線，理解并掌握“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這一性質.預習導學1.兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直.2.平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.3.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.基礎題知識點1垂直的概念1.如圖，直線AB與CD相交于點O.(1)若∠AOC＝90°，則AB⊥CD；(2)若AB⊥CD，則∠AOC的度數(shù)是90°.2.如圖，點O在直線l上，當∠1與∠2滿足條件∠1＋∠2＝90°時，OA⊥OB.3.如圖，若CD⊥EF，∠1＝∠2，則AB⊥EF，請說明理由.(補全解題過程)解：因為CD⊥EF，所以∠1＝90°(垂直的定義).所以∠2＝∠1＝90°，所以AB⊥EF(垂直的定義).4.如圖，直線AB，CD，EF都經過點O，且AB⊥CD，∠COE＝35°，求∠EOB，∠BOF的度數(shù).解：因為AB⊥CD，所以∠EOB＝90°－∠COE＝90°－35°＝55°.所以∠BOF＝180°－∠EOB＝180°－55°＝125°.故∠EOB的度數(shù)是55°，∠BOF的度數(shù)是125°.知識點2畫垂線5.下列各圖中，過直線l外點P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是(D)ABCD6.如圖，點P是∠AOB的邊OB上的一點.(1)過點P畫OA的垂線，垂足為H；(2)過點P畫OB的垂線，交OA于點C.解：如圖所示.知識點3垂線的性質和點到直線的距離7.下列說法正確的有(C)①在平面內，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；②在平面內，過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線；③在平面內，可以過任意一點畫一條直線垂直于已知直線；④在平面內，有且只有一條直線垂直于已知直線.個個個個8.下列圖形中，線段PQ的長表示點P到直線MN的距離的是(A)9.(2022·廣州)如圖，點A，B，C在直線l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，則點P到直線l的距離是5cm.10.如圖，計劃把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足為B，然后沿AB開渠，能使所開的渠道最短，這樣設計的依據是垂線段最短.易錯點線的位置不確定，考慮不周全致錯11.如圖，點A，O，B在同一條直線上，∠COB＝25°.若從點O引出一條射線OD，使OD⊥OC，則∠AOD的度數(shù)為65°或115°.中檔題12.一跳遠運動員跳落沙坑時的痕跡如圖所示，則表示運動員成績的是(B)A.線段AP1的長B.線段BP1的長C.線段CP2的長D.線段CP3的長13.如圖，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，則下列結論正確的個數(shù)為(B)①AB與AC互相垂直；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AD；⑤點B到AC的距離是線段AB的長.個個個個14.如圖，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，點P是邊BC上的動點，則AP的長不可能是(A)15.(2022·河南)如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O，∠EOD＝50°，則∠BOC的度數(shù)為140°.16.如圖所示，點O是直線AB上一點，∠AOC＝eq\f(1,3)∠BOC，OC是∠AOD的平分線.(1)求∠COD的度數(shù)；(2)判斷OD與AB的位置關系，并說明理由.解：(1)因為∠AOC＝eq\f(1,3)∠BOC，所以∠BOC＝3∠AOC.因為∠AOC＋∠BOC＝180°，即∠AOC＋3∠AOC＝180°，所以∠AOC＝45°.因為OC是∠AOD的平分線，所以∠COD＝∠AOC＝45°.(2)OD⊥AB.理由：由(1)知，∠COD＝∠AOC＝45°，所以∠AOD＝2×45°＝90°.所以OD⊥AB.17.如圖，直線AB與CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD.(1)圖中∠AOF的余角是∠EOF，∠BOD，∠AOC；(把符合條件的角都填出來)(2)圖中除直角相等外，還有相等的角，請寫出三對：①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠DOE＝∠AOF；(3)①如果∠AOD＝160°，那么根據對頂角相等可得∠BOC＝160°；②如果∠AOD＝4∠EOF，求∠EOF的度數(shù).解：因為∠AOC＝∠EOF，所以∠AOD＝4∠EOF＝4∠AOC.又因為∠AOC＋∠AOD＝180°，所以5∠AOC＝180°.所以∠EOF＝∠AOC＝36°.綜合題18.如圖，點O為直線AB上一點，OC為一射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.(1)若∠BOC＝50°，試探究OE，OF的位置關系；(2)若∠BOC為任意角α(0°＜α＜180°)，(1)中OE，OF的位置關系是否仍成立？請說明理由.解：(1)OE⊥OF.因為∠BOC＝50°，所以∠AOC＝180°－50°＝130°.因為OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝65°，∠COF＝eq\f(1,2)∠COB＝25°.所以∠EOF＝65°＋25°＝90°.所以OE⊥OF.(2)成立.理由：因為∠BOC＝α，所以∠AOC＝180°－α.因為OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝90°－eq\f(1,2)α，∠COF＝eq\f(1,2)∠COB＝eq\f(1,2)α.所以∠EOF＝90°－eq\f(1,2)α＋eq\f(1,2)α＝90°.所以OE⊥OF.

