線性二次型最優(yōu)控制

#/107.2應用Matlab求解二次型最優(yōu)控制在Matlab中，函數(shù)［K,P,E］二lqr(A,B,Q,R)(7-11)給出了相應二次型最用控制問題的解。函數(shù)輸出變量中的K是最優(yōu)反饋增益矩陣，P是Riccati方程(7-7)的對稱正定解矩陣，E是最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)的極點。例7-2(P例7.2.2)對系統(tǒng)X1902例7-2(P例7.2.2)對系統(tǒng)X1902IX3丿'01000135-27-9x)1X2

人X3丿狀態(tài)反饋控制器u(t)二-Kx(t)，使系統(tǒng)性能指標J=Is0u，XTIx+u2=QR=1設計一個最優(yōu)dt最小(Q為3階單位矩陣)。解：系統(tǒng)為能控標準型，存在狀態(tài)反饋控制器，執(zhí)行以下m-文件A二［010;001;-35-27-9］；B二［0;0;1］；Q二［100;010;001］；R二［1］；［K,P,E］二lqr(A,B,Q,R)可得K二0.01430.11070.0676P=4.26252.49570.01432.49572.81500.11070.01430.11070.0676E=-5.0958-1.9859+1.7110i-1.9859-1.7110i因此，系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為u二-［0.01430.11070.0676］x檢驗最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)對初始狀態(tài)x=［100］t的響應，執(zhí)行以下m-文件0

A二[010;001;-35-27-9]；B二[0；0；1];K二[0.01430.11070.0676]sys=ss(A-B*K,eye(3),eye(3),eye(3))；t=0:0.01:8x=initial(sys,[1;0;0],t)x1二[100]*x'；x2二[010]*x'；x3二[001]*x'；subplot(2,2,1)；plot(t,x1)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x1')subplot(2,2,2)；plot(t,x2)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x2')subplot(2,2,3)；plot(t,x3)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x3')得到如圖響應曲線t(SCG)0246E例7-3（嚅例723得到如圖響應曲線t(SCG)0246E例7-3（嚅例723）1系統(tǒng)x=02X3丿I001-31x+2人X3丿u,y=(10)x,其中x=(xxx)T=(yyy)T，設r為參考輸入，控制信號123u=k(r-x)-(kx+kx)=kr-Kx(如圖所示)。為了獲得快速響應，加權(quán)系數(shù)1122331〔10000]q.>>R，性能指標為Ji?xT010x+0.01u2dtii0I001JR=Q求r=0條件下系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器u(t)二-Kx(t)，使系統(tǒng)性能指標最小,并檢驗最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)在r=1(t)的輸出相應。解：系統(tǒng)為能控標準型，存在狀態(tài)反饋控制器，當r=0，執(zhí)行以下m-文件A二［010;001;0-2-3］；B二［0；0；1］；Q二［10000;010;001］；R二［0.01］；［K,P,E］二lqr(A,B,Q,R)可得K二100.000053.120011.6711u二-［10053.1211.6711］x最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=Ax+Bu=Ax+B(-Kx+kr)=(A-BK)x+Bkr11輸出方程為y二Cx二［100］x執(zhí)行以下m-文件檢驗r二1(t)的輸出響應A二［010;001;0-2-3］；B二［0;0;1］；C二［100］；D二［0］；K二—［100.000053.120011.6711］；k1=K(1)；k2=K(2)；k3=K(3)；%閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型參數(shù)AA二A-B*K；BB二B*k1；CC=C；DD二D；t=0:0.01:5［y，x，t］=step(AA,BB,CC,DD,1,t)；plot(t,y)gridxlabel('t(sec)')；ylabel('outputy=x1')7.3離散時間系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制考慮離散自治系統(tǒng)x(k+1)二Ax冋(7-12)1系統(tǒng)的性能指標為J二—蘭xt(k)Qx(k)(7-13)Ik^01類似于連續(xù)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，對給定的對稱正定矩陣Q,由(7-12)的穩(wěn)定性，可得離散時間Lyapunov方程

