bio固結(jié)方程的推導(dǎo)及其應(yīng)用

bio固結(jié)方程的推導(dǎo)及其應(yīng)用

1以應(yīng)力及應(yīng)變張量形式的存固固界面理論是巖石力學(xué)的研究對(duì)象，是固固界面機(jī)制的理論基礎(chǔ)。自1941年,Biot提出固結(jié)方程以后,許多學(xué)者對(duì)這些方程進(jìn)行了研究,并利用該理論解決了大量的工程問題。通過對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)資料的調(diào)研,發(fā)現(xiàn)對(duì)于Biot固結(jié)方程的形式,至今尚未形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。Biot固結(jié)方程包括4部分,即巖土體單元的平衡方程、固體骨架的本構(gòu)方程、巖土體單元的連續(xù)性方程和Darcy定律。根據(jù)這些方程,給定初始條件和邊界條件后就可以對(duì)問題進(jìn)行求解。巖土體單元的平衡方程用張量形式可以表示為(對(duì)于應(yīng)力和應(yīng)變的符號(hào),本文以拉為正):式中:?為梯度算子;σe為有效應(yīng)力張量;p為流體壓力;α為有效應(yīng)力系數(shù)(標(biāo)量或二階張量);F為體力矢量。對(duì)上述平衡方程,學(xué)者間不存在異議。在彈性條件下,固體骨架的本構(gòu)方程即為虎克定律,用張量可以表示為式中:ε為應(yīng)變張量;σe為彈性應(yīng)力增量;C為4階彈性系數(shù)張量。對(duì)此本構(gòu)方程,學(xué)者間不存在異議。Darcy定律描述水頭梯度與滲流速度的關(guān)系,一般表示為式中:q為滲流速度;k為滲透系數(shù);h為水頭,對(duì)此方程,學(xué)者間也不存在爭(zhēng)議。對(duì)于巖土體單元的連續(xù)性方程(下稱連續(xù)性方程),在固體顆粒和流體都不可壓縮的條件下,Biot給出的形式為式中:εv為固體骨架的體積應(yīng)變,文獻(xiàn)采用了該形式的連續(xù)性方程,但部分學(xué)者提出了不同的看法,爭(zhēng)議的焦點(diǎn)是式(4)的右端是否應(yīng)該包含有效應(yīng)力系數(shù)α。Biot是在小變形假設(shè)條件下通過引入應(yīng)變能密度函數(shù),利用偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則推導(dǎo)出連續(xù)性方程,雖然此過程中沒有用到質(zhì)量守恒方程,但其推導(dǎo)思路是嚴(yán)密的,按照該思路應(yīng)該能得到正確的連續(xù)性方程。既然不同的學(xué)者在式(4)所示的連續(xù)性方程上存在分歧,說明Biot在推導(dǎo)過程中可能存在失誤。本文將首先回顧Biot推導(dǎo)土體連續(xù)性方程的過程,對(duì)此過程中可能出現(xiàn)的問題進(jìn)行探討,并嘗試?yán)肂iot的思路推導(dǎo)出正確的連續(xù)性方程。2固結(jié)方程的方法為了對(duì)流體的連續(xù)性方程進(jìn)行討論,本節(jié)將首先回顧Biot初期推導(dǎo)固結(jié)方程的方法,找出其在推導(dǎo)過程中存在的錯(cuò)誤。在此基礎(chǔ)上,根據(jù)Biot的思路重新推出連續(xù)性方程,并將該方程與通過質(zhì)量守恒定律得到的方程進(jìn)行對(duì)比,從而確定固結(jié)方程中的連續(xù)性方程的正確形式。2.1固結(jié)基本方程式(4)所示的連續(xù)性方程的是Biot在文獻(xiàn)中首次給出的,并在文獻(xiàn)中重新給出了推導(dǎo)過程,盡管這兩篇文獻(xiàn)最后推導(dǎo)出了相同的固結(jié)基本方程,但兩者的推導(dǎo)過程是有差別的。下面將概述上述兩篇文章的推導(dǎo)思路。文獻(xiàn)并沒有引入有效應(yīng)力的概念。采用的基本變量為土體的7個(gè)動(dòng)力分量和7個(gè)運(yùn)動(dòng)分量。7個(gè)動(dòng)力分量為土體的6個(gè)應(yīng)力(總應(yīng)力)分量σxx、σyy、σzz、τxy、τyz、τxz以及水壓力增量p,7個(gè)運(yùn)動(dòng)分量為土體骨架的6個(gè)應(yīng)變分量εxx、εyy、εzz、γxy、γyz、γxz以及單位體積土體中水的體積改變量θ。求解固結(jié)問題時(shí),所用的基本場(chǎng)變量為土體骨架的位移ux、uy、uz和水壓力增量p。文獻(xiàn)中,在小變形的條件下,假設(shè)運(yùn)動(dòng)分量與動(dòng)力分量間是線性關(guān)系,并且在各向同性條件下剪應(yīng)力對(duì)水的體積變化沒有影響,則有(本文符號(hào)規(guī)定以拉為正,這可能造成本文給出的公式和相關(guān)文獻(xiàn)中的符號(hào)有差異,但這不會(huì)影響公式的意義):式中:E和ν為固體骨架的彈性模量和泊松比;G為固體骨架的剪切模量;H、H′和R為參數(shù)。