2探索直線平行的條件第1課時利用同位角判定兩直線平行及平行公理基礎題知識點1認識同位角1.(2022·衢州)如圖，直線a，b被直線c所截，那么∠1的同位角是(C)A.∠2B.∠3C.∠4D.∠52.【易錯】下列圖形中，∠1與∠2不是同位角的是(B)ABCD知識點2同位角相等，兩直線平行3.(教材P46隨堂練習T2變式)(2022·河池)如圖，∠1＝120°，要使a∥b，則∠2的大小是(D)°°°°4.如圖，∠1＝∠2，則下列結論正確的是(C)∥BC∥CD∥EF∥BC5.如圖是我們學過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖，其畫圖原理是同位角相等，兩直線平行.6.如圖，∠1＝∠2，∠2＝∠3，則圖中互相平行的直線有AB∥CD，EF∥HG.7.補全下列推理過程：如圖，已知BD平分∠ABC，∠1＝25°，∠2＝50°.試說明：ED∥BC.解：因為BD平分∠ABC，∠1＝25°(已知)，所以∠ABC＝2∠1＝50°(角平分線的定義).又因為∠2＝50°(已知)，所以∠2＝∠ABC(等量代換).所以ED∥BC(同位角相等，兩直線平行).知識點3平行公理8.過直線l外一點A作l的平行線，可以作(A)條條條條9.如果a∥b，b∥c，那么a∥c，這個推理的依據是(D)A.等量代換B.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行C.平行線的定義D.平行于同一條直線的兩條直線平行10.如圖，PC∥AB，QC∥AB，則點P，C，Q在一條直線上.理由是過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.11.如圖，P，Q分別是直線EF外兩點.(1)過點P畫直線AB∥EF，過點Q畫直線CD∥EF；(2)AB與CD有怎樣的位置關系？為什么？解：(1)如圖.(2)AB∥CD.理由：因為AB∥EF，CD∥EF，所以AB∥CD.中檔題12.已知在同一平面內的直線l1，l2，l3，如果l1⊥l2，l2⊥l3，那么l1與l3的位置關系是(A)A.平行B.相交C.垂直D.以上全不對13.如圖，直線a，b被直線c所截，∠1＝62°，∠3＝80°，現(xiàn)逆時針轉動直線a至a′位置，使a′∥b，則∠2的度數(shù)是(C)°°°°14.如圖所示，請你添加一個條件，使得AD∥BC，你添加的條件為答案不唯一，如：∠EAD＝∠B.15.如圖，把三角尺的直角頂點放在直線b上.若∠1＝40°，則當∠2＝50°時，a∥b.16.如圖，直線AB，CD被直線GH所截，且∠AEG＝∠CFG，EM，F(xiàn)N分別平分∠AEG和∠CFG.試說明：EM∥FN.解：因為EM，F(xiàn)N分別平分∠AEG和∠CFG，所以∠GEM＝eq\f(1,2)∠AEG，∠GFN＝eq\f(1,2)∠CFG.因為∠AEG＝∠CFG，所以∠GEM＝∠GFN.所以EM∥FN.17.(教材P49習題T1變式)一輛貨車在倉庫裝滿貨物準備運往超市，駛出倉庫門口后開始向東行駛，途中向右拐了50°角，接著向前行駛，走了一段路程后，又向左拐了50°角，如圖所示.此時汽車和原來的行駛方向相同嗎？你的根據是什么？解：汽車和原來的行駛方向相同.理由如下：因為∠AOO′＝∠A′O′B′＝50°，所以OA∥O′A′.綜合題18.如圖，∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180°.問：AB，CD，EF的位置關系如何？你能說明其道理嗎？解：AB∥CD∥EF.理由如下：因為∠1＝∠4，所以AB∥EF(同位角相等，兩直線平行).又因為∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°(互補定義)，所以∠2＝∠3(同角的補角相等).所以AB∥CD(同位角相等，兩直線平行).所以AB∥CD∥EF(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行).

