第十五章電路方程的矩陣形式

1.割集的概念3.矩陣形式的KCL、KVL方程

重點(diǎn)：第十五章電路方程的矩陣形式2.關(guān)聯(lián)矩陣A，回路矩陣B，割集矩陣Q4.結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式15-1割集15-2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣15-3矩陣A、Bf、Qf之間的關(guān)系

15-4回路電流方程的矩陣形式15-5結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式15-7列表法目錄15-6割集電壓方程的矩陣形式15-1割集1、原分析方法回顧難處理大規(guī)模電路。手工；2、引入新的分析方法系統(tǒng)化；規(guī)范化；機(jī)輔分析。

網(wǎng)絡(luò)圖論是圖論在電路理論中的應(yīng)用。主要通過電路的結(jié)構(gòu)及其連接性質(zhì)，對電路進(jìn)行分析計(jì)算。一、回顧：圖的基本概念(1)支路:每一個電路元件或多個電路元件的某種組合用一條線段代替，稱為支路。(2)結(jié)點(diǎn)：每兩個二端電路元件的聯(lián)接點(diǎn)，稱為結(jié)點(diǎn)。在電路理論中，通常結(jié)點(diǎn)是指兩條以上支路的匯集點(diǎn)。有向圖是指各個支路規(guī)定了參考方向的圖，反之，稱為無向圖。結(jié)點(diǎn)和支路的集合，稱為圖。在圖上，每一條支路的兩端都連接到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)上。(3)電路的圖(4)有向圖當(dāng)圖G中的任意兩個節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑時，稱為連通圖。(5)連通圖一般是指內(nèi)網(wǎng)孔。平面圖中自然的“孔”，它所限定的區(qū)域不再有支路。如果一條路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合所形成的閉合路徑，稱為回路。(6)回路(7)網(wǎng)孔(8)樹:一個連通圖G的樹T是指G的一個連通子圖，它包含G的全部節(jié)點(diǎn)，但不含任何回路。樹支數(shù)連支數(shù)樹中的支路稱為“樹支”；不屬于T的其他支路稱為“連支”。(9)基本回路只含一條連支的回路稱為單連支回路，它們的總和為一組獨(dú)立回路，稱為“基本回路”。樹一經(jīng)選定，基本回路唯一地確定下來?；净芈窋?shù)(組)二、割集與單樹支割集

(2)只要少移去一條支路（即保留該支路集合中的任意一條支路）時，圖仍然連通。1、割集:連通圖G的割集是指其一個支路集合：滿足兩個條件(1)將該支路集合中的全部支路移去（保留結(jié)點(diǎn)），G將分離成兩部分；①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q4:{1,5,2}Q3:{1,5,4}Q2:{2,3,6}例:1234{1，2，3，4}割集三個分離部分1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，圖不連通由于KCL適用于任何一個閉合面，對于每一個割集來說，組成割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。對于一個連通圖，可有多個割集，可以列出與割集數(shù)相等的KCL方程。這些方程彼此之間并不獨(dú)立。2、單樹支割集(基本割集)只含一條樹支的割集稱為單樹支割集，它們的總和稱為“基本割集”。樹一經(jīng)選定，基本割集唯一地確定下來。連支集合不能構(gòu)成割集。即使所有連支都去掉，剩下的樹支仍然構(gòu)成連通圖，與割集的定義矛盾。由一條樹支和部分連支可以構(gòu)成割集。對于一個有n個結(jié)點(diǎn)和b條支路組成的電路，樹支數(shù)有（n-1）個，因此可以構(gòu)成（n-1）單樹支割集。稱之為基本（獨(dú)立）割集組。樹不同，獨(dú)立割集組不同，但單樹支割集數(shù)都有(n-1)個?？梢越柚凇皹洹眮泶_定獨(dú)立割集。①4321②④③56Q3:{1,5,3,6}①4321②④③56Q2:{3,5,4}①4321②④③56Q1:{2,3,6}單樹支割集獨(dú)立割集單樹支割集獨(dú)立割集例:①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}基本回路和基本割集關(guān)系對同一個樹1.由某個樹支bt確定的基本割集應(yīng)包含哪連支，每個這種連支構(gòu)成的單連支回路中包含該樹支bt。選{1，2，4}為一個樹2.由某個連支bl確定的單連支回路應(yīng)包含哪些樹支，每個這種樹支所構(gòu)成的基本割集中含有bl。①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}電路的圖是電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的抽象描述，圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：結(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣15-2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣一.關(guān)聯(lián)矩陣A用關(guān)聯(lián)矩陣形式描述結(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)ajkajk=+1表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)且它的方向背離結(jié)點(diǎn)（流出）ajk=-1表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)且它的方向指向結(jié)點(diǎn)（流入）ajk=0表示支路k與結(jié)點(diǎn)j無關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)矩陣Aa={ajk}n

b結(jié)點(diǎn)數(shù)支路數(shù)一條支路聯(lián)接于某兩個結(jié)點(diǎn)，稱該支路與這兩個結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，支路與結(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可用關(guān)聯(lián)矩陣描述。設(shè)有向圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b，則其關(guān)聯(lián)矩陣Aa為一階矩陣，用Aa表示。Aa=[ajk]中的行對應(yīng)圖的結(jié)點(diǎn)，列對應(yīng)圖的各個支路：645321①②④③Aa=1234

