初中數(shù)學(xué)圖形對(duì)稱和圖形旋轉(zhuǎn)及圖形平移提高練習(xí)和常考題型和培優(yōu)題含解析

-.z.初中數(shù)學(xué)圖形對(duì)稱和圖形旋轉(zhuǎn)?？碱}型和?？碱}一．選擇題（共16小題）1．以下圖形中對(duì)稱軸的數(shù)量小于3的是（）A． B． C． D．2．如圖，△ABC的面積為6，AC=3，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點(diǎn)C落在直線AD上的C′處，P為直線AD上的一點(diǎn)，則線段BP的長(zhǎng)不可能是（）A．3 B．4 C．5.5 D．103．如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．2+4．如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平；再一次折疊，使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，展平紙片后∠DAG的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為MN，若AB=2，BC=4，則線段MN的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．26．如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開(kāi)，折痕為MN，再過(guò)點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE．若AB的長(zhǎng)為2，則FM的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在*軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）8．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=6，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得折痕EF．則tan∠BFE的值是（）A． B．1 C．2 D．39．如圖，AD為△ABC的BC邊上的中線，沿AD將△ACD折疊，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，已知∠ADC=45°，BC=4，則點(diǎn)B與C′的距離為（）A．3 B．2 C．2 D．410．如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BEC=90°，將△BEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使BC與AC重合，得到△AFC，連接EF交AC于點(diǎn)M，已知BC=10，CF=6，則AM：MC的值為（）A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：511．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與△ACP′重合，如果AP=4，則P，P′兩點(diǎn)間的距離為（）A．4 B．4 C．4 D．812．△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，以C為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)θ角到△A1B1C（旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持△ABC的形狀大小不變）B點(diǎn)恰落在A1B1上，如圖，則旋轉(zhuǎn)角θ的大小為（）A．α+10° B．α+20° C．α D．2α13．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，將此三角形繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到三角形A′B′C，若點(diǎn)B′恰好落在線段AB上，AC、A′B′交于點(diǎn)O，則∠COA′的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°14．如圖，△ABC中，AB=6，BC=4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，使得AF∥BC，延長(zhǎng)BC交AE于點(diǎn)D，則線段CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．715．如圖，矩形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1與AD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DA交A1D1于F，若AB=1，BC=，則AF的長(zhǎng)度為（）A．2﹣ B． C． D．﹣116．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當(dāng)A1落在AB邊上時(shí)，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D，連接A1D，則A1D的長(zhǎng)度是（）A． B．2 C．3 D．2二．填空題（共12小題）17．已知點(diǎn)P1（a，﹣3）和點(diǎn)P2（3，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，則a+b的值為．18．如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在*軸上，OB在y軸上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（，0），（0，1），把Rt△AOB沿著AB對(duì)折得到Rt△AO′B，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為．19．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點(diǎn)A正好與CD上的F點(diǎn)重合，若△FDE的周長(zhǎng)為16，△FCB的周長(zhǎng)為28，則FC的長(zhǎng)為．20．如圖，E為正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，DE=2EC=2，將△BEC沿BE所在的直線對(duì)折得到△BEF，延長(zhǎng)EF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則AM=．21．如圖，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD邊上一點(diǎn)，沿AE折疊△ADE，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，M是AF的中點(diǎn)，連接BM，則sin∠ABM=．22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是．23．將矩形ABCD紙片按如圖所示的方式折疊，EF，EG為折痕，試問(wèn)∠AEF+∠BEG=．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B'、C'處，聯(lián)結(jié)BC'與AC邊交于點(diǎn)D，則=．25．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△A′B′C，使點(diǎn)A′落在BC的延長(zhǎng)線上．已知∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=度．26．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若∠CAE=90°，AB=1，則BD=．27．如圖，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，BE平分∠DBC，交DC與點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，若CE=1cm，則BF=cm．28．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，4），對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、②、③、④、…則三角形⑩的直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為．三．解答題（共16小題）29．如圖，在平行四邊形ABCD中將△ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B′處，AB′和CD相交于O，求證：OD=OB′．30．如圖，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值*圍．31．如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長(zhǎng)．32．