2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項突破07抽象函數(shù)

抽象函數(shù)專項突破高考定位抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述，綜合考查學(xué)生對于數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，考查對于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學(xué)生對于一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識.函數(shù)的周期性、對稱性一般與抽象函數(shù)結(jié)合，綜合函數(shù)的其它性質(zhì)一起考查.函數(shù)的周期性要緊扣周期函數(shù)的定義.要注意，函數(shù)的周期性只涉及到一個函數(shù).函數(shù)的對稱性比較復(fù)雜，要分清是一個函數(shù)的對稱性，還是兩個函數(shù)的對稱性；分清是軸對稱還是中心對稱.題型解析目標(biāo)一、圖像法例1-1（2021·江西·高三）若定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)圖象變換，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意是上的奇函數(shù)，且在遞增，且，所以在遞增，且.的圖象是由的圖象向右平移個單位得到，畫出的大致圖象如下圖所示，由圖可知，滿足的的取值范圍為.故選：C.例1-2（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是減函數(shù)，則有（）A．f<f<fB．f<f<fC．f<f<fD．f<f<f【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的周期，以及對稱性，畫出函數(shù)的草圖，即可判斷選項.【詳解】因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為4，并且，所以函數(shù)關(guān)于對稱，作出f(x)的草圖(如圖)，由圖可知<<，故選：C.例1-3（2021·江西九江市·高三）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性將不等式化簡，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】解：是偶函數(shù)，不等式等價為，即，則，且，或者，且，偶函數(shù)滿足在，上單調(diào)遞增，（2），，則對應(yīng)的圖象如圖，則由，且，得，得，由，且，得，即，得，綜上,不等式的解集為，，，例1-4．（2021·江西·九江市柴桑區(qū)第一中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足的m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，即可解出，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上遞增，再將等價變形為，然后根據(jù)單調(diào)性即可解出．【詳解】依題意可得，解得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)連續(xù)，故函數(shù)在上遞增，不等式即為，所以，解得．故選：B．目標(biāo)二、構(gòu)造法例2-1．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，.當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由已知條件可得，所以在上單調(diào)遞增，由和為奇函數(shù)，可得為奇函數(shù)，且，從而由的單調(diào)性可得答案【詳解】由，可得，令，則，故在上單調(diào)遞增.因為，所以，又因為為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，且在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以使得，即成立的的取值范圍是.故選：B練（2021·江蘇·海安高級中學(xué)高三月考）已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)時，恒成立，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，令，根據(jù)奇偶性的定義，可得為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，將題干條件化簡可得，即，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，計算求解，即可得答案.【詳解】由，得，記，則有，即為偶函數(shù)，又當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，即，所以，即，解得，故選：D.練（2021·廣東南海中學(xué)）設(shè)是偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，當(dāng)時，，則使成立的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，在是減函數(shù)，再根據(jù)為偶函數(shù)，根據(jù)，解得的解集．【詳解】令，，時，,在上是減函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù),在上單調(diào)遞減,，所以，,因此，,因此使得成立的的取值范圍是,目標(biāo)三、賦值法例3-1（2021·湖南省邵東市第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)滿足對恒成立，且，則（）A．1010 B． C．1011 D．【答案】B【分析】利用賦值法找出規(guī)律，從而得出正確答案.【詳解】令，則，令，則，由于，所以.令，則，令，則，令，則，以此類推，可得.故選：B.例3-2（2021·寧夏·海原縣第一中學(xué)高三月考（文））已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則（）A．2022 B． C．3 D．【答案】C【分析】由條件可得是周期為4的周期函數(shù)，然后利用算出答案即可.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，因為，所以所以，所以是周期為4的周期函數(shù)因為，，，所以故選：C.例3-3．（2021·安徽·高三月考（文））已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對稱，是偶函數(shù)，且，則的值為（）A．0 B．-1C．1 D．