應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程 綜述

--WORD-----Institute課程設(shè)計(jì)（論文）課程名稱：應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程設(shè)計(jì)題目：綜述院系：電子與信息工程學(xué)院班級(jí)：09碩通信一班設(shè)計(jì)者：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：田波平設(shè)計(jì)時(shí)間：2009-11至2009-12----WORD-----哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書姓專院班年月年月日．----WORD-----無(wú)年月日年月日----WORD-----1.特征函數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值，它是由隨機(jī)變量X組成的新的隨機(jī)變量eX的數(shù)學(xué)期望，記為：()E(e)））jX當(dāng)為連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，則的特征函數(shù)可表示成XX()Eef(x)edxiXix其中()為的概率密度函數(shù)。fxX對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)的定義與隨機(jī)變量的特征函數(shù)的定義一致。對(duì)任意時(shí)刻t,隨機(jī)過(guò)程的一維特征函數(shù)為：(,t)[e]f(x,t)edxiXt）ixX2.以下本文不加證明的給出特征函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)：(1)|()|(0)1；(2)共軛對(duì)稱性())；(3)特征函數(shù)()在區(qū)間(,)上一致連續(xù)；b,)()abea；設(shè)隨機(jī)變量YYX其中),)分別表示隨機(jī)變量,的特征函數(shù)。上式對(duì)于隨機(jī)過(guò)程同樣適用。XYXY,YZXY則)))；XZ此式表示兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各自特征函數(shù)的乘積。XY3.X變?yōu)閄t將概率作用與意義做統(tǒng)一的討論。3.1利用特征函數(shù)求隨機(jī)過(guò)程的概率密度----WORD-----根據(jù)特征函數(shù)的定義，特征函數(shù)與概率密度有類似傅里葉變換的關(guān)系，即()f(x)edx））ixX1efxdxjxXX一負(fù)號(hào)。的概率密度函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程的研究過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)利用已知的隨機(jī)過(guò)程(),XtXt21f1(x,t),fx,t122過(guò)程。為相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)過(guò)程，數(shù)學(xué)期望為0，方差為1，求1的概率密度。XtXt已知隨機(jī)過(guò)程(),2Yt)Xt)Xt12已知數(shù)學(xué)期望為0，方差為1的高斯過(guò)程的概率密度為1x2fx,tXe）2(),XtXt2的1特征函數(shù)22fx,teef,teejx，jx）22X1X1X2X2利用特征函數(shù)的性質(zhì)（5）e2YX1再次利用特征函數(shù)與概率密度之間類傅里葉變換的關(guān)系，可得的概率密度X2Y11y2fy,tYedjye）42Y要簡(jiǎn)單的多。很方便的對(duì)某些隨機(jī)過(guò)程的特定組合的概率進(jìn)行求解。3.2離散狀況下的特征函數(shù)在求解分布函數(shù)中的應(yīng)用受傅立葉變換物理意義的啟發(fā),,特征函數(shù)的新解釋:可以看作是以()為基的可列無(wú)窮維空間下的坐標(biāo)分解,第k維ejxkk的坐標(biāo)值為p。則k----WORD-----pe）jxkkkp1ekd）k(t)為基的實(shí)數(shù)勢(shì)無(wú)窮維空間下的坐標(biāo)分解，其中p可以看作是以edjkk1是在基下的坐標(biāo)值。上述新解釋在求解離散隨機(jī)過(guò)程的概率分布時(shí)有非edjx常重要的應(yīng)用。下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：,例如求下列各隨機(jī)變量ζ的概率分布已知其特征函數(shù)分別為:(1)cos(2)cos21ee2xT,limd，但計(jì)由反演公式可解決此問(wèn)題即利用公式FxFx112TT算過(guò)程比較繁雜。如果利用本文提出的新解釋去求這個(gè)問(wèn)題就非常簡(jiǎn)單，現(xiàn)用此法求解。分析:只要將特征函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)分解即可,可以看作是以()kjke為基的可列無(wú)窮維空間下的坐標(biāo)分解,第k維的坐標(biāo)值為p,惟一性定理可知p即為概kk率分布。解：(1)ei11eeePx1ePx1e1ii11i1i222由惟一性定理可知,它的概率分布惟一,P(ζ=1)=0.5,P(ζ=-1)=0.5,即ζ所求的概率分布。(2)1cos1112coseeePx0ePx2ePx2e20i2i2i022244,由惟一性定理可知它的概率分布惟一，P(ζ=0)=0.5,P(ζ=2)=0.125,P(ζ=-2)=0.25，即為ζ所求的概率分布。,而且能使特征函數(shù)相關(guān)的求解問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。3.3利用特征函數(shù)求解隨機(jī)過(guò)程的矩函數(shù)特征函數(shù)與矩函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，因此特征函數(shù)也稱為矩生成函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩存在，則它的特征函數(shù)可以微分次，且有nnXdnEX,jxfxt））nnnXdXn0這是因?yàn)椋?dāng)對(duì)特征函數(shù)求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)可得djxfx,tjEXnjxefxdxjxXnnnnnndnXX00----WORD-----到很大的簡(jiǎn)化。以下通過(guò)一個(gè)例子來(lái)簡(jiǎn)要說(shuō)明這種求解過(guò)程。例如，求解數(shù)學(xué)期望為0的高斯隨機(jī)過(guò)程的各階矩。Xt的概率密度函數(shù)為Xt易得數(shù)學(xué)期望為0，方差為2的高斯過(guò)程1x22fxXte由的概率密度求特征函數(shù)Xt2fx,teejx2XX再利用上面介紹的特征函數(shù)與矩函數(shù)的關(guān)系可得20EXt