感知：如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，連結(jié)FC，易證∠GCF=∠GFC．探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并說(shuō)明理由．應(yīng)用：如圖②，若AB=5，BC=6，則△ADG的周長(zhǎng)為．33．如圖，四邊形ABCD表示一*矩形紙片，AB=10，AD=8．E是BC上一點(diǎn)，將△ABE沿折痕AE向上翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處，⊙O內(nèi)切于四邊形ABEF．求：（1）折痕AE的長(zhǎng)；（2）⊙O的半徑．34．如圖，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，將△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△COD，OC交AB于點(diǎn)F，CD分別交AB、OB于點(diǎn)E、H．求證：EF=EH．35．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且∠EAF=45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證：（1）EA是∠QED的平分線；（2）EF2=BE2+DF2．36．如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．37．如圖，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，求線段B′E的值．38．如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)．（1）證明：△ABE≌△C1BF；（2）證明：EA1=FC；（3）試判斷四邊形ABC1D的形狀，并說(shuō)明理由．39．如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE、CF相交于點(diǎn)D．（1）求證：BE=CF；（2）當(dāng)α=90°時(shí)，求四邊形AEDC的面積．40．如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在CB的延長(zhǎng)線上，邊AB交邊C′D′于點(diǎn)E．（1）求證：BC=BC′；（2）若AB=2，BC=1，求AE的長(zhǎng)．41．（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等，求∠EAF的度數(shù)．（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN=45°，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN2，ND2，DH2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）在圖①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．42．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)．若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，求AE′，BF′的長(zhǎng)；（2）如圖②，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（3）直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時(shí)，分別表示出此時(shí)點(diǎn)E′、D′、F′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．43．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF．（1）線段BE與AF的位置關(guān)系是，=．（2）如圖2，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)（0°＜a＜180°），連結(jié)AF，BE，（1）中的結(jié)論是否仍然成立．如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)（0°＜a＜180°），延長(zhǎng)FC交AB于點(diǎn)D，如果AD=6﹣2，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)．44．已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM．請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．初中數(shù)學(xué)圖形對(duì)稱和圖形旋轉(zhuǎn)常考題型和?？碱}參考答案與試題解析一．選擇題（共16小題）1．（2016?**）以下圖形中對(duì)稱軸的數(shù)量小于3的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對(duì)稱軸的概念求解．【解答】解：A、有4條對(duì)稱軸；B、有6條對(duì)稱軸；C、有4條對(duì)稱軸；D、有2條對(duì)稱軸．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱軸的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．2．（2016?棗莊）如圖，△ABC的面積為6，AC=3，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點(diǎn)C落在直線AD上的C′處，P為直線AD上的一點(diǎn)，則線段BP的長(zhǎng)不可能是（）A．3 B．4 C．5.5 D．10【分析】過(guò)B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根據(jù)折疊得出∠C′AB=∠CAB，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出BN=BM，根據(jù)三角形的面積求出BN，即可得出點(diǎn)B到AD的最短距離是4，得出選項(xiàng)即可．【解答】解：如圖：過(guò)B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，∵將△ABC沿AB所在直線翻折，使點(diǎn)C落在直線AD上的C′處，∴∠C′AB=∠CAB，∴BN=BM，∵△ABC的面積等于6，邊AC=3，∴×AC×BN=6，∴BN=4，∴BM=4，即點(diǎn)B到AD的最短距離是4，∴BP的長(zhǎng)不小于4，即只有選項(xiàng)A的3不正確，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的面積，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出B到AD的最短距離，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．3．（2016?**）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．2+【分析】連接CC′，根據(jù)△ABC、△A′BC′均為正三角形即可得出四邊形A′BCC′為菱形，進(jìn)而得出點(diǎn)C關(guān)于BC'對(duì)稱的點(diǎn)是A'，以此確定當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，AD+CD的值最小，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：連接CC′，如圖所示．∵△ABC、△A′BC′均為正三角形，∴∠ABC=∠A′=60°，A′B=BC=A′C′，∴A′C′∥BC，∴四邊形A′BCC′為菱形，∴點(diǎn)C關(guān)于BC'對(duì)稱的點(diǎn)是A'，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，AD+CD取最小值，此時(shí)AD+CD=2+2=4．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱中的最短線路問(wèn)題以及等邊三角形的性質(zhì)，找出點(diǎn)C關(guān)于BC'對(duì)稱的點(diǎn)是A'是解題的關(guān)鍵．4．（2016?**）如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平；再一次折疊，使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，展平紙片后∠DAG的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠2=∠4，再利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2=∠3，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：由題意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，則NG=AM，故AN=NG，則∠2=∠4，∵EF∥AB，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，∴∠DAG=60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確得出∠2=∠4是解題關(guān)鍵．