第二章-物體幾何要素的投影

第二章-物體幾何要素的投影第一頁，共83頁。投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法2.1投影法的基本知識一、投影法

投射線通過物體，向選定的平面投射，并在該平面上得到圖形的方法叫投影法。所得圖形叫投影，選定的平面叫投影面。二、投影法分類畫透視圖畫斜軸測圖畫工程圖樣及正軸測圖第一頁第二頁，共83頁。

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。不適于繪制機械圖樣。優(yōu)點：直觀性好、立體感強，適于繪制建筑物的透視圖投影特性:中心投影法第二頁第三頁，共83頁。第三頁第四頁，共83頁。斜角投影法投影特性：投影大小與物體和投影面之間的距離無關;度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。直角（正）投影法平行投影法第四頁第五頁，共83頁。三種投影法的比較：第五頁第六頁，共83頁。三、正投影的基本特性

（1）平行性。

空間平行兩直線，在其同一投影面上的投影一定相互平行。（2）從屬性。

點在直線（或平面）上，則該點投影一定在直線（或平面）的同面投影上（3）定比性。

點分割線段之比投影后該比例不變；空間平等的兩線段之比投影后該比例不變第六頁第七頁，共83頁。

（4）不變性。

當平面或直線與投影面平行時，其投影反映實形(或實長)，這種投影特性稱為不變性。如:P、AB（5）積聚性。

當平面或直線與投影面垂直時，則在投影面上的投影積聚為一條線或一個點，這種投影特性稱為積聚性。如：面B、線CD

（6）類似性（形）。

當平面或直線與投影面傾斜時,其投影的面積變小或長度變短，但投影的形狀仍與原來形狀類似,這種投影特性稱為類似性。如：面R

第七頁第八頁，共83頁。注意：（1)投影不等于影子（2)僅有一個投影不能準確、真實地表達物體的形狀。第八頁第九頁，共83頁。

Pb

●●AP解決方法：采用三面投影。

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B1●B2●B3●點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、

點在三投影面體系中的投影a

●2.2點的投影點的投影仍為點第九頁第十頁，共83頁。1.三投影面體系以三個相互垂直的平面作為投影面，便組成了三投影面的體系。正平面V：正立放置，即正立投影面水平面H：水平放置，即水平投影面?zhèn)绕矫鎃：側立放置，即側立投影面三個面的交點為投影原點O，V與H面的交線為OX投影軸，V與W面的交線為OZ投影軸，H與W面的交線為OY投影軸，如圖所示。HWVOXZY第十頁第十一頁，共83頁。兩種投影體系的比較第三角畫法也是以正投影法為主，與第一角的區(qū)別在于觀察者、投影面和物體三者之間的相對位置關系不同。

第一角畫法是將物體置于第一角內，物體在人與投影面之間，保持“人—物體—投影面”的相互位置關系。而第三角畫法是將物體置于第三分角內，投影面在人與物體之間，保持“人—投影面—物體”的位置關系。假想投影面是透明的，是一種透視效果。第十一頁第十二頁，共83頁。WHVOXa

點A的正面投影a點A的水平投影a

點A的側面投影空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a

●a●a

●A●ZY2.點的三面投影第十二頁第十三頁，共83頁。WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動aaZaa

yayaXYHYWO

●●az●x投影面展開第十三頁第十四頁，共83頁。畫圖時，不必畫出投影面的邊框線和投影軸上的ax、ayH、ayW、az；

其中W面上的一段垂直O(jiān)YW，H面上的一段垂直O(jiān)YH，中間可用折線、45。斜線或以O為圓心的圓弧聯(lián)系起來。●Zaa

XYHYW

●a●xaazyaayOVHW第十四頁第十五頁，共83頁。將三投影面體系看直角坐標系，空間點A的位置用三個坐標（XA、YA、ZA）表示。3.點的投影與直角坐標的關系●●●●XYZOVHWA(XA,YA,ZA)aa