123456

100-101-1-10010

01100-1

00-11-10Aa=1234

123456

1-100

0-110

001-1-1001

010-1

10-10設(shè)④為參考結(jié)點(diǎn)-1-10010A=123

123456

100-101

01100-1支路結(jié)點(diǎn)Σ0每一支路，連接在兩個結(jié)點(diǎn)上，必然要背離一個結(jié)點(diǎn)，指向另一結(jié)點(diǎn)。稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣(n-1)

b

，表征獨(dú)立結(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，簡稱關(guān)聯(lián)矩陣。設(shè):支路電流的參考方向?yàn)橹贩较?，支路電壓與電流方向關(guān)聯(lián)，則6條支路電流電壓可以用一個6階列向量表示645321①②④③-1-10010A=123

123456

100-101

01100-1支路電壓支路電流結(jié)點(diǎn)電壓Ai=-1-10010

100-101

01100-1654321iiiiii②645321①④③Ai=0若支路電流的參考方向?yàn)橹贩较颍瑒tb條支路電流可以用一個b階列向量表示，由此可得到：用矩陣A表示的KCL的矩陣形式由此得到矩陣形式的KVL645321①②④③若支路電流的參考方向?yàn)橹贩较?，支路電壓與電流方向關(guān)聯(lián)，則b條支路電壓也可以用一個b階列向量表示-1-10010A=123

123456

100-101

01100-1結(jié)論：電路中的支路電壓可以用與該支路關(guān)聯(lián)兩個結(jié)點(diǎn)電壓表示，這正是結(jié)點(diǎn)電壓法的基本思想。二.回路矩陣B與基本回路矩陣Bf

+1支路k與回路j關(guān)聯(lián)，且方向一致–1支路k

與回路j關(guān)聯(lián)，且方向相反0支路k與回路j無關(guān)聯(lián)，即支路k不在回路j中bjk=1２３６５４約定：回路電流的參考方向取連支電流方向。用回路矩陣形式描述獨(dú)立回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)B={bjk}l

b基本回路數(shù)支路數(shù)一個回路由某些支路組成，稱這些支路與該回路關(guān)聯(lián)，支路與回路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可用回路矩陣描述。設(shè)有向圖的獨(dú)立回路數(shù)為l

、支路數(shù)為b,則其回路矩陣B是一個矩陣

B中的行對應(yīng)l個獨(dú)立回路，列對應(yīng)b條支路。舉例說明1２３６５４選4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。123Bf

=123456支回1001-100101-11=[Bl:Bt]00101-1BtBl123如果所選回路組是對應(yīng)于一個樹的單連支回路組，這種回路矩陣稱基本回路矩陣，即用基本回路矩陣形式描述基本（單連支）回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。2.支路排列順序?yàn)橄冗B(樹)支后樹(連)支。約定：1.回路電流的參考方向取連支電流方向?；净芈肪仃嘊f例選2、5、6為樹，連支順序?yàn)?、3、4。1２３６５４①②④③231123[Bf]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1

Bt

]確定基本回路矩陣需要先選擇一棵樹由于基本回路為單連支回路，所以其參考方向取為連支參考方向列寫時，將矩陣的列按連支與樹支分開排列的方式用矩陣B表示的KVL的矩陣形式Bu=1２３６５４123選4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。123Bf

=123456支回1001-100101-11=[Bl:Bt]00101-1BtBl若支路電流的參考方向?yàn)橹贩较?，支路電壓與電流方向關(guān)聯(lián)，則b條支路電壓(電流）可以用一個b階列向量表示。Bu=0

可寫成

ul+Btut=0ul=-Btut用樹支電壓表示連支電壓連支電壓樹支電壓矩陣形式的KVL的另一種形式由于矩陣B的每一列，也就是矩陣BT的每一行，表示每一對應(yīng)支路與回路的關(guān)聯(lián)情況，所以按矩陣的乘法規(guī)則可知i=BTil1２３６５４123選4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。用矩陣B表示的KCL的矩陣形式，這正是回路電流法的基本思想。1２３６５４①②④③231Bu=100-1-100101010010-11ulut設(shè)例：BTil=三.割集矩陣Q和基本割集矩陣Qfqjk=+1表示支路k與割集j

關(guān)聯(lián)且方向一致-1表示支路k與割集j

關(guān)聯(lián)且方向相反0表示支路k與割集j無關(guān)聯(lián)即支路不在割集j中用割集矩陣形式描述獨(dú)立割集和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)Q

={qjk}(n-1)

b基本割集數(shù)支路數(shù)1２３６５４一個割集由某些支路組成，稱這些支路與該割集關(guān)聯(lián)，支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可用割集矩陣描述。設(shè)有向圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n、支路數(shù)為b,則其獨(dú)立割集數(shù)為n-1。割集矩陣Q是一個矩陣

Q中的行對應(yīng)(n-1)個獨(dú)立割集，列對應(yīng)b條支路。指定一個割集方向:割集方向與樹支方向相同Q=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-1例1２３６５４①②④③選1、2、3支路為樹Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}選3、5、6為“樹”基本割集矩陣Qf

如果所選回路組是對應(yīng)于一個樹的單連支回路組，這種回路矩陣稱基本回路矩陣，即用基本回路矩陣形式描述基本（單連支）回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。割集方向?yàn)闃渲Х较?；支路排列順序先樹支后連支；割集順序與樹支次序一致。基本割集矩陣[Qf]規(guī)定1２３６５４①②④③QlQt[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-1選1、2、3支路為樹Q=45612