絕對值問題的求解方法

絕對值問題的求解方法、定義法例1——例1——\x-x-\997=0若方程7只有負數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是：分析與解因為方程只有負數(shù)解，故，原方程可化為:+1>0?a>-1997即說明絕對值的意義有兩點。其一，一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零；其二，在數(shù)軸上表示一個點到原點的距離。利用絕對值的定義常可達到去掉絕對值符號的目的。二、利用非負性例2方程的圖象是()三條直線：20j=CU-y+l=°兩條直線：^+1=0(C)(C)一點和一條直線：(0,0)(D)兩個點：(0,1),(—1,0)分析與解由已知，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，得分析與解由已知，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，得7=0,x-尹+1=0解之得：疋=_1,解之得：疋=_1,尹=0.故原方程的圖象為兩個點（0，1），（－1，0）。說明利用非負數(shù)的性質(zhì)，可以將絕對值符號去掉，從而將問題轉(zhuǎn)化為其它的問題來解決。三、公式法例3已知處0，求昨卜呻+呻-他的值。分析與解加=卄川=叫...原式=同川-陽同+必也|-0|）=14網(wǎng)（問-網(wǎng)）+必啊-燉=啊-*|）（|處|+處）=啊-網(wǎng)）（-必+必）=0.說明本題根據(jù)公式'一訥」訃創(chuàng)-州，將原式化為含有同的式子，再根據(jù)絕對值的定義求值。四、分類討論法a例4實數(shù)a滿足同+總-。且總工-1，那么山+斗

a+a=0分析與解由可得&蘭0且GH—1。時，說明有的題目中，含絕對值的代數(shù)式不能直接確定其符號，這就要求分情況對字母涉及的可能取值進行討論。五、平方法例5設(shè)實數(shù)a、b例5設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式胡一S+列八°且恥°八0且恥0分析與解由于a、b滿足題設(shè)的不等式，則有a-(a+Z?)2<a-a+Z?||2整理得由此可知’，從而上式僅當ZgW時成立,?，即?，即L3<0且小,選B。說明運用此法是先對不等式進行平方去掉絕對值，然后求解。六、圖示法例6在式子k+l|+k+2|+k+3|+k+4|中，由不同的x值代入，得到對應(yīng)的值。在這些對應(yīng)值中，最小的值是（）（A）1（B）2（C）3（D）4分析與解問題可變化為：在數(shù)軸上有四點A、B、C、D,其對應(yīng)的值分別是一1、一2,-3.-4,求一點P,使P^+PB+PC+PD最?。ㄈ鐖D）。由于PA+PD是當p點在線段AD上取得最小值3,FB+FU是當p在線段bc上取得最小值1,故刊+FE+FC+FD的最小值是4。選D。說明由于借助圖形，巧妙地把問題在圖形中表示出來，形象直觀，便于思考，從而達到快捷解題之目的。七、驗證法例7個含有例7個含有4重絕對值符號的方程，則（（A）0、2、4全是根（B）0、2、4全不是根（C）0、2、4不全是根（D）0、2、4之外沒有根分析與解從答案中給出的0、2、4容易驗證都是方程的根，并且通過觀察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D,故選A。說明運用此法是從題干出發(fā)，取符合題意的某些特殊值或特殊圖形，與選擇支對照檢驗，從而判定各個選擇支的正誤。八、代數(shù)式零點法例&時1|+|"2|+kT的最小值是。分析與解由X+1=0jX_2=aX_3=0可確定零點為_］、2、3。原式=-3^+4>3+4；當一1蘭時，原式=-^>-2+7=4；當2K3時，原式=^+2>2+2=4當x-3時,

原式=3x-4>3x3-4=5.綜上知所求最小值為4。說明運用此法解決含字母代數(shù)式絕對值化簡方法是：（1）先求代數(shù)式零點，把數(shù)軸分為若干區(qū)間；（2）判定各區(qū)間內(nèi)代數(shù)式的正負號；（3）依據(jù)絕對值的定義，去掉絕對值符號。九、數(shù)形結(jié)合法例9已知二次函數(shù)尹?+^+c的圖象如圖所示，并設(shè)，則（(A)（C），則（(A)（C）McO（D）不能確定M為正、負或為0分析與解令y=ax2+bx+c中21,由圖象得：^+b+c<0；令2—1令2—1得口―>0.???頂點在第四象限,頂點的橫坐標2&又:a>0,:.2a-b>0...，即2a>0.故^--S+b+c)-(a-b-\-c")+2a-\-b-2a-^-b=-2(a-b+c)<0.選C。說明運用此法是將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，達到以形助數(shù)，以數(shù)助形，可以使許多復(fù)雜問題獲得簡便的解決。十、組合計數(shù)法例10方程^+^_3=0，共有幾組不同整數(shù)解（兀刃=（A）16（B）14（C）12（D）10分析與解由已知條件可得^|+[y|=3.■■■^|>0^|>0?x<3,3.當忑=±3時，7=0；當孟二土2時，尹二±1；當X=±I時，尹=±2；共有12組不同整數(shù)解，故選C。

說明此法具有較強的技巧性，必須認真分析條件，進行分類、歸納，從中找出解決問題的方法。十一、枚舉法4a2-12-271例11已知a為整數(shù)，I是質(zhì)數(shù)，試確定a的所有可能值的和。分析與解設(shè)由一吃一刃是質(zhì)數(shù)P,則仃T2-27僅有因子±i