數(shù)學(xué)文化的特征

數(shù)學(xué)文化的特征

1數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵數(shù)學(xué)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會的一種文化，它對生活和工作的方式以及數(shù)學(xué)的概念產(chǎn)生了重大影響。它是基于數(shù)學(xué)概念的思維方式，是數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想和應(yīng)用的方法。這是人們精神疾病、態(tài)度、觀點(diǎn)和文化的傳達(dá)，它可以讓人們了解數(shù)學(xué)的真諦，了解數(shù)學(xué)的價值，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考和解決問題。它可以與學(xué)習(xí)、培養(yǎng)和發(fā)展知識有機(jī)地結(jié)合在一起。這就是為什么人們重視數(shù)學(xué)和文化的研究原因。數(shù)學(xué)文化是人類文化中的一個子文化,它不是孤立存在的,它與多種文化系統(tǒng)發(fā)生著關(guān)聯(lián).所謂數(shù)學(xué)文化,是指蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成過程中的觀點(diǎn)、信念、態(tài)度和方法,是比數(shù)學(xué)成果更有價值、更寶貴的內(nèi)容.種種事物的發(fā)展結(jié)果都有不同的表現(xiàn)形式,種種現(xiàn)象的產(chǎn)生與存在都有這樣或那樣的文化背景,數(shù)學(xué)是用一種理性的思維方式揭示其內(nèi)在本質(zhì)的因果關(guān)系.數(shù)學(xué)文化具有極強(qiáng)的科學(xué)特征,它始于對具體問題或具體素材的觀察、實(shí)驗(yàn)、合情推理,但從不滿足于、也不停留于觀察、實(shí)驗(yàn)、直觀活動,而總是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過比較、分析、綜合、概括,去揭示事物的本質(zhì),進(jìn)行逐級抽象,不斷用新的數(shù)學(xué)思想方法去處理和解決問題.它從不滿足于特殊情況的結(jié)果,而總是通過歸納、類比去探索、研究各種對象的本質(zhì)特征,揭示一類事物的一般規(guī)律,給出解決問題的一般方法,它從不滿足于局部范圍的統(tǒng)一,而總是通過拓廣原來的概念和理論去尋求更大范圍內(nèi)的統(tǒng)一,發(fā)展和構(gòu)建新的理論.數(shù)學(xué)文化的另一個顯著特征是人類共同創(chuàng)造、共同享受的文化.世界上幾乎每一種民族文化之中都有自己的數(shù)學(xué),民族數(shù)學(xué)在許多民族文化中占有重要組成部分.民族數(shù)學(xué)(Ethnomathematics),是拉丁美洲的數(shù)學(xué)教育工作者于1985年率先使用的一個新名詞.正是這些民族數(shù)學(xué)的交流、碰撞,促進(jìn)了數(shù)學(xué)不斷地產(chǎn)生問題、分析問題、研究問題、解決問題、表述問題.在這樣的過程中,人類創(chuàng)造和發(fā)展了數(shù)學(xué)的文化.同時,人們又在按自己的理解,享受著數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)文化是一種理性的文化,具有科學(xué)的哲學(xué)觀,數(shù)學(xué)文化超越了民族范疇,打破了地域界線.因此,數(shù)學(xué)文化是一種先進(jìn)的文化.2數(shù)學(xué)文化的形成近些年來,許多中外學(xué)者都在從事數(shù)學(xué)文化的研究.