無法確定【答案】B【分析】由于關(guān)于中心對稱，又將函數(shù)向左平移1個單位后為，所以關(guān)于中心對稱，即是奇函數(shù)；又是偶函數(shù)，又將函數(shù)向右平移1個單位后為，所以關(guān)于直線對稱，可得函數(shù)的周期，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由于關(guān)于中心對稱，又將函數(shù)向左平移1個單位后為，所以關(guān)于中心對稱，即是奇函數(shù)；又是偶函數(shù)，又將函數(shù)向右平移1個單位后為，所以關(guān)于直線對稱，即；所以，所以，所以，所以函數(shù)的周期，.故選：B.例3-4（2021·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高三期中（理））函數(shù)對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得到函數(shù)是奇函數(shù)，然后結(jié)合，得到函數(shù)的周期為求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即，又因為，所以，即，所以函數(shù)的周期為，又，所以.故選：D.例3-5（2021·遵義市第五中學(xué)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，恒有成立，且，則下列說法正確的是（）①是函數(shù)的一個對稱中心；②函數(shù)的一個周期是4；③；④A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)可判斷①；根據(jù)和是奇函數(shù)可判斷②；根據(jù)可判斷③；根據(jù)可判斷④.【詳解】由知，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故①錯誤；由得，由是奇函數(shù)得，則，所以，即函數(shù)的一個周期是4，故②正確；由得，故③正確；因為是上的奇函數(shù)，所以，由得，故④正確.故選：B.例3-6【2021年天津市南開中學(xué)】設(shè)函數(shù)fx是定義在R若f2>1,f3=【答案】-∞,-【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是以5為周期的奇函數(shù)，得f2=f-3，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得f-3=-【詳解】∵函數(shù)fx以5為周期，∴f2=f-3，又∵因此f2=-a2+a+3a-【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知識，熟練運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．例3-7．已知偶函數(shù)滿足，且在處的導(dǎo)數(shù)，則曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可得是周期為4的函數(shù)，即可求出，得出切線方程.【詳解】由條件知，所以，從而，即函數(shù)的周期為4.在中，令得，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A.目標(biāo)四、定義法判斷單調(diào)性例4-1（2021·全國·高三期中）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知函數(shù)在為增函數(shù)，由已知條件可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)時，恒成立，則，所以在為增函數(shù).又因為是偶函數(shù)，所以，，即，所以，即.故選：A.例4-2（2021·北京通州·高三期中）已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，，有，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件可得關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞增，結(jié)合可判斷出答案.【詳解】由是偶函數(shù)可得關(guān)于直線對稱因為，有，所以在上單調(diào)遞增因為，所以，，無法比較與0的大小故選：B.例4-3．已知函數(shù)滿足，且對任意的，都有，則滿足不等式的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】可化為，構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合奇偶性可知該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又將所求不等式變形，即可由單調(diào)性解該抽象不等式.【詳解】根據(jù)題意可知，可轉(zhuǎn)化為，所以在[0，+∞)上是增函數(shù)，又，所以為奇函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，因為，，所以，所以，解得，即x的取值范圍是.故選：A.【關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是將不等式化為，從而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式.例4-4（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三月考）已知函數(shù)的定義域，且對任意，恒有，當(dāng)時，，若，則的取值范圍是______________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件探求出函數(shù)在上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解即得.【詳解】，且，則，而當(dāng)時，，于是得，因?qū)θ我?，恒有，因此，，從而得在上的單調(diào)遞減，由得：，解得：，解，即得，則有，所以的取值范圍是.故答案為：例4-4、定義法判斷奇偶性（2021·河南·模擬預(yù)測（文））已知非常數(shù)函數(shù)滿足，則下列函數(shù)中，不是奇函數(shù)的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷．【詳解】因為，所以，則，是奇函數(shù)，同理也是奇函數(shù)，，則，是奇函數(shù)，，為偶函數(shù)，故選：D．練．【百校聯(lián)盟2021屆高三普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試（全國卷11月）理科】數(shù)已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)；根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合奇偶性可確定在上單調(diào)遞增，由此可將所給不等式化為，解不等式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，，同理，當(dāng)時，，且，可知函數(shù)為奇函數(shù)；，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，由得：，即，，，解得：，即，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：.