假設(shè)土體單元的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)為為了推導(dǎo)公式的方便,假設(shè)土體單元僅受到靜水壓力σ1的作用,此時(shí)有σxx=σyy=σzz=σ1,τxy=τyz=τxz=0,則有:式中:εv為土體骨架的體積變形,即εv=εxx+εyy+εzz。此時(shí),由式(5)可得式中:,為土體單元的體積模量。由式(7)可得則有:由式(8)和式(10)可以得到:H=H′。如果令H1=1H′=Kα,K為骨架的體積模量,α為有效應(yīng)力系數(shù),則式(5)可以表示為式中:;則表示流體壓力引起的流體和固體顆粒的體積變形量。假設(shè)固體顆粒和流體不可壓縮,則Q=∞,此時(shí)單位土體內(nèi)流體的體積改變量必然等于經(jīng)過單位土體邊界上流入或流出的流體的體積,設(shè)土體單元的滲流速度為q,由式(11)的第7式可得由此,得到了式(4)所示的連續(xù)性方程。文獻(xiàn)得到的固結(jié)基本方程和文獻(xiàn)是一樣的,但其推導(dǎo)過程與文獻(xiàn)稍有不同,該文引入了有效應(yīng)力的概念,并以孔隙率作為有效應(yīng)力系數(shù),采用的基本變量仍然是7個(gè)動(dòng)力分量和7個(gè)運(yùn)動(dòng)分量,但此處的7個(gè)應(yīng)力分量的應(yīng)力部分已經(jīng)從前文的土體的應(yīng)力分量換成了土體骨架的應(yīng)力分量,即用有效應(yīng)力分量代替了總應(yīng)力分量,而水壓則變成了流體承受的壓力,即σ=fp,其中f為孔隙率,p為流體壓力;同時(shí),7個(gè)運(yùn)動(dòng)分量則變?yōu)楣腆w骨架的變形和流體的體積應(yīng)變。求解固結(jié)問題時(shí),所用的基本場(chǎng)變量與前文不同,為土體骨架的位移ux、uy、uz和流體的位移Ux、Uy、Uz。此文中用到的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)為式中:εv′為與流體的位移有關(guān)的量,表示為。后來,Biot指出,該變量并不是流體的體積應(yīng)變,而僅僅是流體位移的散度。文獻(xiàn)利用該應(yīng)變能密度函數(shù)得到了應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系和水壓與εv′的關(guān)系,即根據(jù)土體應(yīng)力的平衡方程和Darcy定律,可得到固結(jié)方程,其中連續(xù)性方程的形式和文獻(xiàn)是相同的,即式(4)。式(13)表示的應(yīng)變能密度函數(shù)與式(6)在形式上是一致的,但采用的變量是有差別的。對(duì)于固體,兩式所用的應(yīng)變都是固體骨架的應(yīng)變,但式(6)中的應(yīng)力是土體的總應(yīng)力,而式(13)中的應(yīng)力為土體骨架的有效應(yīng)力;對(duì)于流體,式(6)中用的是流體的壓力和體積變化量,而式(13)中用的是流體所承受的壓力和與流體的位移有關(guān)的量。從上述兩篇文獻(xiàn)的對(duì)比分析可以看出,Biot在初始建立固結(jié)基本方程時(shí),推導(dǎo)過程中使用的變量是混亂的,盡管兩種方法得到了相同的固結(jié)基本方程,背后似乎帶有一定的幸運(yùn)。2.2考慮土體顆粒和流體的可壓縮性的連續(xù)性方程從2.1節(jié)中所述的推導(dǎo)過程可以看出,Biot在得到流體的連續(xù)性方程時(shí),并沒有使用質(zhì)量守恒定律,所以得到的式(4)不一定滿足質(zhì)量守恒方程。事實(shí)上,正如文獻(xiàn)所指出的,式(4)與質(zhì)量守恒方程存在沖突。在恒溫和小變形條件下,Biot推導(dǎo)固結(jié)方程的思路是嚴(yán)密的,對(duì)比2.1節(jié)所述的兩篇文獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)彈性應(yīng)變能密度函數(shù)在兩者中的定義是混亂的,可能正是由于該定義的不正確性,導(dǎo)致最終結(jié)果與質(zhì)量守恒存在沖突。本節(jié)將首先通過分析土體單元的變形,獲得考慮土體顆粒和流體壓縮性的連續(xù)性方程,而后根據(jù)Biot推導(dǎo)固結(jié)方程的思路,通過引入新的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)驗(yàn)證了上述連續(xù)性方程。沿用文獻(xiàn)中的定義,動(dòng)力分量仍然采用土體單元總應(yīng)力分量和流體壓力,運(yùn)動(dòng)分量采用土體骨架的應(yīng)變和從土體單元中流出的流體的體積。