江蘇省蘇州市常熟市2020-2021學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷

20202021學年江蘇省蘇州市常熟市高二（下）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題（共8小題）.1．命題甲：對任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命題乙：f（x）在（a，b）內是單調遞增的，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．將4封不同的信投入3個不同的信箱，不同的投法種數(shù)為（）A． B． C．34 D．433．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，則a0+a2+a4+a6＝（）A．8 B．6 C．5 D．45．如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有（）A．72種 B．96種 C．108種 D．120種6．設a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，則a＝（）A．0 B．1 C．11 D．127．函數(shù)f（x）＝x2﹣xsinx的圖象大致為（）A． B． C． D．8．已知定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），已知f（1）≠0，且當x＞0時，有xlnx?f′（x）＜﹣f（x）成立，則使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、多選題（每小題5分）.9．若直線是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，則函數(shù)f（x）可以是（）A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex10．下列等式正確的是（）A．C＝C B．A﹣A＝n2A C．A＝nA D．nC＝C+kC11．已知（+3x2）n展開式中，各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992，則下列結論正確的為（）A．展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為25 B．展開式中二項式系數(shù)最大的項只有第三項 C．展開式中系數(shù)最大的項只有第五項 D．展開式中有理項為第三項、第六項12．已知函數(shù)f（x）＝xcosx﹣sinx，下列結論中正確的是（）A．函數(shù)f（x）在時，取得極小值﹣1 B．對于?x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立 C．若0＜x1＜x2＜π，則 D．若，對于恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1三、填空題（每小題5分）.13．（﹣3）7的展開式中x3的系數(shù)為．14．已知a為實數(shù)，若函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的極小值為0，則a的值為．15．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+lnx有兩個不同的極值點x1，x2，則實數(shù)a的取值范圍為．16．有8個座位連成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且僅有兩個空位相鄰且甲、乙兩人都在丙的同側，則共有種不同的坐法．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，e]上的最大值和最小值．18．用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù)．（1）在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有多少？（2）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有多少？（3）在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第幾個？19．將4個編號為1，2，3，4的不同小球全部放入4個編號為1，2，3，4的4個不同盒子中．求：（Ⅰ）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？（Ⅱ）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？（Ⅲ）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？（Ⅳ）把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？20．已知在（﹣）n的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56：3．（1）求展開式中的所有有理項；（2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項．（3）求n+++…+9n﹣1的值．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx++a．（1）當a＝﹣時，求函數(shù)f（x）在（2，f（2））處的切線方程；（2）當a∈（0，ln2），證明：函數(shù)g（x）＝exf（x）存在唯一極值點x0，且g（x0）＞0．22．已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣aex+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定義域內是單調函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當a＝1時，求證：對任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cosx成立．參考答案一、單項選擇題（每小題5分）.1．命題甲：對任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命題乙：f（x）在（a，b）內是單調遞增的，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：對任意x∈（a，b），有f′（x）＞0，則f（x）在（a，b）內是單調遞增的，則甲是乙的充分條件，f（x）在（a，b）內是單調遞增的，則對任意x∈（a，b），有f′（x）≥0，則甲是乙的不必要條件，故甲是乙的充分不必要條件，故選：A．2．將4封不同的信投入3個不同的信箱，不同的投法種數(shù)為（）A． B． C．34 D．43解：每封信都有3種不同的投法由分步計數(shù)原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34．故選：C．3．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．解：函數(shù)f（x）＝，x∈，f′（x）＝1﹣2sinx，令f′（x）＝0，解得x＝．∴函數(shù)f（x）在內單調遞增，在內單調遞減．∴x＝時函數(shù)f（x）取得極大值即最大值．＝﹣＝．故選：B．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，則a0+a2+a4+a6＝（）A．8 B．6 C．5 D．