利用行列式分解因式

用行列式分解因式的幾種方法摘要因式分解作為初等數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，被廣泛的應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)的各個方面，而我們也學(xué)習(xí)過很多種因式分解的方法，例如：提公因式法、運用公式法、十字相乘法、湊數(shù)法等，它們都符合一定特征的多項式的分解。而行列式是解決高等代數(shù)問題的重要工具之一，本文就通過各種典型例子，用高等數(shù)學(xué)工具行列式來解決初等代數(shù)中的一些因式分解問題。關(guān)鍵詞因式分解行列式多項式引言因式分解(factorization)，是指把一個多項式化為幾個最簡整式的形式，也可以稱為分解因式。它是初等數(shù)學(xué)中的重點，也是一個難點，但是它也是初等數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，而被廣泛引用于初等數(shù)學(xué)解高次方程、求根、作圖等各個方面，是我們解決初等數(shù)學(xué)問題的有力工具之一。但因式分解方法靈活、技巧性強，常用的方法就有提公因式法、運用公式法、湊數(shù)法、十字相乘法、待定系數(shù)法等好幾種方法，它們都各自適用于一些符合各自特點的多項式。行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式，它無論在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中(比如在換元積分法中)，行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著非常重要的作用。線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支，我們知道一次方程叫做線性方程，而討論線性方程及線性運算的代數(shù)叫做線性代數(shù)，在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。行列式的概念最早由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)考和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解付題方法》的著作，意思就是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和展開已經(jīng)有了清楚的敘述。而歐洲第一個提出行列式概念的是德國數(shù)學(xué)家、微積分學(xué)的奠基人之一萊布尼茨(1693年)，1750年克萊姆在他的《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》中發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式(即克萊姆法則)。而德國數(shù)學(xué)家雅克比也于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家柯西，他大大發(fā)展了行列式理論，在行列式記號中他把元素排成方陣并首次采用雙重足標(biāo)的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進并證明了laplace的展開定理。它具有以下相關(guān)性質(zhì)：行列式中某一行元素的公因子可以提到行列式符號的外邊來?；蛘哒f可以吧這個數(shù)乘到行列式的某一行上。把行列式某一行的元素乘以同一個數(shù)后加到另一行的對應(yīng)元素上，行列式不變。(3)把一個行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一個數(shù)k，等于以數(shù)k乘這個行列式。在新課改中，高中數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)初步涉及了行列式這個新內(nèi)容，為此，初學(xué)行列式者往往會產(chǎn)生一種與初等數(shù)學(xué)完全隔離的感覺，好像它和我們的初等數(shù)學(xué)沒什么關(guān)系，而行列式作為解決高等數(shù)學(xué)的重要工具，如果我們能用高等數(shù)學(xué)的重要工具來解決一些初等數(shù)學(xué)中的難點問題——因式分解，那么，同學(xué)們不僅又多掌握了一種因式分解的方法，而且通過學(xué)習(xí)用高等數(shù)學(xué)知識來解決初等數(shù)學(xué)問題，無疑會大大增加同學(xué)們對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，使高等數(shù)學(xué)在初學(xué)者眼里再不是神秘莫測、不可捉摸了。無形之中就為它們進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定了一定的知識基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ)。