在我國,已有一些高等院校的教師,嘗試著將數(shù)學(xué)文化的某部分專題開設(shè)講座或選修課,不僅受到理科學(xué)生的歡迎,也使不少非理科專業(yè)的學(xué)生感到很有興趣.但是,要全面系統(tǒng)地總結(jié)出數(shù)學(xué)文化,并非是一件容易的事情.原因之一,數(shù)學(xué)文化幾乎是和人類文明平行發(fā)展起來的,經(jīng)歷了很長一段時間,形成既有數(shù)學(xué)獨(dú)有的特性,又有人類通用的共性的復(fù)雜系統(tǒng);原因之二,目前尚未有一種模式,用什么樣的方法來進(jìn)行總結(jié),對數(shù)學(xué)文化體系的認(rèn)識,尚不夠清晰.數(shù)學(xué)的思維理念是數(shù)學(xué)文化中的精髓.理念亦稱觀念,是看法、思想、思維活動的結(jié)果,是理性的概念.我們從事高校數(shù)學(xué)教學(xué)多年,對數(shù)學(xué)的思維理念有一些膚淺的體會,在此愿將這些體會總結(jié)出來,與大家交流,拋磚引玉,以提高我們對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識.2.1演繹與推理的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)是用演繹與推理的理念,來論證概念間轉(zhuǎn)換的恒等變化,從中體現(xiàn)準(zhǔn)確、完整、簡捷地揭示由條件到結(jié)論嚴(yán)密的邏輯關(guān)系,充分與必要的因果本質(zhì).然而在日常工作與生活中,缺乏演繹與推理的人,會犯“想當(dāng)然”思維的錯誤,“想當(dāng)然”是指不顧實(shí)際情況,只憑主觀想象來判斷和處理問題,結(jié)果往往事與愿違,得不到正確的結(jié)論與判斷.舉一個很簡單的例子來說明這一問題.例1假設(shè)我們可以沿地球赤道緊緊地拉一根繩子,打上結(jié),此時,繩子長度與赤道相等.然后把繩子剪開,加長10米,這樣繩子已不緊扣在赤道上,產(chǎn)生了縫隙.問該縫隙有多大?如果光憑想象去猜測,也許你會想:赤道那么長,加長10米算不得什么,恐怕伸一只手過去都困難,似乎只能塞一張紙過去,差不多可以忽略不計(jì).那么,縫隙到底有多大,我們不妨計(jì)算一下.實(shí)際情況讓你大吃一驚,縫隙居然有1.59米之大,大多數(shù)小學(xué)生可以從縫隙中走過去.做事如此,為人也是如此,“想當(dāng)然”地猜測別人,很難與人相處好.也舉一例說明.例2有人認(rèn)為:刮西北風(fēng)時,皮匠會發(fā)財(cái).他這樣推理的:刮西北風(fēng),風(fēng)沙就大/風(fēng)沙大,容易吹進(jìn)眼睛里/眼睛有了沙,就會害沙眼/沙眼嚴(yán)重,眼睛就要瞎/眼睛瞎了,總得謀生/瞎子的最好職業(yè)就是算命/要算命就得有把胡琴/要胡琴就要有蟒蛇皮蒙琴筒/蟒蛇是老鼠的天敵,蟒蛇少了,老鼠就會繁殖得快/老鼠多了吃掉的東西就多/老鼠要吃東西就會去咬皮箱/皮箱破了就要修補(bǔ)/要補(bǔ)皮箱就找皮匠/皮匠補(bǔ)的皮箱多了,他就一定會發(fā)大財(cái).用“想當(dāng)然”的思維方法,代替充分必要條件,最后推出一個荒唐的結(jié)論.“想當(dāng)然”是一種簡單、低級的思維方法,如果這樣用既不充分又非必要的瞎推測,牽強(qiáng)附會確定因果關(guān)系,主觀片面地處理事情看待別人,是必會鬧出很多矛盾的.以上例題說的是學(xué)習(xí)、做事和為人都是出自同一個道理,數(shù)學(xué)教育能培養(yǎng)正確的認(rèn)知態(tài)度,使主觀想象符合客觀實(shí)際.任何知識任何事物都是按照一定的概念、規(guī)律、法則建立起來的,有了正確的認(rèn)知態(tài)度,才能準(zhǔn)確、完整地理解概念、規(guī)律、法則,這是一個學(xué)生認(rèn)識世界,走向社會的必備素質(zhì).