5．（2016?**）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為MN，若AB=2，BC=4，則線段MN的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BO的長(zhǎng)，在直角三角形CDN中，根據(jù)勾股定理求出DN，即得出BN，在直角三角形BON中，用勾股定理求出ON即可．【解答】解：如圖，連接BM，DN在矩形紙片ABCD中，CD=AB=2，∠C=90°，在Rt△BCD中，BC=4，根據(jù)勾股定理得，BD==2，∴OB=BD=，由折疊得，∠BON=90°，MN=MN，BN=DN，∵BC=BN+=4，∴=4﹣BN，在Rt△CDN中，CD=2，根據(jù)勾股定理得，2+CD2=DN2，（4﹣BN）2+22=BN2，∴BN=，在Rt△BON中，ON==，∴MN=2ON=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的翻折變換和勾股定理，關(guān)鍵是掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解此類題目常用的方法是構(gòu)造直角三角形．6．（2016?宿遷）如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開(kāi)，折痕為MN，再過(guò)點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE．若AB的長(zhǎng)為2，則FM的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．1【分析】根據(jù)翻折不變性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過(guò)點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，∴FB=AB=2，BM=1，則在Rt△BMF中，F(xiàn)M=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了翻折變換的性質(zhì)，適時(shí)利用勾股定理是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2017?岱岳區(qū)模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在*軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）【分析】過(guò)D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE=DE，OA=CD=1，設(shè)OE=*，則CE=3﹣*，DE=*，利用勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長(zhǎng)度，也就求出了D的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，過(guò)D作DF⊥AF于F，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），∴AO=1，AB=3，根據(jù)折疊可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，設(shè)OE=*，則CE=3﹣*，DE=*，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣*）2=*2+12，∴*=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3﹣=，∴，即，∴DF=，AF=．∴OF=﹣1=．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的折疊問(wèn)題，也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．8．（2016?**自主招生）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=6，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得折痕EF．則tan∠BFE的值是（）A． B．1 C．2 D．3【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，由矩形的性質(zhì)，可得EH=AB=2，由折疊的性質(zhì)，可得BE=DE，設(shè)AE=*，由勾股定理即可求得方程：22+*2=（6﹣*）2，解此方程即可求得BH的長(zhǎng)，易得△BEF是等腰三角形，又由等腰三角形的性質(zhì)，可求得BF的長(zhǎng)，繼而求得答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是矩形，∴EH=AB=2，∠A=90°，設(shè)AE=*，則DE=AD﹣AE=6﹣*，由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE=6﹣*，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即22+*2=（6﹣*）2，解得：*=，∴BH=AE=，DE=，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∵∠DEF=∠BEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BF=DE=，∴FH=BF﹣BH=，∴tan∠BFE===3．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．9．（2016?**）如圖，AD為△ABC的BC邊上的中線，沿AD將△ACD折疊，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，已知∠ADC=45°，BC=4，則點(diǎn)B與C′的距離為（）A．3 B．2 C．2 D．4【分析】根據(jù)折疊前后角相等可知∠CDC′=90°，從而得∠BDC′=90°，在Rt△BDC′中，由勾股定理得BC′=2．【解答】解：∵把△ADC沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′，∴△ACD≌△AC′D，∴∠ADC=∠ADC′=45°，DC=DC′，∴∠CDC′=90°，∴∠BDC′=90°．又∵AD為△ABC的中線，BC=4，∴BD=CD=BC=2．∴BD=DC′=2，即三角形BDC′為等腰直角三角形，在Rt△BDC′中，由勾股定理得：BC′===2．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的翻折變換以及勾股定理的運(yùn)用，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．10．（2017?大石橋市校級(jí)一模）如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BEC=90°，將△BEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使BC與AC重合，得到△AFC，連接EF交AC于點(diǎn)M，已知BC=10，CF=6，則AM：MC的值為（）A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：5【分析】由旋轉(zhuǎn)可以得出△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，就有EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠AFC=90°，由勾股定理就可以求出AF的值，進(jìn)而得出CE∥AF，就有△CEM∽△AFM，就可以求出CM，DM的值，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵△BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°使BC與AC重合，得到△ACF，∴△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，∴EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠DFC=90°．在Rt△AFC中，由勾股定理，得AF=8．∵∠AFC=90°，∴∠AFC+∠ECF=180°，∴EC∥AF，∴△CEM∽△AFM，∴==，∴AM：MC=4：3，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，平行線的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵．