圓錐曲線的定值問題

圓錐曲線中的定值問題問題1：已知橢圓C：92＋y2＝m2m＞0，直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；證明xyoBAM證明（方法一）：設(shè)直線l：y＝＋b≠0，b≠0，A1，y1，B2，y2，MM，yM將y＝＋b代入92＋y2＝m2，得2＋92＋2b＋b2－m2＝0， ①所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值xyoBAMxyoBAM橢圓C：92＋y2＝m2m＞0，證明（方法二）：設(shè)A1，y1，B2，y2，MM，yM因為A，B在橢圓上，所以，912＋y12＝m2，922＋y22＝m2， 1求拋物線τ的方程；問題2：2若2－1＝2，點D是拋物線在點B，C處切線的交點，記△BCD的面積為S，證明S為定值．代入2＝2pyp>0中得4＝p2，即p＝2，所以拋物線τ的方程是2＝4y1求拋物線τ的方程；問題2：2若2－1＝2，點D是拋物線在點B，C處切線的交點，記△BCD的面積為S，證明S為定值．解答證明:E由1知A－2,1，又2－1＝2，所以2－1＝8過D作y軸的平行線交BC于點E，求定值問題的見方法求定值問題常見的方法有兩種:1從特殊情況入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；2直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值1求點M的軌跡C的方程；問題3：xyoFlM2設(shè)N是圓E：2＋y2＝9上位于第四象限的一點，過N作圓E的切線l0，與曲線C交于A，B兩點求證：△FAB的周長為10（2）證明（方法一）：設(shè)A1，y1，B2，y2，設(shè)直線n：y＝＋m與圓2＋y2＝9相切，由題意知>0，m<0，xyoFlAB∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝10，∴△FAB的周長為定值10xyoFlAB2設(shè)N是圓E：2＋y2＝9上位于第四象限的一點，過N作圓E的切線l0，與曲線C交于A，B兩點求證：△FAB的周長為10同理|FB|＋|BN|＝5，∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝10，∴△FAB的周長為定值10xyoFlAB圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略1求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．2求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．3求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．思維升華1求橢圓C的方程；解答師生共研又a2＝b2＋c2，所以a2＝8，b2＝2，2若P，Q是橢圓C上的兩個動點，且使∠PAQ的角平分線總垂直于軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由．2若P，Q是橢圓C上的兩個動點，且使∠PAQ的角平分線總垂直于軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由．APQxyo解（方法一）：因為∠PAQ的角平分線總垂直于軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線＝2對稱．設(shè)直線PA的斜率為，則直線AQ的斜率為－所以直線PA的方程為y－1＝－2，直線AQ的方程為y－1＝－－2．設(shè)點PP，yP，QQ，yQ，得1＋422－162－8＋162－16－4＝0 ①因為點A2,1在橢圓C上，所以＝2是方程①的一個根，方法二設(shè)直線PQ的方程為y＝＋b，點P1，y1，Q2，y2，則y1＝1＋b，y2＝2＋b，因為∠PAQ的角平分線總垂直于軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線＝2對稱，APQxyo化簡得1y2＋2y1－1＋2－2y1＋y2＋4＝0把y1＝1＋b，y2＝2＋b代入上式，化簡得212＋b－1－21＋2－4b＋4＝0 ①得42＋12＋8b＋4b2－8＝0， ②若b＝1－2，可得方程②的一個根為2，不符合題意．整理得2－1b＋2－1＝0，橢圓C的焦距為21求橢圓C的方程；∴3b2＋2a2＝2a2b2，c＝1，又a2＝b2＋c2，∴3b2＋2b2＋1＝2b2＋1b2，∴2b4－3b2－2＝0，解得b2＝2，得a2＝3，問題5：2斜率為定值的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且滿足|OA|2＋|OB|2的值為常數(shù)其中O為坐標(biāo)原點①求的值以及這個常數(shù)；得32＋22＋6t＋3t2－6＝0，