演繹與推理的理念,能使人克服想當(dāng)然的錯誤,培養(yǎng)實(shí)事求是的精神,正確認(rèn)識自己,正確認(rèn)識世界,學(xué)會與人、與社會、與自然融洽相處.2.2從屬性的角度進(jìn)行判斷我們知道,中學(xué)數(shù)學(xué)是以討論常量為基礎(chǔ),大學(xué)數(shù)學(xué)則是以研究變量為主體.對于一個未知量的變化屬性,數(shù)學(xué)上有清晰的界定,即在某一模型中,或某一變化過程中,不發(fā)生變化的量稱為常量,發(fā)生變化的量稱為變量.在這個理念中,很辯證地把未知量的內(nèi)在屬性,與它所處的外在環(huán)境狀態(tài)結(jié)合在一起.然而,人們在應(yīng)用時,要特別注重“模型”、“變化過程”等外在環(huán)境狀態(tài),不能將未知量的變化屬性絕對化.在不同狀態(tài)下,未知量的屬性是常量還是變量可能會不同.由此,根據(jù)已知條件,可得F′(x)≥0,故F(x)單調(diào)增加.以上兩例,很好地說明常量與變量的理念,內(nèi)在屬性與外部條件的辯證關(guān)系,未知量的屬性不是絕對的.如果在解題過程中,不考慮未知量所處模型不同,將其看成絕對的變量或絕對的常量,得不到正確的結(jié)論,必然會導(dǎo)致錯誤的產(chǎn)生.社會生活中,人們在不同的環(huán)境,不同的模型,不同的形勢中會產(chǎn)生許多不同的規(guī)則,如何把握規(guī)則與對策,什么時候可以打擦邊球、敲邊鼓、和稀泥,什么時候是政策高壓線,一票否決,雷打不動,如何區(qū)分“靈活性”和“原則性”的界限,把握好其中的度,常量與變量的理念也許會給我們一些啟示.2.3.能整體地復(fù)合一個重要的問題,能整體又提出具體地求解在高等數(shù)學(xué)的第一章里就運(yùn)用到分解與復(fù)合的理念.由五類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合用一個解析式表示的函數(shù),稱為初等函數(shù),也就是說初等函數(shù)是由簡單的基本初等函數(shù)復(fù)合而成.不僅如此,對于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,也都是由一些簡單的問題復(fù)合而成,解題時就要善于將復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題,才能一步步找到求解的方法.例5把極限、廣義積分、分步積分法、洛必達(dá)法則等概念綜合在一起,略顯復(fù)雜,將其分解后卻都是簡單的問題.同樣,能把看似無法聯(lián)系的問題,巧妙地復(fù)合成一個復(fù)雜的問題,無疑是一種智慧的閃光.該題將分步積分,中值定理,最大值等概念復(fù)合在一起,不失為一道精彩的數(shù)學(xué)題,借用現(xiàn)在流行的話來說,就是富有創(chuàng)意.顯見,這種創(chuàng)意在數(shù)學(xué)教科書中幾乎處處存在.凡是復(fù)雜的事情都是由一些簡單的事情復(fù)合而成,能否將復(fù)雜的事情分解成若干簡單的事情來做,是一個人能力高低的表現(xiàn);能否將一些簡單的事情復(fù)合成復(fù)雜的、高級的事情,需要的是創(chuàng)新思維.三峽工程、奧運(yùn)工程、甚至登月工程都是如此,它的設(shè)計(jì)與實(shí)施正是復(fù)合與分解的過程.要學(xué)會從蘋果中看到種子,也要從種子中看到蘋果,分解與復(fù)合的理念提供了處理復(fù)雜問題與簡單問題之間的最佳思維路徑.2.4歸歸納文化.歸納與反證(或反例)是數(shù)學(xué)的基本理念,在教科書中經(jīng)常運(yùn)用.歸納是指由個別到一般的思維觀念,即從兩個或幾個間稱判斷或特稱判斷(前提)得出一個新的全稱判斷(結(jié)論)的推理.數(shù)學(xué)中,由一些例題的解法總結(jié)出這類問題的一般解法或公式,或通過一些具體數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果來導(dǎo)出一般遞推公式或數(shù)學(xué)規(guī)律,它是通過考察一類事物的全體對象,肯定它們都具有某一屬性,從而歸納出這類事件都有這一屬性.