a

xaaz●●YZaza

(YA,ZA)XYaYWOa(XA,YA)axaYHa

(XA,ZA)●aYxyzAa

=oax=aax=a

az=YAAa=oaz=a

ax=a

ay=ZAAa

=oax=aay=

a

az=XA可知：a由XA、YA確定a

由XA、ZA確定a

由YA、ZA確定第十五頁第十六頁，共83頁。4.點的三面投影特性1.a

a⊥OX軸3.aayH

⊥OYH,

a

ayW⊥OYW

●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYayWOaaxayHa

●2.a

a

⊥OZ軸（1）點的投影連線垂直于投影軸第十六頁第十七頁，共83頁。aax=a

az=YA

=A到V面的距離a

ax=a

ay=ZA＝A到H面的距離aay=a

az=XA＝A到W面的距離aaZaa

yayaXYH

YWO

●●az●x（2）點的投影到投影軸的距離，等于點的坐標，也等于該點到相鄰投影面的距離:根據(jù)點的投影特性，由點的任意兩個投影，即可確定點的3個坐標，并求出第3個投影；或由空間坐標確定點的三面投影第十七頁第十八頁，共83頁。5.特殊位置點的投影（1）投影面上的點有一個坐標為零，其在該投影面上的投影與該點重合，另兩個投影在相應的投影軸上（如點B、C）。（2）投影軸上的點有兩個坐標為零，其在包含這條軸的兩個投影面上的投影都與該點重合，另一個投影在原點O（如點D）。（3）處于原點的點，三個投影都與原點重合，坐標為（0,0,0）第十八頁第十九頁，共83頁。1、點的投影連線垂直于相應的投影軸。2、點的投影到投影軸的距離等于空間點到投影面的距離。小結：Zaa

XYH

YWO

●●a●xaazyaayX●●●●Z●●●●YOVHWAaa

a

xaazay第十九頁第二十頁，共83頁。c

例1已知點C的兩個投影c

和c

，求作其水平投影c?！馽

●ccz通過作45°轉寬線使c

cz=ccxXZYHYwcywcyHo●cx第二十頁第二十一頁，共83頁?！瘛馻

aax●a

●●a

aaxazaz解法一解法二a

●例2 已知點的兩個投影，求第三投影。XoYHYwZXYwZYHo第二十一頁第二十二頁，共83頁。練習：1.已知點A

的兩面投影（H面、W面）求點A

的第三面投影；2.已知點B的坐標為（25，20，30），求點B

的三面投影。第二十二頁第二十三頁，共83頁。兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：x

坐標大的在左；y

坐標大的在前；z坐標大的在上。二、兩點的相對位置點A在點B的左前上方。第二十三頁第二十四頁，共83頁。例：如圖，已知點A的三投影，另一點B在點A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求點B的三個投影。作圖步驟：

1)在a′左方12mm，上方8mm處確定b′；

2)作b′b⊥OX，且在a前10mm處確定b；

3)按投影關系求得b″

第二十四頁第二十五頁，共83頁。

空間兩點位于對投影面的同一條投影線上時，這兩點在該投影面上的投影重合，稱這兩點為對該投影面的重影點。A、C為V面的重影點（被擋的加括號）H面重影點，上者可見（上遮下）V面重影點，前者可見（前遮后）W面重影點，左者可見（左遮右）重影點第二十五頁第二十六頁，共83頁。練習：

習題集P13

2.

習題集P14

6.第二十六頁第二十七頁，共83頁。aa

a

b

b

b●●●●●●

兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的同面投影。一、直線及直線上點的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性線段平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB

反映實形線段傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=Abcosα類似性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●2.3直線的投影YWYHZXO第二十七頁第二十八頁，共83頁。由正投影的基本特性可知：（1）直線的投影一般仍為直線：（2）直線上點的投影，必在直線的同名投影上；C∈AB，則有c∈ab，c′∈a′b′，c″∈a″b″。即，如果點的各個投影均在直線的同面投影上，則點在直線上。在圖中，C點在直線AB上，而D、E兩點均不滿足上述條件，所以都不在AB直線上。