11．（2017?**一模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與△ACP′重合，如果AP=4，則P，P′兩點(diǎn)間的距離為（）A．4 B．4 C．4 D．8【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：旋轉(zhuǎn)角度是90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AP=AP′=4，即△PAP′是等腰直角三角形，腰長(zhǎng)AP=4，則可用勾股定理求出斜邊PP′的長(zhǎng)．【解答】解：連接PP′，∵△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即線段AB旋轉(zhuǎn)后到AC，∴旋轉(zhuǎn)了90°，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=4，∴PP′===4，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．12．（2017?岱岳區(qū)模擬）△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，以C為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)θ角到△A1B1C（旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持△ABC的形狀大小不變）B點(diǎn)恰落在A1B1上，如圖，則旋轉(zhuǎn)角θ的大小為（）A．α+10° B．α+20° C．α D．2α【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=B1C，∠A1=∠A=α，可知∠CBB1=∠B1=90°﹣α，在等腰△CBB1中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得2（90°﹣α）+θ=180°，由此可得旋轉(zhuǎn)角θ的大?。窘獯稹拷猓河尚D(zhuǎn)得BC=B1C，∠A1=∠A=α，∠ABC=∠B1=90°﹣α，∴等腰△CBB1中，∠CBB1=∠B1=90°﹣α，∠BCB1=θ，∵△CBB1中，∠CBB1+∠B1+∠BCB1=180°，∴2（90°﹣α）+θ=180°，∴θ=2α，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．13．（2016?株洲）如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，將此三角形繞點(diǎn)C沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到三角形A′B′C，若點(diǎn)B′恰好落在線段AB上，AC、A′B′交于點(diǎn)O，則∠COA′的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由三角形的內(nèi)角和為180°可得出∠A=40°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出BC=B′C，從而得出∠B=∠BB′C=50°，再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的計(jì)算依據(jù)外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是算出∠ACB′=10°．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的角和相等的邊，再通過(guò)角的計(jì)算求出角的度數(shù)是關(guān)鍵．14．（2016?**）如圖，△ABC中，AB=6，BC=4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AEF，使得AF∥BC，延長(zhǎng)BC交AE于點(diǎn)D，則線段CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要證明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，屬于中考?？碱}型．15．（2016?黔西南州）如圖，矩形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1與AD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DA交A1D1于F，若AB=1，BC=，則AF的長(zhǎng)度為（）A．2﹣ B． C． D．﹣1【分析】方法1，先求出∠CBD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，判斷出點(diǎn)C1在矩形對(duì)角線BD上，求出BD，再求出∠DBF，從而判斷出DF=BD，即可．方法2，延長(zhǎng)BA交A1D1于H，先確定出∠AFD1=30°，在用含30°的直角三角形的性質(zhì)依次求出BH，AF即可．【解答】解法1，：連接BD，如圖所示：在矩形ABCD中，∠C=90°，CD=AB=1，在Rt△BCD中，CD=1，BC=，∴tan∠CBD==，BD=2，∴∠CBD=30°，∠ABD=60°，由旋轉(zhuǎn)得，∠CBC1=∠ABA1=30°，∴點(diǎn)C1在BD上，連接BF，由旋轉(zhuǎn)得，AB=A1B，∵矩形A1BC1D1是矩形ABCD旋轉(zhuǎn)所得，∴∠BA1F=∠BAF=90°，∵BF=BF，∴△A1BF≌△ABF，∴∠A1BF=∠ABF，∵∠ABA1=30°，∴∠ABF=∠ABA1=15°，∵∠ABD=60°，∴∠DBF=75°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=30°，∴∠BFD=75°，∴DF=BD=2，∴AF=DF﹣AD=2﹣，方法2，如圖，延長(zhǎng)BA交A1D1于H，由旋轉(zhuǎn)得，A1B=AB=1，∠CBC1=∠ABA1=30°，∠BA1D1=∠BAF=90°，在四邊形A1BAF中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得，∠A1FA=150°，∴∠AFH∠=30°，在Rt△A1BH中，A1B=1，∠A1BA=30°，∴BH=，∴AH=BH﹣AB=﹣1在Rt△AFH中，∠AFH=30°，∴AF=AH=2﹣故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角函數(shù)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．（2016?**）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當(dāng)A1落在AB邊上時(shí)，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D，連接A1D，則A1D的長(zhǎng)度是（）A． B．2 C．3 D．2【分析】首先證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2，∵CA=CA1，∴△ACA1是等邊三角形，AA1=AC=BA1=2，∴∠BCB1=∠ACA1=60°，∵CB=CB1，∴△BCB1是等邊三角形，∴BB1=2，BA1=2，∠A1BB1=90°，∴BD=DB1=，∴A1D==．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度角的直角三角形性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共12小題）17．（2017春?**月考）已知點(diǎn)P1（a，﹣3）和點(diǎn)P2（3，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，則a+b的值為﹣6．【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出a、b的值，然后相加計(jì)算即可得解．【解答】解：∵點(diǎn)P1（a，﹣3）和點(diǎn)P2（3，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴a=﹣3，b=﹣3，∴a+b=﹣3+（﹣3）=﹣6．故答案為：﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于*軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于*軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．18．（2016?**）如圖，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在*軸上，OB在y軸上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（，0），（0，1），把Rt△AOB沿著AB對(duì)折得到Rt△AO′B，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，）．．