第2課時利用內錯角、同旁內角判定兩直線平行基礎題知識點1認識內錯角、同旁內角1.如圖，直線a，b被直線c所截，則∠1與∠2是(B)A.同位角B.內錯角C.同旁內角D.鄰補角2.下列圖形中，∠1與∠2是同旁內角的是(C)ABCD3.如圖所示，∠1和∠3是直線AD，BC被直線AC所截構成的內錯角，∠2和∠4是直線AC，BC被直線AB所截構成的同旁內角.知識點2內錯角相等，兩直線平行4.下列圖形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是(B)ABCD5.如圖，小明利用兩塊相同的三角板，分別在三角板的邊緣畫直線AB和CD，并由此判定AB∥CD，這是根據“內錯角相等，兩直線平行”.6.如圖，CB平分∠ACD，∠1＝∠3.試說明：AB∥CD.解：因為CB平分∠ACD，所以∠1＝∠2.因為∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.所以AB∥CD.知識點3同旁內角互補，兩直線平行7.如圖，工人師傅在工程施工中，需在同一平面內彎制一個變形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，則(C)∥BC∥CD∥CD與CD相交8.如圖，下列說法中，正確的是(C)A.因為∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB.因為∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC.因為∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD.因為∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD9.將一副三角板按如圖所示擺放，使得BO和CD平行，則∠AOD的度數(shù)為(B)°°°°10.(2022·南京)結合圖形，用符號語言表達定理“同旁內角互補，兩直線平行”的推理形式：因為∠1＋∠3＝180°，所以a∥b.11.如圖，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠B＝50°.試說明：AB∥CD.解：因為∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，所以∠BCD＝130°.因為∠B＝50°，所以∠BCD＋∠B＝180°.所以AB∥CD.易錯點不能準確識別截線與被截線，從而誤判兩直線平行12.如圖，下列能判定AB∥CD的條件有(C)①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.個個個個中檔題13.已知l是l1與l2的截線，找出∠1的同位角，標上∠2，找出∠1的同旁內角，標上∠3，則∠1，∠2，∠3正確的位置圖為(C)14.如圖，下列選項中，哪個不可以得到l1∥l2(C)A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠3＝∠5D.∠3＋∠4＝180°15.如圖，將三個相同的三角尺不重疊不留空隙地拼在一起，觀察圖形，在線段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的線段有(B)組組組組16.(教材P49習題T2變式)如圖是一個由4條線段構成的“魚”形圖案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出圖中的平行線，并說明理由.解：OA∥BC，OB∥AC.理由：因為∠1＝50°，∠2＝50°，所以∠1＝∠2.所以OB∥AC.因為∠2＝50°，∠3＝130°，所以∠2＋∠3＝180°.所以OA∥BC.綜合題17.如圖，臺球運動中母球P擊中桌邊的點A，經桌邊反彈后擊中相鄰的另一桌邊的點B，再次反彈經過點C(提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF).(1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度數(shù)；(2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P經過的路線BC與PA一定平行嗎？請說明理由.解：(1)因為∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°，所以∠PAB＝180°－32°－32°＝116°.(2)BC∥PA.理由如下：因為∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE，所以∠PAB＝180°－2∠BAE.同理可得∠ABC＝180°－2∠ABE.因為∠BAE＋∠ABE＝90°，所以∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE＋∠ABE)＝180°.所以BC∥PA.【針對訓練】在如圖所示的八個角中，請辨別同位角有哪些，內錯角有哪些，同旁內角有哪些.解：∠1與∠7，∠2與∠8，∠4與∠6為同位角；∠3與∠4，∠1與∠5，∠2與∠6，∠4與∠8為內錯角；∠1與∠6，∠2與∠5，∠2與∠4，∠4與∠5為同旁內角.【方法指導】要在一個復雜的圖形中確定“三線八角”，需先在復雜的圖形中分離出“三線”，再根據角的位置關系來進一步判斷.)