歸納可以認(rèn)清事物個性與共性的關(guān)系,共性存在于個性之中,通過個性可以認(rèn)識共性,通過特殊可以認(rèn)識一般.個性中有的屬性是為全體所共有的,有的則是個體所具有.若把個性中屬于全體所共有的屬性抽出來加以歸納,得出一般結(jié)論,就屬于有效推理.反證(反例)的思維理念多用于兩類情況:一類為證明命題結(jié)論的唯一性,一類為證明命題的不成立,也舉兩例說明.例7若A為可逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的.證設(shè)A的逆矩陣不唯一,B、C均為A的逆矩陣.(若B≠C,則矩陣A的逆矩陣不唯一)例8命題:天下烏鴉一般黑.該命題的條件是“天下烏鴉”,結(jié)論為“一般黑”,要用歸納的方法證明其成立,難度很大,可以認(rèn)為天下的烏鴉有無窮多只,很難找到一種方法來認(rèn)定所有烏鴉的顏色.但要證明該命題不成立,從方法上講很簡單,只要找到一只“非黑”的烏鴉便可,數(shù)學(xué)上稱為反例.一個命題,如果找不到一種方法歸納其正確,也找不到一個反例證明其不正確,但其在有限的范圍內(nèi)可以驗(yàn)證是正確的,數(shù)學(xué)上稱為“猜想”.著名的“哥德巴赫猜想”,“費(fèi)爾馬猜想”就是如此.“天下烏鴉一般黑”也是個猜想,在找不到一只“非黑”烏鴉之前,可以認(rèn)為該命題在有限范圍內(nèi)是可以使用的.人們往往需要對一些事物進(jìn)行總結(jié),歸納的理念是用正向思維的方式總結(jié)其規(guī)律的正確性,反證的理念是用逆向思維的方式探討規(guī)律的可靠性.歸納與反證的理念為我們提供了用正向與逆向思維總結(jié)事物規(guī)律性的有效方式.2.5實(shí)際應(yīng)用過程中.解考中低成分關(guān)系的傳遞定義和加標(biāo)說明l數(shù)學(xué)的概念是抽象的,加之?dāng)?shù)學(xué)表述語言的精練,使不少人在學(xué)習(xí)中對概念的理解感到困難,有經(jīng)驗(yàn)的教師此時會采用示例與類比的方法.因?yàn)橐粋€好的示例,不僅可以打開思路,正確的應(yīng)用運(yùn)算方法,準(zhǔn)確理解概念的含意,還會起到意想不到的效果;類比是用舊的知識,熟悉的東西去類比新的、不熟悉的問題,在不失真的前提下,盡量用簡單的、具體的事例代替復(fù)雜的、抽象的問題,以達(dá)到盡快掌握、了解問題的目的.解這是一道應(yīng)用格林公式求解的例題,例題本身不復(fù)雜,但在講解時,需講清以下3點(diǎn),對學(xué)生掌握格林公式大有幫助:(1)正確確定P(x?y)=-x2y,Q(x?y)=xy2.(2)曲線L的逆時針方向即為格林公式中的正向.(3)在積分區(qū)域D內(nèi):x2+y2≤a2而非x2+y2=a2.例10傳遞定義:在集合X上的關(guān)系R,如果有(x,y)∈R,且(y,z)∈R,則必有(x,z)∈R,則稱R是傳遞的.定義的難點(diǎn)在于“如果有…且…則必有…則…”關(guān)鍵字的理解.這里,用了這樣一個問題來類比:在準(zhǔn)備乘火車的乘客中,如果有易爆物品,且隨身帶在行李中,則必須交給車站,則可以上車;空關(guān)系表示某乘客沒有易爆物品,當(dāng)然是可以上車的;類推某乘客,如果有易爆物品,但未隨身帶在行李中,則亦可上車,對于另一類符合傳遞定義的關(guān)系也解釋清楚了;再類推非傳遞的概念:某乘客有易爆物品,且隨身帶在行李中,但不肯交出來,則不可上車.即(x,y)∈R,且(y,z)∈R,但(x,z)?R,則稱R是非傳遞的.在社會活動中,人們都會碰到去做一些不熟悉的事情,研究一些不熟悉的問題.示例與類比的理念就是憑自身的經(jīng)驗(yàn),以熟悉的事物為參照,認(rèn)清不熟悉事物的核心部分,模擬問題的實(shí)際狀況,克服抓不住要領(lǐng),摸不著邊際的盲目狀態(tài),摸著石頭過河,示例與類比就是經(jīng)驗(yàn)的“石頭”.2.6加公式化的概念數(shù)學(xué)的一切理論都是由具象到抽象的思維活動的產(chǎn)物,數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象,具體表現(xiàn)在4個方面.