圓柱圓錐圓臺(tái)球的表面積和體積

第八章§83簡單幾何體的表面積與體積832圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積回顧所學(xué)的有關(guān)公式矩形面積公式：圓面積公式：圓周長公式：扇形面積公式：多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積之和棱柱的體積棱錐的體積棱臺(tái)的體積復(fù)習(xí)引入O圓柱的側(cè)面展開圖是矩形學(xué)習(xí)新知圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱圓柱r是底面半徑，l是母線長r是底面半徑，l是母線長圓錐的側(cè)面展開圖是扇形O學(xué)習(xí)新知圓錐圓錐側(cè)＝r是底面半徑，l是母線長圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺(tái)圓臺(tái)側(cè)學(xué)習(xí)新知r和

分別是上、下底面半徑，l是母線長OO’知識(shí)點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱

底面積：S底＝____側(cè)面積：S側(cè)＝____表面積：S＝________圓錐

底面積：S底＝___側(cè)面積：S側(cè)＝___表面積：S＝_______2πr22πrl2πrr＋lπr2πrlπrr＋l旋轉(zhuǎn)體圓臺(tái)

上底面面積：S上底＝______下底面面積：S下底＝____側(cè)面積：S側(cè)＝__________表面積：S＝____________________πr′2πr2πr′l＋rlπr′2＋r2＋r′l＋rl知識(shí)點(diǎn)二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積幾何體體積說明圓柱V圓柱＝Sh＝_____圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓錐V圓錐＝

Sh＝______圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓臺(tái)圓臺(tái)上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為hπr2h__________________知識(shí)點(diǎn)三球的表面積和體積公式＝R為球的半徑＝4πR2思考辨析判斷正誤SIAOBIANIPANDUANHENGWU1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖的面積就是它們的表面積2圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖中的所有弧線都與相應(yīng)底面的周長有關(guān)