3平行線的性質第1課時平行線的性質基礎題知識點1兩直線平行，同位角相等1.如圖，直線a∥b，c⊥a，則c與b相交所形成的∠1的度數(shù)為(C)°°°°2.(2022·蘇州)如圖，已知直線a∥b，直線c與直線a，b分別交于點A，B.若∠1＝54°，則∠2等于(A)° ° ° °3.(2022·資陽)如圖，l1∥l2，點O在直線l1上.若∠AOB＝90°，∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為(B)° ° ° °4.(2022·柳州)如圖，若AB∥CD，則在圖中所標注的角中，一定相等的角是∠1＝∠3.知識點2兩直線平行，內錯角相等5.如圖，AB∥CD，∠CDE＝140°，則∠A的度數(shù)為(D)°°°°6.(2022·岳陽)如圖，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC.若∠ABC＝50°，則∠C的度數(shù)是(B)° ° ° °7.(2022·隨州)如圖，直線ll∥l2，直角三角板的直角頂點C在直線l1上，一銳角頂點B在直線l2上.若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是(B)° ° ° °8.如圖所示，一艘船從A點出發(fā)，沿東北方向航行至B點，再從B點出發(fā)沿南偏東15°方向航行至C點，則∠ABC等于60°.知識點3兩直線平行，同旁內角互補9.(2022·長沙)如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是(C)° ° ° °10.(2022·黃岡)如圖，直線AB∥CD，直線EC分別與AB，CD相交于點A、點C，AD平分∠BAC.已知∠ACD＝80°，則∠DAC的度數(shù)為50°.易錯點1利用平行線的性質時忽視兩直線平行這一前提條件11.已知∠1與∠2是同旁內角.若∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是(D)° °°或120° D.不能確定易錯點2不能正確畫出圖形導致漏解12.(2022·秦皇島撫寧區(qū)期末)一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.中檔題13.(2022·深圳)如圖，已知l1∥AB，AC為角平分線，下列說法錯誤的是(B)A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠5 C.∠2＝∠3 D.∠1＝∠314.(2022·陜西)如圖，若l1∥l2，l3∥l4，則圖中與∠1互補的角有(D)個 個個 個15.(2022·天門)如圖，CD∥AB，點O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，則∠AOF的度數(shù)是(D)° ° ° °16.(2022·荊州)已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B兩點分別落在直線m，n上.若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為(B)° ° ° °17.(2022·綿陽)如圖，AB∥CD，∠ABD的平分線與∠BDC的平分線交于點E，則∠1＋∠2＝90°.18.如圖，點A，C，F(xiàn)，B在同一直線上，CD平分∠ECB，F(xiàn)G∥CD.若∠ECA為α度，則∠GFB為(90－eq\f(α,2))度.(用含α的代數(shù)式表示)19.如圖，AB∥CD，點E是CD上一點，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于點F，求∠AFE的度數(shù).解：因為∠AEC＝42°，所以∠AED＝180°－∠AEC＝138°.因為EF平分∠AED，所以∠DEF＝eq\f(1,2)∠AED＝69°.又因為AB∥CD，所以∠AFE＝∠DEF＝69°.20.(教材P54習題T4變式)如圖，在三角形ABC中，DE∥AC，DF∥AB.試問：∠A＋∠B＋∠C＝180°這個結論成立嗎？若成立，試寫出推理過程；若不成立，請說明理由.解：∠A＋∠B＋∠C＝180°這個結論成立.理由：因為DE∥AC，所以∠C＝∠BDE，∠CFD＝∠EDF.因為DF∥AB，所以∠B＝∠CDF，∠A＝∠CFD.所以∠A＝∠EDF.因為∠BDE＋∠EDF＋∠CDF＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.綜合題21.如圖1，2，3，若AB∥CD，則圖1中，∠B＋∠D＝180°；圖2中，∠B＋∠E1＋∠D＝360°；圖3中，∠B＋∠E1＋∠E2＋∠D＝540°.通過以上練習和你的發(fā)現(xiàn)，依次類推.若AB∥CD，則∠B＋∠E1＋…＋∠En＋∠D＝180(n＋1)°.