下面我就從一些比較有特點的多項式來分析它們的與行列式之間的聯(lián)系，通過行列式的有關(guān)性質(zhì)來分解這個多項式，然后我們就可以解決這一類多項式的分解方法了。2．可以轉(zhuǎn)化為二階行列式的多項式分解大學(xué)初學(xué)行列式，我們就知道了行列式中最簡單的二階行列式的基本計算方法：aaD=aa-aa=11 211122 1221aa12 22那么，我們是不是可以把一些代數(shù)式看成兩個式子的差，而每一個式子又可以看成兩個因子的積，也就是說，總能寫成D=aa-aa這樣的形式，然后轉(zhuǎn)化為二階行列式，根據(jù)行列式的有關(guān)性質(zhì)進1122 1221行因式分解那？我們通過下面的兩個有代表性的例題來嘗試一下。例1：分解因式(1)(Cd-ab)2—4bc(a-cXb—d)(2)m5+m+1(3)x4+6x3+x2-24x一20(4)ab2c3+bc2a3+ca2b3一cb2a3一ba2c3一ac2b3解題過程：(1)(cd一ab)2一4bc(a一c)(b一d)分析：根據(jù)二階行列式對角線展開法則，要想將一個多項式轉(zhuǎn)化為二階多項式，不但要注意主對角線和副對角線上的元素，還要注意主對角線和副對角線的方向。因此，根據(jù)轉(zhuǎn)化公式D=aa-aa1122 2112我們先確定主對角線和副對角線上的元素。通過觀察及反復(fù)運算，我們將(Cd-ab)2分解為(Cd-ab)(Cd-ab)，將它們分開各自作為將要轉(zhuǎn)化的二階行列式的兩個主對角線元素，而對于副對角線元素我們也不能隨意分解，否則，將使計算無法進行下去，我們通過前面主對角線上的兩個元素發(fā)現(xiàn)，將多項式剩余的項4bc(a-C)(b-d)分解為2(ab-cb)?2(bc-cd)時，比較有利于我們進一步計算時提公因式。因此，我們將2(ab-cb)?2(bc-Cd)兩個副對角線元素。解：原式=(Cd一ab)(cd一ab)-2(ab-bc)2(bc一Cd)Cd一ab2(ab一bc)2(bc一Cd) Cd一abCd一ab ab+Cd一2bc2(bc-Cd)-(ab+Cd-2bc)Cd一ab1=(ab+Cd-2bc)2(bc-cd)-1=(ab+cd一2bc)(ab+cd一2bc)=(ab+cd一2bc)2(2)m5+m+1分析：觀察我們所要分解的行列式m5+m+1,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)公式D=aa-aa，我們將多1122 2112項式想辦法分解為兩個因式的差，經(jīng)過推導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)，把m5分解為m2m3作為我們要轉(zhuǎn)化的二階行列式的主對角線元素，而在標(biāo)準(zhǔn)公式中，為兩因式之差，因此，在不改變整體多項式符號的前提下，分解為(-1)(m+1)作為要轉(zhuǎn)化的二階行列式的副對角線元素。.一一.. m2m+1解：原式=m2m3-(-1)(m+1)=-1 m3m2m2+m+1-1m3-1m2 m2+m+1-1(m-1)(m2+m+1),一..八m2 1=(m2+m+1)-1m-1=(m2+m+1)(m3-m2+1)(3)x4+6x3+x2-24x-20分析：有(1)、(2)小題，我們要想把多項式X4+6X3+X2-24X-20轉(zhuǎn)化為二階多項式，首先要將該多項式轉(zhuǎn)化為兩個因式之差的形式，即找出要轉(zhuǎn)化為二階行列式的主對角線元素和副對角線元素，經(jīng)過觀察，我們發(fā)現(xiàn)將該多項式分解為X2(X2+6X+1)-4(6X+5)，即將X2(X2+6X+1)作為二階行列式的主對角線元素，而4(6X+5)作為二階行列式的副對角線元素。解：原式=X2(X2+6X+1)-4(6X+5)X2 6X+54 X2+6X+1X2-4 4-X24X2+6X+11

=(X2-4)4-1X2+6X+1=(X2-4)(X2+6X+5)=(X-2)(X+1)(X+2)(X+5)(4)ab2c3+bc2a3+ca2b3-cb2a3-ba2c3-ac2b3分析：咋一看，我們發(fā)現(xiàn)這個多項式比較繁瑣，好像很難轉(zhuǎn)化為二階行列式，但是，只要我們認(rèn)真觀察就會發(fā)現(xiàn)，在該多項式中每一項中都含有abc這個公因式，因此，我們只要先用最簡單的因式分解方法一一提公因式法法，將其中的公因式abc提出來，然后將含有相同元素的的因式結(jié)合在一起，再提取一次公因式，就會很容易發(fā)現(xiàn)將要轉(zhuǎn)化的二階行列式的各個主對角線元素和副對角線元素。但需要注意的是，這個復(fù)雜多項式需要轉(zhuǎn)化為三個簡單的二階行列式，然后結(jié)合分解的方法。]解：原式=abc￥bc2-b2c)+(a2C-ac2)+(ab2-a2b)=abc∣bc(c-b)+ac(a-c)+ab(b-a)]=abcbc+ac1a-abc1ab11b11cbca1=abcabc1acb1bca1=abcab-bcc-a0ac-bcb-a0ab-bcc-a=abcac-bcb-a=abcIab-bc)(b-a)-(c-a)(ac-bc)]=abcib(a-c)(b-a)-c(a-b)(c-a)]=abc(a-b)(c-a)(b-c)通過上面四個多項式的分解，我們發(fā)現(xiàn)，要想把一個多項式轉(zhuǎn)化為二階行列式來達到因式分解的目的，重點是將這個多項式轉(zhuǎn)化為兩個因式之差，也就是找到轉(zhuǎn)化為二階多項式的的兩個主對角線元素和副對角線元素。