第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)提升

章末復(fù)習(xí)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

要點(diǎn)聚焦內(nèi)容索引網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建形成體系1要點(diǎn)聚焦

類型突破2指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡(jiǎn)順序，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.對(duì)數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價(jià)，熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式、換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧.要點(diǎn)一指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算要點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問題函數(shù)圖象的畫法畫法應(yīng)用范圍畫法技巧基本函數(shù)法基本初等函數(shù)利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，畫出特殊點(diǎn)(線)，直接根據(jù)函數(shù)的圖象特征作出圖象變換法與基本初等函數(shù)有關(guān)聯(lián)的函數(shù)弄清所給函數(shù)與基本函數(shù)的關(guān)系，恰當(dāng)選擇平移、對(duì)稱等變換方法，由基本函數(shù)圖象變換得到函數(shù)圖象描點(diǎn)法未知函數(shù)或較復(fù)雜的函數(shù)列表、描點(diǎn)、連線解析

法一

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，故可排除選項(xiàng)A，由1－x>0，得x<1，即函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)，排除選項(xiàng)B，又易知函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，故選C.C法二

函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象可認(rèn)為是由y＝log4x的圖象經(jīng)過如下步驟變換得到的：(1)函數(shù)y＝log4x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y＝2log4x的圖象；(2)把函數(shù)y＝2log4x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到函數(shù)y＝2log4(－x)的圖象；(3)把函數(shù)y＝2log4(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位，即可得到y(tǒng)＝2log4(1－x)的圖象，故選C.【訓(xùn)練2】

在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是(

)D解析

冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0，1)點(diǎn)，故A錯(cuò)；B項(xiàng)中由對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長(zhǎng)越來越慢的變化趨勢(shì)，故B錯(cuò)；D對(duì)；C項(xiàng)中由對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長(zhǎng)越來越快的變化趨勢(shì)，故C錯(cuò).數(shù)的大小比較常用方法：(1)比較兩數(shù)(式)或幾個(gè)數(shù)(式)大小問題是本章的一個(gè)重要題型，主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及差值比較法與商值比較法的應(yīng)用.常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法.(2)當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.(3)比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí)，先利用“0”和“1”作為分界點(diǎn)，即把它們分為“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.要點(diǎn)三大小比較問題CA函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及應(yīng)用(1)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè)基本方法：利用圖象研究與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.要點(diǎn)四函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根2②法一

(函數(shù)單調(diào)性法)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－6＋lnx.而f(1)＝2×1－6＋ln1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln3＝ln3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，故由零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)f(x)在(1，3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).而函數(shù)y＝2x－6在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.故函數(shù)f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).法二

(數(shù)形結(jié)合法)當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝0，得2x－6＋lnx＝0，即lnx＝6－2x.如圖，分別作出函數(shù)y＝lnx和y＝6－2x的圖象.顯然，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且在y軸的右側(cè)，故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝0只有一個(gè)解.綜上，函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).

解析

(2)如圖，當(dāng)x≤m時(shí)，f(x)＝|x|.當(dāng)x＞m時(shí)，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù).若存在實(shí)數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m2－2m·m＋4m＜|m|.∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.(3，＋∞)【訓(xùn)練4】

已知關(guān)于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常數(shù)a，b同號(hào)，b，c異號(hào)，則下列結(jié)論中正確的是(

) A.此方程無實(shí)根

B.此方程有兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根 C.此方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根

D.此方程僅有一個(gè)實(shí)根D解析

由常數(shù)a，b同號(hào)，b，c異號(hào)，可得a，c異號(hào)，令2x＝t，則方程變?yōu)閍t2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判別式Δ＝b2－4ac>0，故關(guān)于t的方程只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，故關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.1.建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題的步驟 (1)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括，確定變量之間的主被動(dòng)關(guān)系，并用x，y分別表示. (2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時(shí)要注意函數(shù)的定義域. (3)求解函數(shù)模型，并還原為實(shí)際問題的解.2.建模的三個(gè)原則 (1)簡(jiǎn)化原則：建立模型，要對(duì)原型進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，抓主要因素、主變量，盡量建立較低階、較簡(jiǎn)便的模型. (2)可推演原則：建立的模型一定要有意義，既能對(duì)其進(jìn)行理論分析，又能計(jì)算和推理，且能推演出正確結(jié)果. (3)反映性原則：建立的模型必須真實(shí)地反映原型的特征和關(guān)系，即應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明現(xiàn)實(shí)問題的功能，能回到具體研究對(duì)象中去解決問題.要點(diǎn)五函數(shù)模型的應(yīng)用(1)寫出利潤(rùn)函數(shù)y＝f(x)的解析式(利潤(rùn)＝銷售收入－總成本)；解

(1)由題意得G(x)＝2.8＋x.(2)要使工廠有盈利，求產(chǎn)量x的取值范圍；解

①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由－0.4x2＋3.2x－2.8>0得x2－8x＋7<0，解得1<x<7，∴1<x≤5.②當(dāng)x>5時(shí)，由8.2－x>0，得x<8.2，所以5<x<8.2.綜上，當(dāng)1<x<8.2時(shí)，有y>0，即當(dāng)產(chǎn)量x大于100臺(tái)，小于820臺(tái)時(shí)，能使工廠有盈利.(3)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？解

當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最大值為3.6；當(dāng)x>5時(shí)，∵函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)<f(5)＝3.2(萬元).綜上，當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多，為3.6萬元.即x＝4.所以一天中早上4點(diǎn)該廠的污水污染指數(shù)最低.(2)規(guī)定每天中f(x)的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過3，則調(diào)節(jié)參數(shù)a應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解

設(shè)t＝log25(x＋1)，則當(dāng)0≤x