3球的體積是關(guān)于球半徑的一個(gè)函數(shù)4球的表面積是球的體積的6倍××√√公式應(yīng)用2球面面積膨脹為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼模ǎ┍?。填空題1球的半徑擴(kuò)大1倍，它的球面面積變?yōu)樵瓉恚ǎ┍?，它的體積變?yōu)樵瓉淼模ǎ┍丁?4規(guī)律與結(jié)論：V1:V2=R13:R23;S1:S2=R12:R22例11若某圓錐的高等于其底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為一、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積√解析設(shè)圓錐底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r，2已知某圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則該圓臺(tái)較小底面的半徑為A7B6C5D3√解析設(shè)圓臺(tái)較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r由S側(cè)＝3πr＋3r＝84π，解得r＝7反思感悟圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展開為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和跟蹤訓(xùn)練1圓柱的一個(gè)底面積是S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是√解析設(shè)底面半徑為r，則πr2＝S，又側(cè)面展開圖為一個(gè)正方形，二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積例21多選圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm，寬8cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是√√2已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺(tái)的體積為________224π解析設(shè)上底面半徑為r，則下底面半徑為4r，高為4r，如圖∵母線長為10，∴102＝4r2＋4r－r2，解得r＝2∴下底面半徑R＝8，高h(yuǎn)＝8，反思感悟求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積的關(guān)鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解跟蹤訓(xùn)練2圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是，則圓錐的體積是√解析作圓錐的軸截面，如圖所示，由題意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則h＝4三、球的表面積與體積√∴S球＝4πR2＝16πA4π B12πC24π D48π√∴S球＝4πR2＝12π反思感悟計(jì)算球的表面積與體積，關(guān)鍵是確定球心與半徑√解析正方體的棱長為a，其內(nèi)切球的半徑為R，則a＝2R，2將兩個(gè)半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個(gè)大球，則這個(gè)大球的半徑R為______核心素養(yǎng)之直觀想象HEINSUYANGHIHIGUANIANGIANG簡單組合體的表面積與體積典例如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個(gè)直徑為2，深為4的圓柱形孔，求打孔后的幾何體的表面積和體積解正方體的表面積為S正方體＝4×4×6＝96，圓柱形孔的半徑為1，高為4，∴圓柱的側(cè)面積S圓柱側(cè)＝2π×1×4＝8π，∴所求的表面積為S＝96＋8π－2π＝96＋6π，正方體的體積為V正方體＝4×4×4＝64，圓柱的體積為V圓柱＝4π，∴所求的體積為V＝64－4π素養(yǎng)提升1求組合體的表面積與體積的關(guān)鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組合形式，對(duì)于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，要根據(jù)條件分清各個(gè)簡單幾何體的底面半徑及母線長，再分別代入公式求解2識(shí)別幾何體的結(jié)構(gòu)特征，提升直觀想象素養(yǎng)3隨堂演練PARTTHREE1若圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為Aπ B2πC3π D4π12345√解析設(shè)圓錐的母線長為l，所以圓錐的表面積為S＝π×1×1＋2＝3π2圓臺(tái)的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺(tái)的高為A3 B4C5 D6√12345解析設(shè)圓臺(tái)的高為h，故h＝33一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為2的正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是√解析設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，123454玉琮是中國古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時(shí)代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遺址玉琮王通高88cm，孔徑49cm、外徑176cm琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖象，獸面的兩側(cè)各淺浮雕鳥紋，器形呈扁矮的方柱體，內(nèi)圓外方，上下端為圓面的射，中心有一上下垂直相透的圓孔試估計(jì)該神人紋玉琮王的體積約為單位：cm3A6250 B3050C2850 D235012345√12345解析由題意知，該神人紋玉琮王的體積為底面邊長為176cm，高為88cm的正方體的體積減去底面直徑為49cm，高為88cm的圓柱的體積結(jié)合該神人紋玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估計(jì)該神人紋玉琮王的體積約為2350cm35如圖所示，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中，裝有適量的水，若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則＝_______12345課堂小結(jié)ETANGIAOJIE1知識(shí)清單：1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積3球的表面積和體積2方法歸納：公式法3常見誤區(qū)：平面圖形與立體圖形切換不清楚4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固1兩個(gè)球的體積之比為8∶27，那么這兩個(gè)球的表面積之比為12345678910111213141516√解析由兩球的體積之比為8∶27，可得半徑之比為2∶3，故表面積之比是4∶92軸截面是正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的A4倍B3倍C倍D2倍√解析設(shè)該等邊圓錐的半徑為R，則母線l＝2R，∴S底＝πR2，∴S側(cè)＝2S底123456789101112131415163我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈如果球的半徑為，根據(jù)“開立圓術(shù)”的方法求得的球的體積約為√123456789101112131415164已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為√解析繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)底面重合，等體積的圓錐，如圖所示12345678910111213141516123456789101112131415165多選圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10和20，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺(tái)的√√√解析如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角為180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圓臺(tái)的母線AB＝SB－SA＝20，表面積S＝π10＋20×20＋100π＋400π＝1100π123456789101112131415166一個(gè)球的體積為36π，則該球的表面積為______1234567891011121314151636π∴S球＝4πR2＝36π7一個(gè)平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心與截面圓圓心的距離為4cm，則球的體積為______cm3解析如圖所示，由已知得O1A＝3cm，OO1＝4cm，從而R＝OA＝5cm12345678910111213141516的正方形和正三角形，則圓柱和圓錐的表面積之比為______，其體積之比為________2∶1∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1123456789101112131415169如圖，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的表面積12345678910111213141516解設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，高為h，表面積為S1234567891011121314151610某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積解該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π12345678910111213141516綜合運(yùn)用11如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為A5πB6πC20πD10π√12345678910111213141516解析用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π12正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為√1234567891011121314151613我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸A2寸 B3寸C4寸 D6寸12345678910111213141516√解析由已知得天池盆盆口半徑為14寸，盆底半徑為6寸，則盆口面積為196π，盆底面積為36π，又盆深18寸，盆中水深9寸，∴積水水面面積為100π，1234567891011121314151614如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為__________3∶1∶2解析設(shè)球的半徑為R，則V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，12345678910111213141516拓廣探究15把底面半徑為8cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身滾動(dòng)了25周，則圓錐的母線長為_____cm，表面積等于______cm21234567891011121314151620224π解析設(shè)圓錐的母線長為l，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積S＝πl(wèi)2又圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)＝πrl＝8πl(wèi)根據(jù)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí)，圓錐本身滾動(dòng)了25周，∴πl(wèi)2＝25×8πl(wèi)，∴l(xiāng)＝20cm圓錐的表面積S＝S圓錐側(cè)＋S底＝π×8×20＋π×82＝224πcm2