第二十八頁第二十九頁，共83頁?！羧酎c在直線上,則點的投影必在直線的同面投影上。并將線段的同面投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點的投影有一個不在直線的同面投影上，則該點必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理XO（3）直線上點分割直線段之比等于其投影之比。第二十九頁第三十頁，共83頁。點C不在直線AB上abca

b

c

①c

②abca

b

●點C在直線AB上例1 判斷點C是否在線段AB上。XOXO第三十頁第三十一頁，共83頁。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。方法二：應用定比定理abka

b

k

●●例2 判斷點K是否在線段AB上。YHXZOYW第三十一頁第三十二頁，共83頁。例2－1（P30）第三十二頁第三十三頁，共83頁。投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線二、三投影面體系中各種位置直線的投影特性第三十三頁第三十四頁，共83頁。投影特性：①三個投影都縮短，且都傾斜于投影軸。

②都不反映空間線段的實長及與三個投影面的真實傾角。1.一般位置直線第三十四頁第三十五頁，共83頁。b

a

aba

b

b

aa

b

ba

①在所平行的投影面上的投影反映實長，該投影與投影軸的夾角分別反映直線對另兩投影面的真實傾角。②另兩個投影面上的投影分別平行于相應的投影軸，且長度小于實長。水平線側平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α；與V面的角:β;與W面的夾角:γ。實長實長實長βγααβba

aa

b

b

2.投影面平行線YHYWXZOYHYWZOXYHYWZOX第三十五頁第三十六頁，共83頁。一投影反映實長,另兩投影平行投影軸第三十六頁第三十七頁，共83頁。鉛垂線正垂線側垂線②另兩個投影面上的投影分別垂直于相應的投影軸，且長度反映空間線段的實長。①在所垂直的投影面上，投影積聚為一點。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)3.投影面垂直線YHYWXZOYHYWXZOYHYWXZO第三十七頁第三十八頁，共83頁。一投影具有積聚性,另兩投影垂直投影軸且為實長第三十八頁第三十九頁，共83頁。AB、BC為水平線；AC為側垂線；SB為側平線；SA、SC為一般位置直線

練習1：判斷下列立體中的AB、BC、AC、SA、SB、SC線段屬于那類線段。第三十九頁第四十頁，共83頁。AB為正平線；AC為正垂線；AD為鉛垂線

練習2：判斷線段AB、AC和AD屬于那類線段第四十頁第四十一頁，共83頁?？臻g兩直線的相對位置分為三種：（1）兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

三、兩直線的相對位置XO平行相交交叉同面直線異面直線第四十一頁第四十二頁，共83頁。abcdc

a

b

d

對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①例1 判斷圖中兩條直線是否平行。XO第四十二頁第四十三頁，共83頁。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

對于特殊位置直線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。②例2 判斷圖中兩條直線是否平行YHXZOYW第四十三頁第四十四頁，共83頁。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

判別方法：

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。交點是兩直線的共有點（2）兩直線相交XOXO第四十四頁第四十五頁，共83頁?！瘛馽abb

a

c

d

k

kd先作正面投影例 過點C作水平線CD與AB相交。XO第四十五頁第四十六頁，共83頁。d

b

a

abcdc

XO1

(2

)3(4)投影特性：同面投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。123

4

●●兩直線相交嗎？（3）兩直線交叉●●練習：習題集P17，2第四十六頁第四十七頁，共83頁。四、一邊平行于投影面的直角的投影直角投影定理：1.空間兩直線成直角（相交或交叉），若兩邊都與某投影面平行，則在該投影面的投影成直角；2.若兩邊都與某投影面傾斜，則在該投影面上的投影不是直角；3.若其中一邊平行于某一投影面，則在該投影面上的投影仍是直角。反之，若相交（包括交叉）兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，若其中一條為該投影面的平行線，則這兩直線是空間互相垂直的兩直線。見P36圖2－14第四十七頁第四十八頁，共83頁。ABVHbb