4解：∵（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝8①，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2+…﹣a7＝0②，則①+②，并除以2，可得a0+a2+a4+a6＝4，故選：D．5．如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有（）A．72種 B．96種 C．108種 D．120種解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法（此前三步已經(jīng)用去三種顏色）；第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有3種方法．所以，不同的涂色種數(shù)有4×3×2×（1×1+1×3）＝96種．故選：B．6．設a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，則a＝（）A．0 B．1 C．11 D．12解：∵a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a＝（52﹣1）2021+a＝×522021﹣×522020+522016+…+×52﹣+a能被13整除，∴﹣+a＝﹣1+a能被13整除，則a＝1，故選：B．7．函數(shù)f（x）＝x2﹣xsinx的圖象大致為（）A． B． C． D．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣xsinx＝f（x），且定義域為R，∴f（x）為偶函數(shù)，故排除選項D；f（x）＝x（x﹣sinx），設g（x）＝x﹣sinx，則g′（x）＝1﹣cosx≥0恒成立，∴g（x）單調遞增，∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＝0，∴當x＞0時，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）單調遞增，故排除選項A、B；故選：C．8．已知定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），已知f（1）≠0，且當x＞0時，有xlnx?f′（x）＜﹣f（x）成立，則使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：令g（x）＝f（x）?lnx（x＞0），所以g′（x）＝f′（x）lnx+，當x＞0時，有xlnx?f′（x）+f（x）＜0，得f′（x）lnx+＜0，則g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上單調遞減，且g（1）＝0m當x＞1時，f（x）lnx＜0，得f（x）＜0，當0＜x＜1時，f（x）lnx＞0，得f（x）＜0，因為f（x）為連續(xù)函數(shù)，且f（1）≠0，所以f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，所以當x＜0時，f（x）＞0，不等式（x2﹣4）f（x）＞0，即或，解得x＜﹣2或0＜x＜2，則x的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．若直線是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，則函數(shù)f（x）可以是（）A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex解：直線的斜率為k＝，由f（x）＝的導數(shù)為f′（x）＝﹣，即有切線的斜率小于0，故A不能選；由f（x）＝x4的導數(shù)為f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以選；由f（x）＝sinx的導數(shù)為f′（x）＝cosx，而cosx＝有解，故C可以選；由f（x）＝ex的導數(shù)為f′（x）＝ex，而ex＝，解得x＝﹣ln2，故D可以選．故選：BCD．10．下列等式正確的是（）A．C＝C B．A﹣A＝n2A C．A＝nA D．nC＝C+kC解：∵＝，而＝?＝，故A錯誤；∵﹣＝（n+1）n（n﹣1）???（n﹣m+1）﹣n（n﹣1）???（n﹣m+1）＝n（n﹣1）???（n﹣m+1）[n+1﹣1]＝n2（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+1），n2＝n2（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+1），故B正確；∵＝n（n﹣1）???（n﹣m+1），n＝n?（n﹣1）（n﹣2）???（n﹣m+1），故C正確；n＝n，+k＝+k＝+＝，故D錯誤，故選：BC．11．已知（+3x2）n展開式中，各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992，則下列結論正確的為（）A．展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為25 B．展開式中二項式系數(shù)最大的項只有第三項 C．展開式中系數(shù)最大的項只有第五項 D．展開式中有理項為第三項、第六項解：∵（+3x2）n展開式中，各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992，∴4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5，故展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為＝24，故A錯誤．二項展開式的通項公式為Tr+1＝?3r?，展開式中，故當r＝2或3時，即第三項、第四項的二項式系數(shù)最大，故B錯誤．故當r＝4時，展開式中第r+1項的系數(shù)?3r最大，即第五項得系數(shù)最大．由于（+3x2）n展開式的通項公式為Tr+1＝?3r?，故C正確．故當r＝2或5時，展開式中為理項，即第三項、第六項為有理項，故D正確．故選：CD．12．已知函數(shù)f（x）＝xcosx﹣sinx，下列結論中正確的是（）A．函數(shù)f（x）在時，取得極小值﹣1 B．對于?x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立 C．若0＜x1＜x2＜π，則 D．若，對于恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1解：因為f′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx，當x∈[0，π]時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減，所以函數(shù)f（x）在x＝處，不是極值點，故A錯誤．所以對于?x∈[0，π]，f（x）≤f（0）＝0，故B正確，令g（x）＝，g′（x）＝，由上可知，當x∈（0，π）時，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π）上是減函數(shù)，若0＜x1＜x2＜π所以，即，故C正確，當x＞0時，“”等價于“sinx﹣ax＞0”，令g（x）＝sinx﹣cx，g′（x）＝cosx﹣c，當c≤0時，g（x）＞0對x∈（0，）恒成立，當c≥1時，因為對?