第2課時平行線性質與判定的綜合基礎題知識點1綜合運用平行線的性質與判定進行計算或說理1.如圖，直線a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直線b，c，d交于一點.若∠1＝50°，則∠2等于(B)°°°°2.(2022·濟寧)如圖，直線a，b被直線c，d所截.若∠1＝∠2，∠3＝125°，則∠4的度數(shù)是(C)° ° ° °3.如圖，若∠A＋∠ABC＝180°，則下列結論正確的是(D)A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠3D.∠2＝∠44.如圖，∠1＝∠2，∠A＝60°，則∠ADC＝120°.5.如圖，BC∥DE，∠E＋∠B＝180°，則AB和EF的位置關系為平行.6.如圖所示，AB∥DC，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分別平分∠ABC和∠ADC.試說明：ED∥BF.解：因為BF和DE分別平分∠ABC和∠ADC(已知)，所以∠EDC＝eq\f(1,2)∠ADC，∠FBA＝eq\f(1,2)∠ABC(角平分線的定義).又因為∠ADC＝∠ABC(已知)，所以∠EDC＝∠FBA(等量代換).因為AB∥DC(已知)，所以∠AED＝∠EDC(兩直線平行，內錯角相等).所以∠FBA＝∠AED(等量代換).所以ED∥BF(同位角相等，兩直線平行).7.如圖，已知∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D.請你觀察圖形，寫出∠E和∠DFE滿足什么數(shù)量關系？并說明理由.解：∠E＝∠DFE.理由如下：因為∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D，所以∠D＋∠BCD＝180°.所以AD∥BE.所以∠E＝∠DFE.知識點2利用平行線的性質與判定解決實際問題8.如圖所示，要在一條公路的兩側鋪設平行管道，已知一側鋪設的角度為120°，為使管道對接，另一側鋪設的角度大小應為(D)°°°°9.如圖，在A，B兩地挖一條筆直的水渠，從A地測得水渠的走向是北偏西42°，A，B兩地同時開工，B地所挖水渠走向應為南偏東42°.10.一條建設中的高速公路要穿過一山體開挖一條隧道，甲、乙兩工程隊分別從山體兩側的A，B兩點同時開工，現(xiàn)甲隊從A點測得道路的走向是北偏東55°，為了不浪費人力、物力，問乙隊在B點處應該按∠β等于多少度開挖，才能夠保證隧道準確接通？解：因為指北方向平行，且A，B兩點走向形成一條直線，即CA∥DB，所以∠α和∠β就構成了一對同旁內角.所以∠a＋∠β＝180°，即∠β＝180°－55°＝125°.因此，乙隊在B點處應該按∠β＝125°開挖.中檔題11.如圖所示，已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＋∠4＝180°，則在結論：①a∥b；②a∥c；③b∥c；④∠3＝∠2中，正確的個數(shù)是(C)12.如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，那么∠C＝(D)°°°°13.如圖，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，則∠3＝72°.14.如圖，直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，則∠2＝140°.15.(2022·武漢)如圖，點A，B，C，D在一條直線上，CE與BF交于點G，∠A＝∠1，CE∥DF，試說明：∠E＝∠F.解：因為∠A＝∠1，所以AE∥BF.所以∠E＝∠BGC.因為CE∥DF，所以∠BGC＝∠F.所以∠E＝∠F.16.如圖，按下面方法折紙，然后解答問題：若∠1＝40°，你能求出∠2的度數(shù)嗎？試著做一做.解：因為AP∥BF，所以∠1＝∠CFB＝40°.因為∠CFB＋2∠CFE＝180°，所以∠CFE＝70°.因為AE∥BF，所以∠2＋∠BFE＝180°.所以∠2＝180°－∠CFE－∠CFB＝180°－70°－40°＝70°.17.如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子.已知光線經過鏡子反射時，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請解釋進入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？解：因為AB∥CD，所以∠2＝∠3.因為∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4.所以180°－∠1－∠2＝180°－∠3－∠4，即∠5＝∠6.所以l∥m.綜合題18.如圖所示，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，試確定AB與DE的位置關系，并說明理由.解：AB∥DE.理由：過點C作FG∥AB，所以∠BCG＝∠ABC＝80°.又因為∠BCD＝40°，所以∠DCG＝∠BCG－∠BCD＝40°.因為∠CDE＝140°，所以∠CDE＋∠DCG＝180°.所以DE∥FG.又因為FG∥AB，所以AB∥DE.