【分析】作O′C⊥y軸于點(diǎn)C，首先根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（，0），（0，1）得到∠BAO=30°，從而得出∠OBA=60°，然后根據(jù)Rt△AOB沿著AB對(duì)折得到Rt△AO′B，得到∠CBO′=60°，最后設(shè)BC=*，則OC′=*，利用勾股定理求得*的值即可求解．【解答】解：如圖，作O′C⊥y軸于點(diǎn)C，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（，0），（0，1），∴OB=1，OA=，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=30°，∴∠OBA=60°，∵Rt△AOB沿著AB對(duì)折得到Rt△AO′B，∴∠CBO′=60°，∴設(shè)BC=*，則OC′=*，∴*2+（*）2=1，解得：*=（負(fù)值舍去），∴O′C=，∴OC=OB+BC=1+=，∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，）．故答案為：（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)確定三角形為特殊三角形，難度不大．19．（2017春?儀征市校級(jí)月考）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點(diǎn)A正好與CD上的F點(diǎn)重合，若△FDE的周長(zhǎng)為16，△FCB的周長(zhǎng)為28，則FC的長(zhǎng)為6．【分析】根據(jù)翻折不變性以及平行四邊形的性質(zhì)，由BF+BC+CF=28，BF=AB=DF+FC，BC=AD=ED+EF，進(jìn)行等量代換即可解決．【解答】解：∵△BEF是由△BEA翻折，∴EA=EF，BF=BA，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=AE+DE=EF+ED，AB=BF=DC=DF+CF，∵CF+BC+BF=28，DE+EF+DF=16∴CF+DE+EF+DF+CF=28，∴2CF+16=28，∴CF=6，故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)整體代入的數(shù)學(xué)思想，屬于中考?？碱}型．20．（2017?**模擬）如圖，E為正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，DE=2EC=2，將△BEC沿BE所在的直線對(duì)折得到△BEF，延長(zhǎng)EF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則AM=2．【分析】設(shè)AM=*．由題意BA=BC=CD=BF=3，CE=EF=2，由翻折得到∠BEC=∠BEF=∠EBM，推出MB=ME=*+3，在Rt△BFM中，由BM2=MF2+BF2，可得（*+3）2=32+（*+2）2，解方程即可．【解答】解：設(shè)AM=*．∵DE=2EC=2，∴DE=2，EC=1，∴CD=3，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=3，CD∥AB，∠C=90°∵△BEF是由△BEC翻折得到，∴∠BEC=∠BEF=∠EBM，EC=EF=1，∠EFB=∠C=90°，∴BM=EM=3+*，F(xiàn)M=*+2，在Rt△BFM中，∵BM2=MF2+BF2，∴（*+3）2=32+（*+2）2，∴*=2，∴AM=2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理．21．（2016?**）如圖，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD邊上一點(diǎn)，沿AE折疊△ADE，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，M是AF的中點(diǎn)，連接BM，則sin∠ABM=．【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)得出AF的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出BF的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，沿AE折疊△ADE，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AD=AF=10，∴BF==8，則sin∠ABM===．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理和翻折變換的性質(zhì)，得出BF的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．22．（2016?**）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是1.2．【分析】如圖，延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小．∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是1.2．故答案為1.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、最短問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)P位置，屬于中考常考題型．23．（2016?**市）將矩形ABCD紙片按如圖所示的方式折疊，EF，EG為折痕，試問(wèn)∠AEF+∠BEG=90°．【分析】根據(jù)翻折的定義可以得到各角之間的關(guān)系，從而可以得到∠AEF+∠BEG的度數(shù)，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，∠AEF=∠FEA′，∠BEG=∠GEA′，∵∠AEF+∠FEA′+∠BEG+∠GEA′=180°，∴∠AEF+∠BEG=90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．24．（2017?浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B'、C'處，聯(lián)結(jié)BC'與AC邊交于點(diǎn)D，則=．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的判定得到AB∥B′C′，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB∥B′C′，∴===，∴=，∵∠BAC=∠B′AC，∴==，又=，∴=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．25．（2016?**）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△A′B′C，使點(diǎn)A′落在BC的延長(zhǎng)線上．已知∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=46度．【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ACA′=67°，再由△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，證明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答．【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，即∠BCB′=∠ACA′，∴∠BCB′=67°，∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，故答案為：46．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到△ABC≌△A′B′C．26．（2016?**）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若∠CAE=90°，AB=1，則BD=．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，再根據(jù)勾股定理即可求出BD．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（2016?**）如圖，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，BE平分∠DBC，交DC與點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，若CE=1cm，則BF=2+cm．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BD于點(diǎn)M，則△DEM為等腰直角三角形，根據(jù)角平分線以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)正方形以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出線段BF的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BD于點(diǎn)M，如圖所示．