∈（0，），g′（x）＝cosx﹣c＜0，所以g（x）在區(qū)間（0，）上單調遞減，從而，g（x）＜g（0）＝0，對?x∈（0，）恒成立，當0＜c＜1時，存在唯一的x0∈（0，）使得g（x0）＝cosx0﹣c＝0成立，若x∈（0，x0），g′（x0）＞0，g（x）在（0，x0）上單調遞增，且g（x）＞g（0）＝0，若x∈（x0，），g′（x0）＜0，g（x）在（x0，）上單調遞減，且g（x）＝sinx﹣cx＞0，在（x0，）上恒成立，必須使g（）＝sin﹣c＝1﹣≥0恒成立，即0＜c≤，綜上所述，當c≤時，g（x）＞0，對任意x∈（0，）恒成立，當c≥1時，g（x）＜0，對任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b，對x∈（0，）恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1，所以D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分．13．（﹣3）7的展開式中x3的系數(shù)為﹣21．解：（﹣3）7的展開式的通項．由，得r＝1．∴（﹣3）7的展開式中x3的系數(shù)為．故答案為：﹣21．14．已知a為實數(shù)，若函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的極小值為0，則a的值為．解：由已知f′（x）＝3x2﹣6ax＝3x（x﹣2a），又a＞0，所以由f′（x）＞0得x＜0或x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，所以f（x）在x＝2a處取得極小值0，即f（x）極小值＝f（2a）＝（2a）3﹣3a（2a）2+2a2＝﹣4a3+2a2＝0，又a＞0，解得a＝，故答案為：．15．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+lnx有兩個不同的極值點x1，x2，則實數(shù)a的取值范圍為（0，）．解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）＝2ax﹣2+＝，∵f（x）有兩個不同的極值點x1，x2，∴f′（x）＝0有兩個不相等的正實數(shù)根，即2ax2﹣2x+1＝0兩個不相等的正實數(shù)根x1，x2，∴，解得：0＜a＜，故答案為：（0，）．16．有8個座位連成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且僅有兩個空位相鄰且甲、乙兩人都在丙的同側，則共有480種不同的坐法．解：根據(jù)題意，分3步進行分析：①將甲乙兩人安排在丙的同側，有2A22＝4種安排方法，②將丁安排在三人的空位中，有4種安排方法，③將兩個空位看成一個整體，和剩下的2個空位安排到4人形成的5個空位中，有5C42＝30種安排方法，則有4×4×30＝480種安排方法，故答案為：480．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，e]上的最大值和最小值．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣x2+3，定義域為（0，+∞），∴f'（x）＝﹣x＝，令f'（x）＞0，則0＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1）；令f'（x）＜0，則x＞1，∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（1，+∞）．（2）f（x），f'（x）在區(qū)間[，e]上隨x的變化情況如下表：x（，1）1（1，e）ef'（x）+0﹣f（x）2﹣↑極大值↓4﹣e2∴f（x）max＝，f（x）min＝4﹣e2．18．用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù)．（1）在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有多少？（2）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有多少？（3）在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第幾個？解：（1）依題意，所有奇數(shù)的個數(shù)為＝36個；（2）數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有＝36個；（3）比30124小的數(shù)的個數(shù)為：＝48個，所以在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第49個．19．將4個編號為1，2，3，4的不同小球全部放入4個編號為1，2，3，4的4個不同盒子中．求：（Ⅰ）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？（Ⅱ）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？（Ⅲ）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？（Ⅳ）把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？解：（Ⅰ）每個盒至少一個球即每個盒子均有一球，也就是4個元素的排列，故有A44＝24種不同的放法；（Ⅱ）恰有一個空盒，說明恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，故共有C42A43＝144種不同的放法；（Ⅲ）先選出1個小球，放到對應序號的盒子里，有C41＝4種情況，其它小球的放法只有2種，例如：4號球放在4號盒子里，其余3個球的放法為，（2，3，1），（3，1，2），共2種，故每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有2C41＝8種；（Ⅳ）分2步進行分析，從4個盒子中選出一個盒子當作空盒，C41＝4種選法，再將其余3個盒子裝球，由題意，3個盒子分別裝2，1，1個球，只要選一個盒子裝2個球，另外的2個盒子一定是每個裝一個球，有C31＝3種選法，所以，總方法數(shù)為3×4＝12種．20．已知在（﹣）n的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56：3．（1）求展開式中的所有有理項；（2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項．（3）求n+++…+9n﹣1的值．解：（1）由第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是：＝56：3，解得n＝10．因為通項：Tr+1＝?（﹣2）r?，當5﹣為整數(shù)，r可取0，6，于是有理項為T1＝x5和T7＝13440．（2）設第r+1項系數(shù)絕對值最大，則．解得，于是r只能為7．所以系數(shù)絕對值最大的項為T8＝﹣15360．（3）n+++…+9n﹣1＝10+9+92?+…+910﹣1?＝＝＝．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx++a．（1）當a＝﹣時，求函數(shù)f（x）在（2，f（2））處的切線方程；（2）當a∈（0，ln2），證明：函數(shù)g（x）＝exf（x）存在唯一極值點x0，且g（x0）＞0．解：（1）當a＝﹣時，f（x）＝lnx+﹣．f′（x）＝﹣＝，∴f′（2）＝，f（2）＝ln2，∴函數(shù)f（x）在（2，f（2））處的切線方程為：y﹣ln2＝（x﹣2），整理為：x﹣4y+4ln2﹣2＝0．（2）證明：函數(shù)g（x）＝exf（x）＝ex（lnx++a），x∈（0，+∞）．g′（x）＝ex（lnx+﹣+a），設h（x）＝lnx+﹣+a，∵?x∈R，ex＞0，因此g′（x）與h（x）的符號相同．h′（x）＝﹣+＝，顯然，當x＞0時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調遞增．又h（1）＝0+2﹣1+a＝1+a＞0，h（）＝ln+4﹣4+a＝a﹣ln2＜0．（a∈（0，ln2）），∴存在唯一x0∈（，1），使得h（x0）＝0．對于g（x），則有x∈（0，x0）時，g′（x）＜0；x∈