三次方程的代數(shù)解法

三次方程的代數(shù)解法

根據(jù)文獻(xiàn)，本文中使用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的。早期人們認(rèn)為一切自然問(wèn)題都可最后歸于數(shù)學(xué)問(wèn)題,而數(shù)學(xué)問(wèn)題又都可以歸于代數(shù)方程.盡管現(xiàn)在代數(shù)學(xué)研究的課題是研究各種代數(shù)的結(jié)構(gòu),但求一元高次方程的根在許多實(shí)際問(wèn)題中還是經(jīng)常碰到的.然而現(xiàn)在中學(xué)教學(xué)大綱里對(duì)這部分的內(nèi)容可以說(shuō)基本上沒(méi)有,而在大學(xué)里也不講,這是令人費(fèi)解的.四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法,有各自的求根公式,可見(jiàn)參考文獻(xiàn).在文獻(xiàn)中,作者給出了三次方程的代數(shù)解法,即卡當(dāng)公式.文獻(xiàn)中給出了三次方程的三角解法.本文中應(yīng)用行列式給出三次、四次方程的兩種解法.其過(guò)程是非常自然的,也是容易理解接受的.令三次方程的一般形狀是f(x)=x3+bx2+cx+d=0(其中b,c,d是常數(shù)).設(shè)x=y+h(其中h是待定的常數(shù))代入f(x)中得到選取,則(1)式可化簡(jiǎn)為φ(y)=y3+py+q其中,故不失一般性,可令三次方程的一般形狀是x3+3ux+v=0(其中u,v是常數(shù)).接下來(lái)我們將給出三次方程x3+3ux+v=0(其中u,v是常數(shù))的根的求法.方法一:構(gòu)造三階循環(huán)行列式因?yàn)槠渲笑厥侨螁挝桓?=1,兩邊都取行列式可得由于有所以要求三次方程的根只用確定b,c的值即可.對(duì)于三次方程x3+3ux+v=0(其中u,v是常數(shù))而言,通過(guò)比較系數(shù)可知,則,取,令,則原方程的3個(gè)根分別為方法一是通過(guò)三階循環(huán)行列式與三次方程根之間的關(guān)系來(lái)求解的,接下來(lái)我們將構(gòu)造一個(gè)特殊的二次方程,進(jìn)而求出原三次方程的根.方法二:構(gòu)造三階行列式,則化簡(jiǎn)得情形1當(dāng)u=0時(shí),則原方程x3+3ux+v=0即為x3=-v,所以方程的根為其中ω是三次單位根ω3=1.情形2當(dāng)u≠0時(shí),令(2)式的Δ=v2+4u3.若Δ=v2+4u3=0,則原方程x3+3ux+v=0可分解為,所以原方程x3+3ux+v=0的根為若Δ=v2+4u3≠0,設(shè)(2)式的兩不等實(shí)根為y1與y2,且滿足,y1·y2=-u,則u=-y1·y2,v=-y1·y2(y1+y2),所以原三次方程x3+3ux+v=0為變形可得則例:解方程解方法一.因?yàn)閡=1,,所以,q=-2,則解方法二.因?yàn)閡=1≠0,且,方程(2)的兩不等實(shí)根為y1=-2與(另一情況答案一致),所以方程的三根為下面將應(yīng)用行列式的方法繼續(xù)給出四次方程的求根公式.令四次方程的一般形狀是f(x)=x4+bx3+cx2+dx+f=0(其中b,c,d,f是常數(shù)).設(shè)x=y+h(其中h是待定的常數(shù))代入f(x)中得到選取,則(3)式可化簡(jiǎn)為φ(y)=y4+uy2+vy+t的形式,故不失一般性,可令四次方程的一般形狀是x4+ux2+vx+t=0(其中u,v,t是常數(shù)).接下來(lái)將給出四次方程x4+ux2+vx+t=0(其中u,v是常數(shù))的根的求法.解先構(gòu)造四階循環(huán)行列式,因?yàn)橛捎谝约坝谑莿t方程x4-(2c2+4bd)x2+4c(b2+d2)x+(c4-b4-d4-4bdc2+2b2d2)=0的4個(gè)根為所以要求四次方程的根只用確定b,c,d的值即可(此時(shí)假設(shè)c≠0,若c=0則可轉(zhuǎn)化成二次方程求解).對(duì)于四次方程x4+ux2+vx+t=0(其中u,v是常數(shù))而言,通過(guò)比較系數(shù)可得整理可得(4)式是關(guān)于c2的三次方程,用本文中前半部分的方法,進(jìn)而可得其解c0,于是又因?yàn)?可確定b與d的符號(hào),進(jìn)而可得其解b0與d0,故原四次方程的根為低階行列式有著令人嘆為觀止的應(yīng)用,譬如:線性方程組、多元一次方程組的解、數(shù)列問(wèn)題、因式分解、解析幾何、立體幾何等.與數(shù)學(xué)中那些精妙的思路相比,筆者更偏愛(ài)那些能由基礎(chǔ)知識(shí)與技能構(gòu)造出來(lái)的解法:自然、簡(jiǎn)潔.1900年HilbertD在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名演講,他在結(jié)尾處指出:“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著,這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋在一邊.數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的.”這種真知灼見(jiàn)警醒著每個(gè)數(shù)學(xué)教