在小變形條件下,假設(shè)運(yùn)動(dòng)分量與動(dòng)力分量存在線性關(guān)系,即式(5)。為了簡(jiǎn)化分析過程,假設(shè)土體單元僅受到靜水壓力的作用,則土體單元上的應(yīng)力,即總應(yīng)力為σxx=σyy=σzz=σ1,τxy=τyz=τxz=0。根據(jù)文獻(xiàn)的推導(dǎo)思路,引入有效應(yīng)力,并設(shè)有效應(yīng)力系數(shù)為α,則式(5)可簡(jiǎn)化為對(duì)于一般的情況,設(shè)土體顆粒和流體都是可以壓縮的。令土體的體積應(yīng)變?yōu)棣舦,土體顆粒的體積應(yīng)變?yōu)棣舦s,土體單元內(nèi)部的流體的體積應(yīng)變?yōu)棣舦f,則對(duì)于土體單元可以得到:式中:V為土體單元的體積。式(16)兩邊同除以V,并移項(xiàng)后可得假設(shè)土體單元中滲流的速度為q,則有:下面求解εv、εvf和εvs與應(yīng)力的關(guān)系。由式(15)可求得:。因?yàn)橥馏w單元內(nèi)部的流體的壓力為p,有,其中:f為孔隙度,Kf為流體的體積模量。為了求出εvs,因?yàn)樵趶椥詶l件下,應(yīng)力疊加原理是適用的,可以將土體單元中的應(yīng)力分兩步施加。第1步施加的靜水壓力大小為σ1-p,流體壓力為0,由于土體顆粒的變形模量遠(yuǎn)大于土體骨架的變形模量,可以認(rèn)為此時(shí)土體單元的變形主要為骨架的變形,固體顆粒的變形很小,可以忽略;第2步施加的靜水壓力大小為p,流體壓力也為p,根據(jù)應(yīng)力邊值問題的唯一解理論,可得,Ks為固體顆粒的體積模量。將上述各體積應(yīng)變值代入式(18)可得式(19)即為考慮土體顆粒和流體可壓縮條件下的連續(xù)性方程,如果僅考慮流體的可壓縮性,而不考慮土體顆粒的壓縮性,則式(19)簡(jiǎn)化為這與文獻(xiàn)的結(jié)果是一致的。如果不考慮土體顆粒和流體的可壓縮性,則式(19)簡(jiǎn)化為此式即為部分文獻(xiàn)[7,10-11]中使用的連續(xù)性方程。下面用Biot推導(dǎo)固結(jié)方程的思路推導(dǎo)出式(19)所示的方程。因?yàn)樵谂潘闆r下土體單元是變質(zhì)量系統(tǒng),根據(jù)多孔介質(zhì)的定義條件,流出土體單元的流體不能再算作土體單元的一部分,那么在計(jì)算土體單元的彈性能時(shí),此部分流體儲(chǔ)存的彈性能就應(yīng)該去除,則在彈性條件下,土體單元的彈性能由3部分組成:一部分為固體骨架的變形儲(chǔ)存的彈性能,一部分為土體單元內(nèi)流體的壓縮儲(chǔ)存的彈性能,另一部分為土體顆粒變形儲(chǔ)存的彈性能,則土體單元的彈性能表示為土體的彈性應(yīng)變能密度函數(shù)可表示為由式(17)和式(23)可得由上式可得根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,可得根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則,可得從式(15)可以求得用εv和θ表示的σ1和p,然后代入式(27),經(jīng)過簡(jiǎn)單的運(yùn)算可以得到:將式(28)代入式(15)的第3式,并由,可得式中:,表示儲(chǔ)水系數(shù),表示流體壓力增大1個(gè)單位,流入介質(zhì)的流體的體積。由式(29)可得流體的連續(xù)性方程為對(duì)比式(19)和式(30),可以得到:如果土體顆粒和流體都不可壓縮,則Q=∞,由式(30)可以得到式(21)表示的連續(xù)性方程。至此,無論通過對(duì)土體單元變形的分析,還是通過改正Biot推導(dǎo)固結(jié)方程中使用的應(yīng)變能密度函數(shù),在固體顆粒和流體都不可壓縮條件下,都得到了式(21)所示的連續(xù)性方程。2.3質(zhì)量守恒定律很多文獻(xiàn)在固體顆粒和流體不可壓縮條件下,推導(dǎo)了式(21)所示的連續(xù)性方程。值得指出的是,丁洲祥把飽和土體單元看作變質(zhì)量系統(tǒng),土體單元的質(zhì)量變化率等于通過單元表面的流體的質(zhì)量變化率,從而根據(jù)質(zhì)量守恒定律推出了流體連續(xù)性方程的一般形式:式中:DρDt為土體密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù);vsi為固相的速度;qj為液相的滲流速度。在固體顆粒和流體都不可壓縮條件下,得到了流體連續(xù)性方程為顯然,此式和式(21)是等價(jià)的,從而說明式(21)表示的連續(xù)性方程是滿足質(zhì)量守恒定律的,是連續(xù)性方程的正確形式。3連續(xù)性方程的修正為了得到正確的連續(xù)性方程的形式,首先回顧了Biot推導(dǎo)固結(jié)方程的過程