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM為等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=EM=cm．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=2+cm．故答案為：2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出線段BC以及CF的長(zhǎng)度．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合角平分線以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出線段的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．28．（2016?**校級(jí)自主招生）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，4），對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形①、②、③、④、…則三角形⑩的直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為36．【分析】先利用勾股定理得到AB=5，利用圖形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到△OAB每三次旋轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)，并且每一個(gè)循環(huán)向前移動(dòng)了12個(gè)單位，由于10=3×3+1，則可判斷三角形⑩和三角形①的狀態(tài)一樣，且三角形⑩與三角形⑨的直角頂點(diǎn)相同，所以三角形⑩的直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3×12=36．【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵對(duì)△OAB連續(xù)作如圖所示的旋轉(zhuǎn)變換，∴△OAB每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來(lái)的狀態(tài)，并且每三次向前移動(dòng)了3+4+5=12個(gè)單位，∵10=3×3+1，∴三角形⑩和三角形①的狀態(tài)一樣，則三角形⑩與三角形⑨的直角頂點(diǎn)相同，∴三角形⑩的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3×12=36，縱坐標(biāo)為0，∴三角形⑩的直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為36．故答案為36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解決本題的關(guān)鍵是確定△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換后三角形的狀態(tài)的變換規(guī)律．三．解答題（共12小題）29．（2016?江干區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中將△ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B′處，AB′和CD相交于O，求證：OD=OB′．【分析】利用翻折不變性以及平行四邊形的性質(zhì)先證明AB′=CD，再證明OA=OC即可．【解答】證明：∵△ACB′是由△ABC翻折，∴∠BAC=∠CAB′，AB=AB′，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥BC，AB=DC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∵AB′=CD，∴OD=OB′．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性發(fā)現(xiàn)等腰三角形，屬于中考?？碱}型．30．（2016?**）如圖，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值*圍．【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易證得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四邊形CEGF為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形BGEF為菱形；（2）如圖2，當(dāng)G與A重合時(shí)，CE取最大值，由折疊的性質(zhì)得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四邊形CEGD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到CE=CD=AB=3；如圖1，當(dāng)F與D重合時(shí)，CE取最小值，由折疊的性質(zhì)得AE=CE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵圖形翻折后點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，EF為折線，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵圖形翻折后BC與GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四邊形CEGF為平行四邊形，∴四邊形CEGF為菱形；（2）由（1）得四邊形CEGF是菱形，∴CE=CD=AB=3；如圖2，當(dāng)G與A重合時(shí)，CE取最大值，由折疊的性質(zhì)得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，∴CE=5，∴線段CE的取值*圍3≤CE≤5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換﹣折疊問(wèn)題，菱形的判定，線段的最值問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．31．（2016?**校級(jí)自主招生）如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的長(zhǎng)．【分析】（1）由圖形翻折變換的性質(zhì)可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出結(jié)論；（2）連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出結(jié)論；（3）設(shè)AG=*，則EC=*﹣4，CF=*﹣6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的長(zhǎng)，設(shè)NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．【解答】（1）證明：∵△AEB由△AED翻折而成，∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，∵△AFD由△AFG翻折而成，∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）MN2=ND2+DH2，理由：連接NH，∵△ADH由△ABM旋轉(zhuǎn)而成，∴△ABM≌△ADH，∴AM=AH，BM=DH，∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，∵，∴△AMN≌△AHN，∴MN=NH，∴MN2=ND2+DH2；（3）設(shè)AG=BC=*，則EC=*﹣4，CF=*﹣6，在Rt△ECF中，∵CE2+CF2=EF2，即（*﹣4）2+（*﹣6）2=100，*1=12，*2=﹣2（舍去）∴AG=12，∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，∴BD===12，∵BM=3，∴MD=BD﹣BM=12﹣3=9，設(shè)NH=y，在Rt△NHD中，∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9﹣y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換及勾股定理，解答此類題目時(shí)常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為*，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含*的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．32．（2016?**模擬）感知：如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，連結(jié)FC，易證∠GCF=∠GFC．