內(nèi)容的特殊性:數(shù)學(xué)抽象僅抽取事物或現(xiàn)象的量的關(guān)系和空間形式而舍棄其它一切;方法上的特殊性:數(shù)學(xué)抽象是一種構(gòu)造性活動,是借助定義和推理進(jìn)行的邏輯建構(gòu),如近世代數(shù)中的由環(huán)到理想,再到商環(huán)的逐步抽象;程度上的特殊性:數(shù)學(xué)中的大部份研究對象是在抽象對象(即對于真實(shí)事物的直接抽象)之上的再抽象的結(jié)果,即由相對初級概念邏輯地抽象或定義出新的抽象度更高、更加公式化的概念;語言上的特殊性:為了表述一個抽象的概念或復(fù)雜的運(yùn)算,不能以普通的自然語言形式存在和被描述,數(shù)學(xué)語言(包括數(shù)學(xué)符號)要比自然語言簡潔和明確得多,符號越多,數(shù)學(xué)就越加抽象,越加形式化、規(guī)范化.例如,牛頓—萊布尼茲從“切線的斜率”、“變速直線運(yùn)動的瞬時速度”等實(shí)際問題中,抽象出導(dǎo)數(shù)(f′(x))的定義.在此基礎(chǔ)上再次抽象出導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),從而用數(shù)量的關(guān)系對函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加(f′(x)>0)、單調(diào)減少(f′(x)<0=,在某一點(diǎn)附近函數(shù)相對自變量的變化或快(|f′(x)|>1)、或慢(|f′(x)|<1)進(jìn)行刻畫.例如,圖論的原始問題起源很早,歐拉在著名的“哥尼斯堡七橋問題”的基礎(chǔ)上,抽象出結(jié)點(diǎn)與邊的定義.并用結(jié)點(diǎn)與邊間的相互關(guān)系,進(jìn)而抽象出圖的性質(zhì)與運(yùn)算方式.近年來圖論發(fā)展迅速,成為一門很有價值的學(xué)科.以上特性貫穿在每一本教科書中,可以列舉的例子很多.這種“引例—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的過程,實(shí)際上是由具體事物到抽象概念,由抽象概念到運(yùn)算性質(zhì),運(yùn)算性質(zhì)到應(yīng)用方法的一步步認(rèn)識上的升華.數(shù)學(xué)的由具象到抽象的思維理念與人們在對事物規(guī)律性的總結(jié)過程是一致的,因此,可以很好地引導(dǎo)人們從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識,從理性認(rèn)識到規(guī)律形式,從規(guī)律形式到指導(dǎo)行動.當(dāng)前一些有意義的活動:“希望工程”、“助學(xué)綠色通道”、“圓夢行動”、“共建和諧社區(qū)”等,都是從具體的問題中抽象出來的概念,然后由概念轉(zhuǎn)換成口號,由口號指導(dǎo)具體的行動.這些簡捷明了的口號,是大范圍內(nèi)的一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程的行動策劃,既有目標(biāo),又有方式.3數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的重要作用傳統(tǒng)教育的著眼點(diǎn),注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)傳授知識的功能,它能給學(xué)生對所學(xué)過的課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ).隨著培養(yǎng)以創(chuàng)造性人才為核心的素質(zhì)教育觀念的樹立,傳統(tǒng)教育的弊端就顯現(xiàn)出來:過分強(qiáng)調(diào)教育傳授知識的功能,忽略了教育培養(yǎng)素質(zhì)和能力的功能;一個專業(yè)分割成幾十門獨(dú)立的課程,把整體的專業(yè)知識分得過細(xì),相互獨(dú)立性太強(qiáng),相容性不夠;最能體現(xiàn)能力培養(yǎng)的是畢業(yè)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié),一般都安排在最后一個學(xué)期,此時學(xué)生忙于找工作,無心設(shè)計(jì),閉門造車,畢業(yè)設(shè)計(jì)只是流于形式,對能力的培養(yǎng)產(chǎn)生不了多大的實(shí)效,對知識“活”的領(lǐng)會,綜合的應(yīng)用,缺乏用心去感悟的時間和過程.數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是一種文化普通教育.以往若談及數(shù)學(xué)文化,不少人感到茫然,這就反證了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的缺陷,至少是認(rèn)識上的偏差.數(shù)學(xué)教育如果缺乏數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵,不少學(xué)者戲稱那只是一種“冰冷的美”.若能注重?cái)?shù)學(xué)的文化觀念,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人為性,就會改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度,認(rèn)為數(shù)學(xué)是他們生活中不可缺少的一部分,進(jìn)而自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)去解決生活、生產(chǎn)和社會中的實(shí)際問題.或許對克服傳統(tǒng)教育的弊端會起到一定的作用.什么是知識,簡單地說知識就是事物規(guī)律性的總結(jié).例如:高等數(shù)學(xué)是以5類基本初等函數(shù)為基礎(chǔ),研究函數(shù)在動態(tài)情況下的變化規(guī)律,數(shù)學(xué)給出了總結(jié)事物規(guī)律的模式.數(shù)學(xué)模式指的是,按照某種理想化的要求(或?qū)嶋H可應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn))來反映或概括地表現(xiàn)一類和一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式.數(shù)學(xué)理論闡明了模式間的關(guān)系,函數(shù)和對應(yīng),算子和映射把一類模式與另一類模式聯(lián)系起來,從而產(chǎn)生了穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)應(yīng)用即是利用這些模式對于適用的自然現(xiàn)象做出“解釋”和“預(yù)言”,數(shù)學(xué)是模式的科學(xué).世界上的事物形形色色,但做人、做事、做學(xué)問的道理是相通的,數(shù)學(xué)的模式是這些道理的準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、簡捷的抽象形式,具有極強(qiáng)的可操作性和指導(dǎo)性.數(shù)學(xué)模式是數(shù)學(xué)思維理念的結(jié)晶,是數(shù)學(xué)文化長期積淀的產(chǎn)物.在數(shù)學(xué)文化的氛圍下進(jìn)行數(shù)學(xué)教育,這是很有必要的.用數(shù)學(xué)的思維范疇、數(shù)學(xué)的哲學(xué)范疇的高度和廣度,審視數(shù)學(xué)的學(xué)科范疇,使數(shù)學(xué)的觀