第二章函數(shù)的奇偶性及周期性

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練

考

什

么理解函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性.怎

么

考1.函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點(diǎn)．2.函數(shù)奇偶性的判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點(diǎn)解決相關(guān)問題、

利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值等問題是重

點(diǎn)，也是難點(diǎn)．3.題型以選擇題和填空題為主，還可與函數(shù)單調(diào)性等其他知

識(shí)點(diǎn)交匯命題.一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱f－＝ff－＝－fy軸原點(diǎn)二、周期性1．周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)y＝f為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．f＋T＝f2．最小正周期如果在周期函數(shù)f的所有周期中的正數(shù)，那么這個(gè)就叫做f的最小正周期．存在一個(gè)最小最小正數(shù)答案：C答案：B答案：B3．教材習(xí)題改編已知定義在R上的奇函數(shù)f，滿足f＋4＝f，則f8的值為 A．－1 B．0C．1 D．2解析：因f為奇函數(shù)且f＋4＝f．∴f0＝0，T＝4∴f8＝f0＝0答案：23解析：由奇偶函數(shù)的定義知：1為偶函數(shù)；23為奇函數(shù)；4既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)．答案：－95．2011·廣東高考設(shè)函數(shù)f＝3cos＋a＝11，則f－a＝________解析：觀察可知，y＝3cos為奇函數(shù)，且fa＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝－a＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反之亦然；3若奇函數(shù)f在＝0處有定義，則f0＝0；4利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．2011·廣東高考設(shè)函數(shù)f和g分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是A．|f|－g是奇函數(shù) B．|f|＋g是偶函數(shù)C．f－|g|是奇函數(shù) D．f＋|g|是偶函數(shù)D設(shè)F＝f＋|g|，由f和g分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，得F－＝f－＋|g－|＝f＋|g|＝F，∴f＋|g|是偶函數(shù)．——————課堂突破保分題，分分必保！1．2011·臺(tái)州一模下列給出的函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是 A．y＝2|| B．y＝2－C．y＝2 D．y＝3答案：B解析：y＝2||是偶函數(shù)，y＝2是奇函數(shù)，y＝3是奇函數(shù)，y＝2－既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．2．2012·麗水模擬若函數(shù)f＝3＋3－與g＝3－3－的定義域均為R，則 A．f與g均為偶函數(shù)B．f為偶函數(shù)，g為奇函數(shù)C．f與g均為奇函數(shù)D．f為奇函數(shù)，g為偶函數(shù)解析：由f－＝3－＋3＝f可知f為偶函數(shù)，由g－＝3－－3＝－3－3－＝－g可知g為奇函數(shù)．答案：B利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法1首先求函數(shù)的定義域，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件．2如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可進(jìn)一步判斷f－＝－f，或f－＝f是否對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)恒成立恒成立要給予證明，否則要舉出反例．注意：分段函數(shù)判斷奇偶性應(yīng)分段分別證明f－與f的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性法一：∵f是定義在R上的奇函數(shù)，且≤0時(shí)，f＝22－，∴f1＝－f－1＝－2×－12＋－1＝－3A法二：設(shè)>0，則－<0，∵f是定義在R上的奇函數(shù)，且≤0時(shí)，f＝22－，∴f－＝2－2－－＝22＋，又f－＝－f，∴f＝－22－，∴f1＝－2×12－1＝－3B本例的條件不變，若n≥2且n∈N*，試比較f－n、f1－n、fn－1與fn＋1．解：因?yàn)閒為偶函數(shù)，所以f－n＝fnf1－n＝fn－1．又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f在0，＋∞為減函數(shù)，且0<n－1<n<n＋1，∴fn＋1<fn<fn－1．∴fn＋1<f－n<fn－1＝f1－n．答案：0解析：當(dāng)<0時(shí)，則－>0，∴f＝2＋，f－＝a2－b，而f－＝－f，即－2－＝a2－b，∴a＝－1，b＝1，故a＋b＝05．2012·皖南八校聯(lián)考已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f＝2＋2≥0，若f3－a2>f2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)閒＝2＋2在[0，＋∞上是增函數(shù)，又因?yàn)閒是R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f是R上的增函數(shù)，要使f3－a2>f2a，只需3－a2>2a，解得－3<a<1答案：－3,1函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f的方程，從而可得f的解析式．2已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)．常常采用待定系數(shù)法：利用f±f－＝0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值．3奇偶性與單調(diào)性綜合時(shí)要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反A6．2012·寶雞模擬已知f是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤＜2時(shí)，f＝3－，則函數(shù)y＝f的圖象在區(qū)間上與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．6 B．7C．8 D．9—————課堂突破保分題，分分必保！解析：因?yàn)楫?dāng)0≤＜2時(shí)，f＝3－，所以f0＝0，又因?yàn)閒是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，所以f6＝f4＝f2＝f0＝0，又因?yàn)閒1＝0，所以f3＝0，f5＝0，故函數(shù)y＝f的圖象在區(qū)間上與軸的交點(diǎn)有7個(gè)．答案：B7．2011·南昌第一次模擬已知f是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意∈R都有f＋6＝f＋2f3，且f－1＝2，則3＝________，f2011＝________解析：依題意得f－3＋6＝f－3＋2f3，即有f3＝f3＋2f3，所以f3＝0，f＋6＝f，即函數(shù)f是以6為周期的函數(shù)．注意到2011＝6×335＋1，因此有f2011＝f1＝f－1＝2答案：028．2011·臨沂一模設(shè)定義在R上的函數(shù)f滿足f·f＋2＝13，則f的周期為________．答案：4遞推法：若f＋a＝－f，則f＋2a＝f＝－f＋a＝f，所以周期T＝2a換元法：若f＋a＝f－a，令－a＝t，＝t＋a，則ft＝ft＋2a，所以周期T＝2a數(shù)學(xué)思想方程思想在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用