練.【河南省十所名校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)（理）】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時，，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可得為奇函數(shù)，且為遞減函數(shù)，將化為，利用單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】令，則，又，，為奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，為遞減函數(shù)，由，得，即，得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，判斷出其奇偶性和單調(diào)性，并利用單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.目標(biāo)五、推理法例5-1（2021·安徽·池州市江南中學(xué)高三月考（理））已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增，如果x1<2<x2，且x1＋x2>4，則f(x1)＋f(x2)的值（）A．可正可負(fù) B．恒大于0 C．可能為0 D．恒小于0【答案】B【分析】首先根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，將轉(zhuǎn)換為，從而，都在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，由單調(diào)性得到它們的函數(shù)值的大小，再由條件即可判斷的值的符號．【詳解】解：定義域為的函數(shù)滿足，將換為，有，，且，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，即，，故選：B．練.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，若y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(2＋x)＝－f(2－x)，則f(x)是()A．周期為2的奇函數(shù) B．周期為4的奇函數(shù)C．周期為2的偶函數(shù) D．周期為4的偶函數(shù)【答案】B【解析】因為y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x＋2)＝f(－x)，又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期為4；由f(2＋x)＝－f(2－x)，f(2＋x－4)＝f(2＋x)，得f(x－2)＝－f(2－x)，即有f(x)＝－f(－x)，所以f(x)為奇函數(shù)．練、（多選題）（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知定義在上的函數(shù)滿足：是奇函數(shù)，是偶函數(shù).則下列選項中說法正確的有（）A． B．周期為2C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．是奇函數(shù)【答案】ACD【分析】由已知條件可得關(guān)于和直線對稱，從而的周期，，進(jìn)而可判ABC，對于D，由于關(guān)于和直線對稱，可得關(guān)于對稱，再結(jié)合周期可得結(jié)論【詳解】由是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，可得關(guān)于和直線對稱，從而的周期，所以選項錯誤，選項正確；對選項：由對稱性及奇函數(shù)的性質(zhì)可知正確；對選項：有已知關(guān)于和直線對稱，從而關(guān)于對稱，又因為的周期，可得關(guān)于對稱，所以是奇函數(shù)，D正確，達(dá)標(biāo)測試1．（2021·黑龍江大慶實(shí)驗中學(xué)）已知是上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則等于（）A． B．2 C． D．98【答案】A【分析】依題意求得是以4為周期的函數(shù)，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】對任意，由是奇函數(shù)得①，由得②.由①②得，則，所以是以4為周期的函數(shù).故.2．（2021·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)），分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，且，則的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，易知為奇函數(shù)，在、上遞減，結(jié)合已知即可求的解集.【詳解】若，則，即在上遞減；∵，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴，即為奇函數(shù)，綜上，在上遞減，且，∴的解集為.3．【2021河北辛集中學(xué)】已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增，則（）A．f（20.7）＜f（﹣log25）＜f（﹣3）B．f（﹣3）＜f（20.7）＜f（﹣log25）C．f（﹣3）＜f（﹣log25）＜f（20.7）D．f（20.7）＜f（﹣3）＜f（﹣log25）【答案】A【解析】【分析】利用f3=f-3，f-log【詳解】因為fx是偶函數(shù)，故f3=f-3，f-log25=flog2【點(diǎn)睛】一般地，如果fx是R上偶函數(shù)，那么fx在0,+∞與-∞,0上單調(diào)性相反；如果fx是R上奇函數(shù)，那么fx4.【2021江蘇省南通市】已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意的x∈fx+4=fx+f2，【答案】4【解析】【分析】令x=-2，可以求得f-2=f2=0，從而可得fx【詳解】∵函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，∴fx=f令x=-2，可得f2=f-2+f2∴fx是以4為周期的函數(shù)，∴f則f3【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽象函數(shù)及其基本性質(zhì)的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了賦值法，求得f2=05．【2021河南省信陽高級中學(xué)】若對任意的x∈