小專題3利用平行線的性質求角度1.(2022·湘西)如圖，直線a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，則∠3的度數(shù)為(B)° ° ° °2.(2022·甘肅)如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的頂點放在直尺的一邊上.若∠1＝48°，則∠2的度數(shù)是(D)° ° ° °3.(2022·遵義)如圖，∠1＋∠2＝180°，∠3＝104°，則∠4的度數(shù)是(B)° ° ° °4.(2022·泰安)如圖，直線l1∥l2，∠1＝30°，則∠2＋∠3＝(C)° ° ° °5.(2022·婁底)如圖，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為28°.6.(2022·大連)如圖AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，則∠D＝130°.7.如圖，一個四邊形紙片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把紙片按如圖所示折疊，使點B落在AD邊上的B′點，AE是折痕，則∠AEB的度數(shù)是65°.8.(2022·重慶A卷)如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度數(shù).解：因為AB∥CD，BC平分∠ABD，所以∠1＝∠ABC＝∠DBC＝54°.所以∠ABD＋∠CDB＝180°.所以∠CDB＝180°－(54°＋54°)＝72°.所以∠2＝∠CDB＝72°.9.已知AB∥DE，∠B＝60°，且CM平分∠DCB，CM⊥CN，垂足為C，求∠NCE的度數(shù).解：因為AB∥DE，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°.因為CM平分∠DCB，所以∠DCM＝eq\f(1,2)∠DCB＝60°.因為CM⊥CN，所以∠MCN＝90°.所以∠DCM＋∠NCE＝90°.所以∠NCE＝90°－60°＝30°.10.如圖，AB∥CD，∠B＝120°，EF是∠CEB的平分線，F(xiàn)G∥HD，求∠EDH的度數(shù).解：因為AB∥CD，所以∠BEC＋∠B＝180°.所以∠BEC＝180°－∠B＝180°－120°＝60°.因為EF平分∠BEC，所以∠CEF＝eq\f(1,2)∠BEC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.因為FG∥HD，所以∠EDH＝∠CEF.所以∠EDH＝∠CEF＝30°.11.如圖，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，∠ACB＝60°，求∠AED的度數(shù).解：因為∠1＋∠EFD＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠EFD＝∠2.所以AB∥EF.所以∠3＝∠ADE.又因為∠B＝∠3，所以∠ADE＝∠B.所以DE∥BC.所以∠AED＝∠ACB＝60°.12.如圖，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度數(shù).解：因為AD∥BC，所以∠ACB＋∠DAC＝180°.因為∠DAC＝120°，所以∠ACB＝60°.因為∠ACF＝20°，所以∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°.因為CE平分∠BCF，所以∠BCE＝eq\f(1,2)∠BCF＝20°.因為EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC.所以∠FEC＝∠BCE＝20°.13.如圖，∠B，∠D的兩邊分別平行.(1)在圖1中，∠B與∠D的數(shù)量關系是什么？為什么？(2)在圖2中，∠B與∠D的數(shù)量關系是什么？為什么？(3)由(1)(2)可得結論：若兩個角的兩邊兩兩互相平行，則這兩個角相等或互補；(4)應用：若兩個角的兩邊兩兩互相平行，其中一個角比另一個角的2倍少30°，求這兩個角的度數(shù).圖1圖2解：(1)∠B＝∠D.理由如下：因為AB∥CD，BE∥DF，所以∠B＝∠1，∠1＝∠D.所以∠B＝∠D.(2)∠B＋∠D＝180°.理由如下：因為AB∥CD，BE∥DF，所以∠B＝∠1，∠1＋∠D＝180°.所以∠B＋∠D＝180°.(4)設一個角為x°，則另一個角為(2x－30)°，若二者相等，則有x＝2x－30，解得x＝30.則這兩角分別為30°，30°；若二者互補，則有x＋2x－30＝180，解得x＝70.則這兩角分別為70°，110°.故這兩個角的度數(shù)分別為30°，30°或70°，110°.