但在這里需要注意的是在找主對角線元素和副對角線元素時，不是隨意分解為兩個因式的差就可以了，要通過細(xì)致的觀察和大量的運算，盡可能的分解出含有公因式的項，，這樣就方便下面的計算了。比如在(1)、(2)小題中在主對角線確定的前提下，若將副對角線元素隨意分解為4bc?(a-C)(b-d)或者4bc(a-c)?(b-d)，下面的計算就很難進行下去了。所以在分解的過程中，還是要通過大量的計算和一定的方法，不能隨意為之。3．可以轉(zhuǎn)化為三階循環(huán)行列式的多項式分解aD=cbbcabcaa+b+ccba+b+ca+b+ca bc a111=(a+b+c)cabbca111=(a+b+C)CabbCa1=(a+b+c)cb0a一cc一b0b一ca一b(a+b+c)[(a=(a+b+c)一C)(a一b)一(b一C)(C一b)]a一cc一bb一ca一b=a3+b3+c3一3abc首先，我們先來認(rèn)真觀察一下上面的推導(dǎo)過程。上面是一個簡單的三階循環(huán)行列式，我們通過簡單的行列式性質(zhì)對它進行簡單的變形，轉(zhuǎn)化為了一個多項式，而這兒多項式形式比較特別，但是在我們的學(xué)習(xí)過程中還是經(jīng)常會碰到具有以上特征的多項式，它們用常規(guī)方法往往難以分解，那么，通過上面的轉(zhuǎn)化過程，我們通過你想推導(dǎo)，完全可以把這種類型的多項式轉(zhuǎn)化為一個三階循環(huán)行列式，然后再通過行列式的有關(guān)性質(zhì)來進行因式分解，我們通過下面的例題來驗證一下。例2：對X3+9y2+8-18Xy分解因式。分析：首先，我們觀察多項式X3+9y2+8-18Xy它與上面的標(biāo)準(zhǔn)式a3+b3+c3-3abc略有不同，那么，我們先將該多項式進行簡單的變形，使它更接近我們的標(biāo)準(zhǔn)式。X3+27y3+8-18Xy=X3+(3y)3+23-3?X?(3y)?2現(xiàn)在，我們就可以做下面的運算了。解：原式=X3+(3y)3+23-3?X?(3y).2X3y2=2X3y3y2XX+3y+2X+3y+2X+3y+2= 2 X 3y3y2 X1 1=(X+3y+2)2X3yy2X1=(X+3y+2)23y0 0X—23y—22-3yX-3y=(X+3y+2)X—22-3y3y-2X-3y=(X+3y+2)1(X-2)(X-3y)(3y-2)(2-3y)]=(X+3y+2)(X2+9y2-3Xy-2X-6y+4)4．可以轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式的多項式分解在行列式中，有一種特殊的行列式——范德蒙行列式，它在高等代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用，首先我們來看一下范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)形式及怎樣轉(zhuǎn)換為多項式。111D=MM1 2M2M21 2M(按第一行展開)3M23M2M22M3M23M+ 1M21M3M23M+ 1M21M2M22=MM2-MM2+MM2-MM2+MM2-MM223 32 13 31 12 21而在高等代數(shù)中，根據(jù)范德蒙行列式的性質(zhì)可以直接得到：D=(M-M)(M-M)(M-M)2 13 13 2因此，有以上性質(zhì)我們可以直接分解下面多項式：例3：分解因式：X2z+Xy2+yz2-Xz2-yX2-zy21 1 1解：原式=XyZ=(y-X)(Z-X)(Z-y)。X2y2Z25.可以轉(zhuǎn)化為”階行列式的多項式分解對于任意的多項式，R(X)=aXn+aXn-1+aXn-2+…+a可以寫成n階行列式01 2 nX-10 …000X-1…00R(X)=………………000 …X-1aaa…aaX+ann-1n-2201在此基礎(chǔ)上，我們降階行列式和提公因式法將R(X)進行分解。例4：分解因式：f(X)=5X4+24X3—15X2-118X+24X-100A 一, 0X-10解：原式=八00X-124-118-155X+24X -1 0 00 X -1 00 0 X -124 -118 5X2+24X-150X -1 00 X -124-1185X2+24X-15=(X+3)(5X-1)(X2+2X-8)=(X+3)(5X-1)(X+4)(X-2)X5X-1 5=(5X-1)0X124 2X+5=-(5X-1)X24-1—X2—5X+2X 1=3(5XT)83(X2+5X-2)X=3(5X-1)8L+1315—X2+—X+33=(5X-1)X+31(X+3)(X+2)X8X=(X+3)(5X—1)

81x+26.總結(jié)在初等代數(shù)中，我們學(xué)習(xí)過很多種方法因式分解的方法，有提公因式法、十字相乘法、應(yīng)用公式法等，它們都能分解符合一定特征的多項式。本文通過各種典型