7-14)AtPA-P+Q二7-14)存在一個正定對稱解矩陣p，因此V(x(k))=xt(k)Px(k)(7-15)是系統(tǒng)(7-12)的一個Lyapunov函數(shù)。它沿系統(tǒng)(7-12)任意軌跡的差分AV(x(k))二V(x(k+1))—V(x(k))二xt(k+1)Px(k+1)—xt(k)Px(k)=xt(k)AtPAx(k)—xt(k)Px(k)=xt(k)[AtPA—P]x(k)利用(7-14)可得V(x(k+1))—V(x(k))=—xt(k)Qx(k)(7-16)(7-16)兩邊蘭并利用系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性可得k=o八2另xT(k)Qx(k)二2另[V(x(k))-V(x(k+1))]k=0k=0—(7⑸>[xt(k)Px(k)—xt(k+1)Px(k+1)](中間相抵消)2k=0J=-xT(0)Px(0)(7-17)這表明，只要能從(7-14)求得正定對稱矩陣P，代入(7-17)就可以求得性能指標J,而無須求無窮級數(shù)(7-13)。例7-4(P]95例7-4(P]95例7.3.1)系統(tǒng)x(k+1)=1)x(k)，-1丿⑴x(0)=10丿—0.25<a<0，確定參數(shù)a，使JxT(k)Qx(k)，Q=I最小。2k=0解：系統(tǒng)極點是s=^,-1+a，因為-0.25<a<0，系統(tǒng)的兩個極點在單位圓內(nèi),1,2系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)性能指標為J=-xT(0)Px(0)2由離散時間的Lyapunov方程解出對稱正定的P(1*ap11p12p11P](1*ap11p12p11P]12p22IP12P22丿(1+100)=01丿可得2ap+a2p+1=01222

p+(a-2)p-ap=0111222p-2p+1=01112三個方程解三個未知數(shù)2+a2a—1a(2+a)a(2+a)a—13a(2+a)a(2+a力對-0.25<a<0范圍內(nèi)的參數(shù)值，P>0，因此系統(tǒng)的性能指標為J=-XT(0)Px(0)J=-XT(0)Px(0)=-(1220)p11Ip12p12p22m1=一p2112+a2

—2a(2+a)dJ=3dJ=3—(a—1)2dta2(2+a)2對于—0.25<a<0，>0,表明J單調(diào)上升，于是J在a=—0.25時達到最小值。dtmin2+min2+0.2520.5(2-0.25)=2.3571以下進一步討論離散系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制問題。x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)(7-18)二次型性能指標為J=丄無[xt(k)Qx(k)+ut(k)Ru(k)](7-19)2k=0Q、R均為對稱正定矩陣。希望設計一個線性狀態(tài)反饋控制器使(7-19)最小u(k)=—Kx(k)(7-20)類似可以得到，若(7-18)能控，則線性二次型最優(yōu)控制問題有解，且最優(yōu)控制器為：u(器為：u(k)=-(R+BtPB)-1BTPAx(k)7-21)其中P滿足離散時間的Riccati方程：AtPA-AtPB(R+BtPB)-1BtPA-P+Q=0(7-22)例7-5(P例7.3.2)系統(tǒng)x(k+1)=x(k)+u(k)，求最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器，使性196能指標J=-藝［x2(k)+u2(k)］最小。k=0解：系統(tǒng)A=1，B=1，且Q=1，R=1Riccati方程為：一p(1+p)-1p+1=0fp2-p-1=0該方程的解為：p=—(1+<5)，由于P是正定的，故取p=—(1+J5)^2^2最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為：u(k)=一(1+p)-ipx(k)=-1-—(1+同Xu(k)=一(1+p)-ipx(k)=-最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)為：