4用尺規(guī)作角基礎題知識點1尺規(guī)作圖1.尺規(guī)作圖的畫圖工具是(D)A.刻度尺、量角器B.三角板、量角器C.直尺、量角器D.沒有刻度的直尺和圓規(guī)2.關于尺規(guī)的功能，下列說法不正確的是(B)A.直尺的功能是：在兩點間連接一條線段，將線段向兩方向延長B.直尺的功能是：可作平角和直角C.圓規(guī)的功能是：以任意長為半徑，以任意點為圓心作一個圓D.圓規(guī)的功能是：以任意長為半徑，以任意點為圓心作一段弧3.下列屬于尺規(guī)作圖的是(D)A.用量角器畫∠AOB的平分線OPB.利用兩塊三角板畫15°的角C.用刻度尺測量后畫線段AB＝10cmD.在射線OP上截取OA＝AB＝BC＝a知識點2用尺規(guī)作角4.下列用尺規(guī)作角的語句錯誤的是(C)A.作∠AOB，使∠AOB＝∠αB.作∠AOB，使∠AOB＝eq\f(1,2)∠αC.以∠AOB的頂點為圓心畫弧D.作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β5.如圖，用尺規(guī)作圖作∠AOC＝∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫?、?，分別交OA，OB于點E，F(xiàn)，那么第二步的作圖痕跡②的作法是(D)A.以點F為圓心，OE長為半徑畫弧B.以點F為圓心，EF長為半徑畫弧C.以點E為圓心，OE長為半徑畫弧D.以點E為圓心，EF長為半徑畫弧6.求作一個角等于已知角∠AOB，如圖，根據圖形，寫出作法.作法：(1)作射線O′B′；(2)以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA于點C，交OB于點D；(3)以點O′為圓心，以OC的長(或OD的長)為半徑畫弧，交O′B′于點D′；(4)以點D′為圓心，以CD的長為半徑畫弧，交前面的弧于點C′；(5)過點C′作射線O′A′.∠A′O′B′就是所求作的角.7.如圖，已知∠α，用尺規(guī)作圖作∠β，使∠β＝2∠α.不寫作法，但要保留作圖痕跡.解：如圖所示：所以∠β即為所求.8.如圖，已知∠AOB，點P在OA上，請以P為頂點，PA為一邊作∠APC＝∠O.(不寫作法，但必須保留作圖痕跡)解：如圖所示，∠APC即為所求(答案不唯一).中檔題9.如圖，用尺規(guī)作圖：“過點C作CN∥OA”，其作圖依據是(B)A.同位角相等，兩直線平行B.內錯角相等，兩直線平行C.同旁內角相等，兩直線平行D.同旁內角互補，兩直線平行10.如圖，已知∠1和∠2(∠1＞∠2)，用尺規(guī)作圖求作∠3，使∠3＝∠1－∠2.(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡).解：如圖所示，∠3即為所求.11.如圖，已知∠α和直角∠AOB，在∠AOB的內部以點O為頂點作∠β，使∠β＝90°－∠α.(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)解：如圖所示，∠AOC即為所求.12.尺規(guī)作圖(不寫作法，只保留作圖痕跡，寫出結論).已知：直線AB，點P在直線AB外.(1)求作：直線MN，使直線MN經過點P，并且MN∥AB；(2)說明所作直線MN∥AB的理由.解：(1)如圖，直線MN即為所求.(2)因為∠EPF＝∠PAB，所以MN∥AB.13.如圖，點P在∠AOB的內部.(1)畫圖：①過點P畫AO的平行線，交OB于點C；②過點P畫OB的平行線，交OA于點D；(2)若∠AOB＝60°，求∠CPD的度數(shù).解：(1)如圖所示.(2)因為PC∥AO，所以∠CPD＝∠PDA.因為PD∥BO，所以∠PDA＝∠AOB.所以∠CPD＝∠AOB＝60°.

回顧與思考(二)相交線與平行線分點突破知識點1對頂角、余角、補角1.如圖，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，這是根據(C)A.直角都相等B.等角的余角相等C.同角的余角相等D.同角的補角相等2.如果∠A＝35°，那么∠A的余角為55°，∠A的補角為145°.3.如圖，直線a，b相交，∠2＝3∠1，則∠3＝45°.知識點2與垂直有關的概念及性質4.如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則圖中能表示點到直線距離的線段共有(D)條條條條5.如圖，AB⊥CD于點B，BE是∠ABD的平分線，則∠CBE的度數(shù)為135°.6.如圖所示，想在河堤兩岸搭建一座橋，搭建方式最短的是PN，理由是垂線段最短.知識點3同位角、內錯角、同旁內角7.(2022·金華)如圖，∠B的同位角可以是(D)A.∠1B.∠2C.∠3D.∠48.如圖所示，下列說法不正確的是(D)A.∠1和∠4是內錯角B.∠1和∠3是對頂角C.∠3和∠4是同位角D.∠2和∠4是同旁內角知識點4平行公理9.如圖，直線a∥c，∠1＝∠2，那么直線b，c的位置關系是