一元二次函數(shù)、方程和不等式

人教2019A版必修第一冊章節(jié)復習與小結第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式知識導圖性質4可乘性：?______，?______性質5同向可加性：?________性質6同向同正可乘性：?______性質7可乘方性：a>b>0?_____n∈N，n≥1性質8可開方性：a>b>0?n∈N，n≥21不等式的性質性質1對稱性：a>b?____性質2傳遞性：a>b，b>c?____性質3可加性：a>b?________b<aa>cac>bcac>bcac<bcac>bdac>bdan>bn知識梳理無實根的圖象有兩個不等實根有兩個相等實根2一元二次不等式及其解法yyyOOO知識梳理3知識梳理一元二次方程根的分布問題一元二次方程根的分布問題求解一元二次方程根的分布問題的基本思路是：由一元二次方程構造一元二次函數(shù)，勾畫函數(shù)圖象，由圖象直觀地找出滿足題意的根的分布的條件，即列出關于判別式、根與系數(shù)關系、求根公式、函數(shù)值的符號、對稱軸等的不等式，通過解不等式解決根的分布問題【名師指津】題型歸納【例1】關于的方程22-2-3-2=0的兩根，一個小于1，一個大于1，求實數(shù)的取值范圍【審題指導】本題考查一元二次方程根的分布問題，因為此方程有兩根，所以2≠0,即≠0，另外要注意對的討論【規(guī)范解答】∵關于的方程22-2-3-2=0有兩個不同實根，∴2≠0又∵一個小于1，一個大于1，∴設f=22-2-3-2,則當>0時，f1<0,即2-2-3-2<0,整理得>-4,∴>0;當<0時，f1>0,即2-2-3-2>0,整理得<-4,∴<-4綜上所述，當∈-∞,-4∪0,∞時，方程22-2-3-2=0的兩根，一個小于1，一個大于1不等式中恒成立問題解有關不等式恒成立問題常用方法：（1）直接將參數(shù)從不等式中分離出來變成≥f（或≤f），從而轉化成f）求最值（2）如果參數(shù)不能分離，而可以分離，如g≤f（或g≥f），則f恒大于g的最大值或恒小于g的最小值，然后解關于參數(shù)的不等式（3）若不等式對于，參數(shù)都是二次的，則借助二次函數(shù)在某區(qū)間上恒大于0或恒小于0求解【名師指津】【例3】已知f=2-2a2a∈R，當∈［-1,∞時，f≥a恒成立，求a的取值范圍【審題指導】解答此類題要正確理解好f≥a恒成立的意義，一是可轉化為fmin≥a，二是重新構造新函數(shù)F=f-a≥0恒成立【規(guī)范解答】方法一：f=-a22-a2,此二次函數(shù)圖象的對稱軸為=a①當a∈-∞,-1時，f在［-1，∞上單調遞增，fmin=f-1=2a3要使f≥a恒成立，只需fmin≥a,即2a3≥a,解得-3≤a<-1;②當a∈［-1,∞時，fmin=fa=2-a2,由2-a2≥a,解得-1≤a≤1綜上所述，所求a的取值范圍為［-3,1］方法二：令g=2-2a2-a,由已知，得2-2a2-a≥0在［-1，∞上恒成立，即Δ=4a2-42-a≤0或解得-3≤a≤1即所求a的取值范圍為［-3,1］利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的方法基本不等式通常用來求最值問題：一般用ab≥a>0,b>0解“定積求和，和最小”問題，用ab≤解“定和求積，積最大”問題一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量、減少變元等，構造定值條件的方法和對等號能否成立的驗證【名師指津】若等號不能取到，則應用函數(shù)單調性來求最值，還要注意運用基本不等式解決實際問題【特別提醒】在解題過程中，一定要注意等號成立的條件【例4】設函數(shù)f=∈［0,∞（1）當a=2時，求函數(shù)f的最小值；（2）當0<a<1時，求函數(shù)f的最小值【審題指導】解答此題要明確a=2與0<a<1的區(qū)別，在利用基本不等式求最值時，要注意等號是否取到，若取不到，應怎樣求最值【規(guī)范解答】（1）把a=2代入f=得f==1-1∵∈［0,∞,∴1>0,>0,∴1當且僅當1=即=-1時，f取最小值此時，fmin=-12當0<a<1時，f=1-1若1則當且僅當1=時取等號，此時=-1<0（不合題意），因此，上式等號取不到設1>2≥0，則f1-f2=1［1-］,∵1>2≥0,∴1-2>0,11>1,21≥1,∴1121>1,而0<a<1,∴<1,∴f1-f2>0,∴f在［0，∞上單調遞增，∴fmin=f0=a函數(shù)與方程思想【名師指津】函數(shù)與方程思想不等式與函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系，相互轉化，有關求參數(shù)的取值范圍問題，用函數(shù)f=的單調性解決最值問題，實際應用問題等，都要首先考慮函數(shù)與方程思想【例6】已知不等式a2bc>0的解集為α,β，且0<α<β,求不等式c2ba<0的解集【審題指導】審題時要明確不等式的解集與方程的根的關系，以及根與系數(shù)的關系的應用【規(guī)范解答】由已知不等式可得a<0，且α、β為方程a2bc=0的兩根，∴由根與系數(shù)的關系可得方法一：∵a<0,∴由②得c<0，則c2ba<0可化為2>0①÷②，得由②得∴為方程的兩根又∵0<α<β,∴∴不等式的解集為{|<或>},即不等式c2ba<0的解集為{|<或>}方法二：∵a<0，由c2ba<0,得將①②代入，得αβ2-αβ1>0,即（α-1β-1>0∵0<α<β,∴0<∴所求不等式的解集為{|<或>}>0,b>0,則的最小值是A2BC4D5【解析】選C∵a>0,b>0,∴當且僅當a=b時取等號∴的最小值為4跟蹤訓練上定義運算⊙：a⊙b=ab2ab,則滿足⊙-2<0的實數(shù)的取值范圍為（）A0,2B-2,1C-∞,-2∪1,∞D-1,2【解析】⊙-2=-22-2=2-2=2-1,又⊙-2<0，則2-1<0，故這個不等式的解集是（-2，1）故選B2a1≥0對于一切∈0,］成立，則a的最小值為（）A0B-2C-D-3【解析】≥=-對于一切∈0,］成立，又由函數(shù)f=-在∈0,］上為增函數(shù)，可得f的最大值為f=從而得a的最小值為a2<0的解集是（1,m，則m=____【解析】∵a2-6a2<0的解集是（1，m），∴a＞0且1、m是方程a2-6a2=0的兩個根