探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并說(shuō)明理由．應(yīng)用：如圖②，若AB=5，BC=6，則△ADG的周長(zhǎng)為16．【分析】探究：由?ABCD及折疊可得∠B+∠ECG=∠AFE+∠ECG=∠AFE+∠EFG=180°，即∠ECG=∠EFG，再根據(jù)EB=EF=EC得∠EFC=ECF，從而可得∠GCF=∠GFC；應(yīng)用：由（1）中∠GCF=∠GFC得GF=GC，AF=AB，根據(jù)△ADG的周長(zhǎng)AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD可得．【解答】解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180°，又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE，又∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠ECG=∠EFG，又∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴EC=BE，∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠GFC；應(yīng)用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴AF=AB=5，由（1）知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC，∴△ADG的周長(zhǎng)AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，故答案為：應(yīng)用、16．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是牢固掌握翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)．33．（2016?**縣一模）如圖，四邊形ABCD表示一*矩形紙片，AB=10，AD=8．E是BC上一點(diǎn)，將△ABE沿折痕AE向上翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處，⊙O內(nèi)切于四邊形ABEF．求：（1）折痕AE的長(zhǎng)；（2）⊙O的半徑．【分析】（1）如圖，運(yùn)用矩形的性質(zhì)、勾股定理首先求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CF的長(zhǎng)，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；設(shè)BE為*，運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于*的方程，求出*；再次運(yùn)用勾股定理求出AE的長(zhǎng)．（2）如圖，作輔助線；首先證明OH=HB；運(yùn)用△AOH∽△AEB，列出關(guān)于半徑r的方程，求出r即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題意知，AF=10，AD=8，根據(jù)勾股定理得：DF=6．∴CF=4．設(shè)BE=*，則EF=*，CE=8﹣*．在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣*）2+42=*2，解得*=5．即BE=5．由勾股定理得：∴AE==5．（2）如圖，連接OH、OG；則∠OHB=∠B=∠OGB=90°，而B(niǎo)H=BG，∴四邊形OHBG為正方形，∴OH=BH；設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=BH=r；∵△AOH∽△AEB，∴=，即=；解得：r=．∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．34．（2017?新城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，將△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△COD，OC交AB于點(diǎn)F，CD分別交AB、OB于點(diǎn)E、H．求證：EF=EH．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠A與∠B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．【解答】證明：∵OA=OB，∠AOB=50°，∴∠A=∠B．∵將△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△COD，∴∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B．在△AOF和△DOH中，，∴△AOF≌△DOH（ASA），∴OF=OH，∵OC=OB，∴FC=BH．在△FCE和△HBE中，，∴△FCE≌△HBE（AAS），∴EF=EH．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOC=∠BOD=30°，OD=OB=OA，∠D=∠B是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的判定與性質(zhì)．35．（2016?日照）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且∠EAF=45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證：（1）EA是∠QED的平分線；（2）EF2=BE2+DF2．【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AQE≌△AFE（SAS），進(jìn)而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】證明：（1）∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠QAE=45°，∴∠QAE=∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分線；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，則EF2=BE2+DF2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，正確得出△AQE≌△AFE（SAS）是解題關(guān)鍵．36．（2016?**市）如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可；（2）根據(jù)∠BAC=45°，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長(zhǎng)，由BD﹣DF求出BF的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．37．（2016?**模擬）如圖，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，求線段B′E的值．【分析】利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，從而得到OE=A′O，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面積求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A′E=2EF，然后根據(jù)B′E=A′B′﹣A′E代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，∴AB==3，∵△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3，∵點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，∴OE=BO=×6=3，∴OE=A′O，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥A′B′于F，S△A′OB′=×3?OF=×3×6，解得OF=，在Rt△EOF中，EF==，∵OE=A′O，OF⊥A′B′，∴A′E=2EF=2×=（等腰三角形三線合一），∴B′E=A′B′﹣A′E=3﹣=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及三角形面積，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．38．（2016?馬山縣二模）如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)．（1）證明：△ABE≌△C1BF；（2）證明：EA1=FC；（3）試判斷四邊形ABC1D的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用全等三角形的判定結(jié)合ASA得出答案；（2）利用全等三角形的性質(zhì)對(duì)邊相等得出答案；（3）首先得出四邊形ABC1D是平行四邊形，進(jìn)而利用菱形的判定得出即可．