a

A0B0αZB-ZAβYB-YAZB-ZAa′b′abα實長直角三角形法：

利用一般位置直線的投影求作實長和傾角的方法第四十八頁第四十九頁，共83頁。

即：以直線在某一投影面上的投影長為一直角邊，以直線兩端點與這個投影面的距離差為另一直角邊，形成的直角三角形的斜邊是直線的實長，投影長與斜邊的夾角就是直線對這個投影面的傾角。第四十九頁第五十頁，共83頁。

|zA-zB|ABABbb

aa

CXO

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab對Ｈ面傾角和實長第五十頁第五十一頁，共83頁。ABbb

aa

CXO|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

|YA-YB|AB

|YA-YB|

對Ｖ面傾角與實長第五十一頁第五十二頁，共83頁。XZYOABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

對Ｗ面傾角與實長第五十二頁第五十三頁，共83頁。例：求線段CD的實長及β角cdc′d′Yd-Yc實長βdcc′d′實長第五十三頁第五十四頁，共83頁。例2－2

試過點A作一等腰直角三角形ABC。AB、BC為直角邊，BC屬于已知正平線MN。第五十四頁第五十五頁，共83頁。直角三角形法要點2、投影、坐標差、實長和角度四個要素知道其中二個就可以求其它二個1、角度、投影、坐標差和投影之間的對應關系α角——水平投影——z坐標差——線段實長β角——正面投影——y坐標差——線段實長γ角——側面投影——x坐標差——線段實長3、解題時，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結果。但用哪個長度來作直角邊不能搞錯第五十五頁第五十六頁，共83頁。一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個點●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形2.4平面的投影XOXOXOXOXO第五十六頁第五十七頁，共83頁。平行垂直傾斜實形性類似性積聚性平面對一個投影面的投影特性二、三投影面體系中各種位置平面的投影特性投影特性平面平行投影面——投影反映實形平面垂直投影面——投影積聚成直線平面傾斜投影面——投影類似原平面第五十七頁第五十八頁，共83頁。平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫嫫矫嬖谌队懊骟w系中的投影特性第五十八頁第五十九頁，共83頁。a

b

c

a

c

b

abc三個投影都類似，且面積縮小，不反映平面對投影面的傾角。投影特性：1.一般位置平面YHXZOYW*無論平面處于什么位置，三個投影中至少有一個是線框。而這一線框表示物體上表面的投影。第五十九頁第六十頁，共83頁。abca

c

b

c

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影有類似性。γβ2.投影面垂直面YHXZOYW第六十頁第六十一頁，共83頁。

在垂直的投影面上的投影積聚成與投影軸傾斜的直線；另兩個投影面上的投影為空間平面的類似形。正垂面:垂直V面鉛垂面:垂直H面?zhèn)却姑?垂直W面各種位置垂面的投影特點第六十一頁第六十二頁，共83頁。a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。3.投影面平行面YHXZOYW第六十二頁第六十三頁，共83頁。

平行投影面上的投影反映實形；另兩投影面上的投影積聚為直線，且平行于投影軸。各種位置平行面的投影特點正平面:平行V面水平面:平行H面?zhèn)绕矫?平行V面第六十三頁第六十四頁，共83頁。判斷直線在平面內的方法定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。三、平面內的點和直線兩點定一線一點一線定一線（1）平面上取任意直線：第六十四頁第六十五頁，共83頁。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一例1已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。XOXO第六十五頁第六十六頁，共83頁。n

m

nm10c

a

b

cab例2在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。

XO第六十六頁第六十七頁，共83頁。先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1 已知點K在平面ABC上，求點K的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解（2）平面上取點XOXO第六十七頁第六十八頁，共83頁。bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc解法一解法二例2

已知AC為正平線，補全平行四邊形

ABCD的水平投影。XOXO見P41例2－5第六十八頁第六十九頁，共83頁。2.5直線與平面、兩平面的相對位置一、平行問題1.若直線平行某平面內一直線，則直線與該平面平行。這是作直線平行于平面或判斷直線是否平行于平面的依據(jù)。(1)直線與一般面相互平行HGCDAB平行于平面PEF平行于平面P第六十九頁第七十頁，共83頁。例.過已知點K作一水平線平行于已