2023-2024學(xué)年廣東省深圳市寶安實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列方程中，是關(guān)于的一元二次方程的是()

A.B.

C.D.

2.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程為常數(shù)的一個(gè)解的范圍是()

A.B.C.D.

3.如圖，在平行四邊形中，和的平分線交于邊上一點(diǎn)，且，，則的長是()

A.B.C.D.

4.如果分式中的、都擴(kuò)大為原來的倍，那么下列說法中，正確的是()

A.分式的值不變B.分式的值縮小為原來的

C.分式的值擴(kuò)大為原來的倍D.分式的值擴(kuò)大為原來的倍

5.順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是()

A.平行四邊形B.對(duì)角線相等的四邊形

C.矩形D.對(duì)角線互相垂直的四邊

6.矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線平分一組對(duì)角

7.如圖，為正方形的對(duì)角線，為上的一點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為()

A.B.C.D.

8.根據(jù)規(guī)劃設(shè)計(jì)，某工程隊(duì)準(zhǔn)備修建一條長米的盲道由于情況改變，實(shí)際每天修建盲道的長度比原計(jì)劃增加米，結(jié)果提前天完成了這一任務(wù)，假設(shè)原計(jì)劃每天修建盲道米，根據(jù)題意可列方程為()

A.B.

C.D.

9.如圖，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置如果，那么等于()

A.

B.

C.

D.

10.如圖，中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)若，，則的長為()

A.

B.

C.

D.

11.如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為()

A.B.C.D.

12.將按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

13.若分式的值為，則的值為______．

14.若，，則的值為______．

15.如圖，在平行四邊形中，，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，射線交的延長線于點(diǎn)，則的長是______．

16.如圖，已知函數(shù)為常數(shù)和為常數(shù)且的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是______．

17.如圖，在平行四邊形紙片中，，將紙片沿對(duì)角線對(duì)折，邊與邊交于點(diǎn)，此時(shí)，恰為等邊三角形，則圖中重疊部分的面積為______．

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共6.0分）

18.先化簡(jiǎn)，再從，，三個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的數(shù)作為的值，代入求值．

四、解答題（本大題共4小題，共32.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

解方程：

；

．

20.本小題分

解不等式組：并把它的解集表示在數(shù)軸上．

21.本小題分

為迎接全國文明城市的評(píng)選，市政府決定對(duì)春風(fēng)路進(jìn)行市政化改造，經(jīng)過市場(chǎng)招標(biāo)，決定聘請(qǐng)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作施工，已知春風(fēng)路全長千米，甲工程隊(duì)每天施工的長度比乙工程隊(duì)每天施工長度的多施工千米，由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工完成任務(wù)所需要的天數(shù)是乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)所需天數(shù)的．

求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各施工多少千米？

若甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為萬元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為萬元，要使兩個(gè)工程隊(duì)施工的總費(fèi)用不超過萬元，則甲工程隊(duì)至多施工多少天？

22.本小題分

在等腰中，，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在線段上時(shí)，請(qǐng)猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系為______；

【拓展提升】

如圖，若點(diǎn)在線段上不與點(diǎn)，重合，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【靈活應(yīng)用】

當(dāng)，時(shí)，直接寫出線段的長為______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：未明確，，的取值情況，不一定是一元二次方程；

B.不是整式方程，不是一元二次方程；

C.是一元二次方程；

D.整理得，不是一元二次方程；

故選：．

本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是；二次項(xiàng)系數(shù)不為；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．

本題考查了一元二次方程的定義，注意：、一元二次方程包括三點(diǎn)：是整式方程，只含有一個(gè)未知數(shù)，所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是；一元二次方程的一般形式是．

2.【答案】

【解析】解：，，

，，

時(shí)，，

即方程為常數(shù)的一個(gè)解的范圍是．

故選：．

利用，，而，，則可判斷方程為常數(shù)的一個(gè)解的范圍是．

本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．

3.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，、的角平分線的交點(diǎn)落在邊上，

，

，，

，

，，，，

，，

，，即，

由題意可得：，，

．

故選：．

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證明是直角三角形，利用勾股定理可求出的長，利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用平行四邊形對(duì)邊相等進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確把握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：，

即如果分式中的、都擴(kuò)大為原來的倍，那么分式的值擴(kuò)大為原來的倍，

故選：．

先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

本題考查了分式的基本性質(zhì)，能根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：四邊形是菱形，

，

故AC．

故選：．

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，可證四邊形的對(duì)角線相等．

本題很簡(jiǎn)單，考查的是三角形中位線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)．

6.【答案】

【解析】解：、對(duì)角線互相平分是菱形矩形都具有的性質(zhì)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、對(duì)角線互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、矩形的對(duì)角線相等，菱形的對(duì)角線不相等，故C選項(xiàng)正確；