【解答】（1）證明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得△A1BC1，∴AB=BC1=A1B=BC，∠ABE=∠C1BF，∠A=∠C1=∠A1=∠C，在△ABE和△C1BF中，，∴△ABE≌△C1BF（ASA）；（2）證明：∵△ABE≌△C1BF，∴EB=BF．又∵A1B=CB，∴A1B﹣EB=CB﹣BF，∴EA1=FC；（3）答：四邊形ABC1D是菱形．證明：∵∠A1=∠C=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，∠A1=∠C=∠ABA1=∠CBC1．∴AB∥C1D，AD∥BC1，∴四邊形ABC1D是平行四邊形∵AB=BC1，∴四邊形ABC1D是菱形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．39．（2016?**縣二模）如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE、CF相交于點(diǎn)D．（1）求證：BE=CF；（2）當(dāng)α=90°時(shí)，求四邊形AEDC的面積．【分析】（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則根據(jù)“SAS”證明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；（2）先判斷△ABE為等腰直角三角形得到∠ABE=45°，則AC∥BE，同理可得AE∥CF，于是可證明四邊形AEDC為菱形，AF與BE交于點(diǎn)H，如圖，通過(guò)證明△AHE為等腰直角三角形得到AH=AE=，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算．【解答】（1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到△AEF，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴AB=AC=AE=AF，∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴BE=CF；（2）解：∵α=90°，即∠EAB=∠FAC=90°，∵AE=AB，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，∴∠ABE=∠BAC，∴AC∥BE，同理可得AE∥CF，∵AE=AC，∴四邊形AEDC為菱形，AF與BE交于點(diǎn)H，如圖，∵∠EAF=45°，∴AH平分∠EAB，∴AH⊥BE，∴△AHE為等腰直角三角形，∴AH=AE=，∴四邊形AEDC的面積=AH?DE=×2=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決（1）題的關(guān)鍵是證明△AEB≌△AFC．40．（2016?**二模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在CB的延長(zhǎng)線上，邊AB交邊C′D′于點(diǎn)E．（1）求證：BC=BC′；（2）若AB=2，BC=1，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）連結(jié)AC、AC′，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，即AB⊥CC′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC′=AD′，AD=AD′，證得BC′=AD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=D′E，設(shè)AE=*，則D′E=2﹣*，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連結(jié)AC、AC′，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=90°，即AB⊥CC′，∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，∴AC=AC′，∴BC=BC′；（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，∵BC=BC′，∴BC′=AD′，∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，∴AD=AD′，∴BC′=AD′，在△AD′E與△C′BE中，，∴△AD′E≌△C′BE，∴BE=D′E，設(shè)AE=*，則D′E=2﹣*，在Rt△AD′E中，∠D′=90°，由勾股定理，得*2﹣（2﹣*）2=1，解得*=，∴AE=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．41．（2016?**縣二模）（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等，求∠EAF的度數(shù)．（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN=45°，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN2，ND2，DH2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）在圖①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)AG⊥EF得出△ABE和△AGE是直角三角形，再根據(jù)HL定理得出△ABE≌△AGE，故可得出∠BAE=∠GAE，同理可得出∠GAF=∠DAF，由此可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAM=∠DAH，再根據(jù)SAS定理得出△AMN≌△AHN，故可得出MN=HN．再由∠BAD=90°，AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（3）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為*，則CE=*﹣4，CF=*﹣6，再根據(jù)勾股定理即可得出*的值．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，∠B=∠D=90°，∵AG⊥EF，∴△ABE和△AGE是直角三角形．在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴△ABE≌△AGE（HL），∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=∠BAD=45°．（2）MN2=ND2+DH2．由旋轉(zhuǎn)可知：∠BAM=∠DAH，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN．在△AMN與△AHN中，，∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN=HN．∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．（3）由（1）知，BE=EG=4，DF=FG=6．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為*，則CE=*﹣4，CF=*﹣6．∵CE2+CF2=EF2，∴（*﹣4）2+（*﹣6）2=102．解這個(gè)方程，得*1=12，*2=﹣2（不合題意，舍去）．∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．42．（2016?**二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)．若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，求AE′，BF′的長(zhǎng)；（2）如圖②，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（3）直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時(shí)，分別表示出此時(shí)點(diǎn)E′、D′、F′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長(zhǎng)．（2）運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問(wèn)題；（3）直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時(shí)，α=180°，P與O重合，易求出點(diǎn)E′、D′、F′的坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合，如圖①．∵點(diǎn)A（﹣2，0）點(diǎn)B（0，2），∴OA=OB=2，∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，