D、對(duì)角線平分一組對(duì)角是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：．

根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分、相等和菱形的對(duì)角線互相平分、垂直、對(duì)角線平分一組對(duì)角，即可推出答案．

本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：四邊形是正方形，

，

，

，

．

故選：．

由四邊形是正方形得，又由得，進(jìn)而解答即可．

本題考查了正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)解答．

8.【答案】

【解析】解：實(shí)際每天修建盲道的長度比原計(jì)劃增加米，且原計(jì)劃每天修建盲道米，

實(shí)際每天修建盲道米．

根據(jù)題意得：．

故選：．

根據(jù)實(shí)際及原計(jì)劃工作效率間的關(guān)系，可得出實(shí)際每天修建盲道米，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前天完成修建任務(wù)，即可列出關(guān)于的分式方程，此題得解．

本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，

，

，

，

故選：．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，即可求解．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：由作圖得：垂直平分，

，

設(shè)，則，

，

，即：，

解得：，

故選：．

根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理求解．

本題考查了基本作圖，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：延長，交于，

，

，

是等邊三角形，

，，

，，

，

故選：．

延長，交于，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到，求得是等邊三角形，推出，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

本題考查了勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：，，

，，

，

，

第一次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，

第二次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，

第三次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，

第四次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，

第五次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，

第六次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，

，

次一個(gè)循環(huán)，

，

第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故選：．

次一個(gè)循環(huán)，分別求出第一次到第六次的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用規(guī)律解決問題即可．

本題考查之比與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．

13.【答案】

【解析】解：若分式的值為，則

，

解得或，

又當(dāng)時(shí)，分母，

，

的值為，

故答案為：．

分式的值為的條件是：分子為；分母不為兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．

考查了分式的值為零的條件，由于該類型的題易忽略分母不為這個(gè)條件，所以“分母不為零”這個(gè)條件不能缺．

14.【答案】

【解析】解：，，

．

故答案為：．

將所求式子提取公因式，分解因式后，將與的值代入即可求出值．

此題考查了因式分解的應(yīng)用，分解因式的方法為提取公因式法，利用了整體代入的思想，是一道基本題型．

15.【答案】

【解析】解：由題意可知是的平分線，

．

四邊形是平行四邊形，

，

，，

，

，

，

故答案為：

只要證明即可解決問題．

本題考查的是作圖基本作圖，熟知角平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：如圖，函數(shù)為常數(shù)和為常數(shù)且的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是．

故答案為：．

找出直線落在的下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可．

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．

17.【答案】

【解析】解：為等邊三角形，

，，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，，

四邊形是平行四邊形，

，，，

，

，

，

，

，

，，，

，

．

故答案為：．

先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，再利用平行四邊形的性質(zhì)證明，，利用三角函數(shù)值計(jì)算出，然后根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得，進(jìn)而可得答案．

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，直角三角形角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．

18.【答案】解：原式，

當(dāng)時(shí)，原式．

【解析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把代入計(jì)算即可求出值，注意分母不為，即不能取，．

19.【答案】解：方程兩邊都乘得：，

解得：，

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，

是原方程的增根，

原方程無解；

原方程可變形為：，

或，

，．

【解析】本題考查了解分式方程，解一元二次方程因式分解法，掌握解分式方程一定要檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

原不等式組的解集為：，

該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

【解析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：設(shè)甲隊(duì)每天完成千米，則乙隊(duì)每天完成千米．

根據(jù)題意得：，

解得：．

經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．

．

答：甲隊(duì)每天修千米，乙隊(duì)每天修千米．

設(shè)甲隊(duì)改造千米，則乙隊(duì)改造千米．

根據(jù)題意得，

解得：．

，

答：甲工程隊(duì)至多施工天．

【解析】本題主要考查的是分式方程、一元一次不等式的應(yīng)用，依據(jù)題意列出方程或不等式是解題的關(guān)鍵．

設(shè)甲隊(duì)每天完成千米，則乙隊(duì)每天完成千米，然后依據(jù)甲工程隊(duì)單獨(dú)施工完成任務(wù)所需要的天數(shù)是乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)所需天數(shù)的列方程求解即可；

設(shè)甲隊(duì)改造千米，則乙隊(duì)改造千米，然后依據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)施工的總費(fèi)用不超過萬元列不等式求得的范圍，從而可求得甲工程隊(duì)至多施工的天數(shù)．

22.【答案】或

【解析】解：，理由如下：

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，，

，

，

≌，

，

，

，

，

故答案為：．

，理由如下：

是等腰直角三角形，

，，

，，

，，

，

，

≌，

，

，

；

如圖，點(diǎn)在線段的延長線上，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，，

，，

，

≌，

，

，

，

，