江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列培優(yōu)課等差數(shù)列性質(zhì)的綜合問題分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第一冊

培優(yōu)課等差數(shù)列性質(zhì)的綜合問題分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.（多選題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說法正確的是()A.為等差數(shù)列 B.C.的最小值為 D.為單調(diào)遞增數(shù)列2.（多選題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則下列結(jié)論一定正確的是()A. B.的最大值為 C. D.3.（多選題）已知等差數(shù)列的公差，且，的前項(xiàng)和為，若是的最大值，則的可能取值為()A.6 B.7 C.12 D.134.（多選題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，，則下列結(jié)論正確的是()A.B.C.D.設(shè)的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，的最大值為275.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，且.（1）求證：數(shù)列是常數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.B層能力提升練6.古代有這樣一個問題：“今有墻厚22.5尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞長度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞長度與第三天打洞長度相同，問兩鼠幾天能打通墻相逢？”兩鼠相逢最快需要的天數(shù)為()A.4 B.5 C.6 D.77.已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，且它的前項(xiàng)和有最大值，則使得的的最大值為()A.11 B.12 C.21 D.228.（多選題）首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，下列四個命題中正確的是()A.若，則B.若，則使的最大的為15C.若，，則中最大D.若，則9.等差數(shù)列2,5,8,,與4,9,14,,的公共項(xiàng)（具有相同數(shù)值的項(xiàng)）的個數(shù)為.10.對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為{}的二階差分?jǐn)?shù)列，其中（1）若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，試判斷，}是否為等差數(shù)列，請說明理由；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且，對滿足，的任意正整數(shù)，，都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.C層拓展探究練11.設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)，且對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得.這樣的數(shù)列的個數(shù)為.12.將正整數(shù)數(shù)列1,2,3,中凡是被4整除以及被4除余1的項(xiàng)全部刪去,剩下的數(shù)按從小到大的順序排成數(shù)列,,,,再將數(shù)列{}中,凡是下標(biāo)被4整除以及被4除余1的項(xiàng)全部刪去,剩下的項(xiàng)按從小到大的順序排成數(shù)列,,,.證明:每個大于1的奇平方數(shù),都是數(shù)列{}中的兩個相鄰項(xiàng)的和.培優(yōu)課等差數(shù)列性質(zhì)的綜合問題分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.AD2.AC3.AB4.BC5.（1）證明由，得，將上述兩式相減，得，即，所以，則，所以數(shù)列是常數(shù)列.（2）解由（1）可知，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，也符合上式，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.又?jǐn)?shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為.B層能力提升練6.C7.C8.BC[解析]對于,若，則，那么，故錯誤.對于,若，則.又因?yàn)椋郧?項(xiàng)為正，從第9項(xiàng)開始為負(fù)，因?yàn)?，所以使的最大的?5，故正確.對于,若，，則，，則中最大，故正確.對于，若，則，而，不能判斷的正負(fù)情況，故錯誤.故選.9.13410.（1）解因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以是等差?shù)列.設(shè)的公差為，則.若，則，與題意矛盾.若，則當(dāng)時，，與數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，故.由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，所以，.因?yàn)椋?，所以，則當(dāng)時，不等式都成立.當(dāng)時，令，，則，，則因?yàn)?，，所以?dāng)時，，即.綜上，的最大值為2.C層拓展探究練11.5[解析]設(shè)的公差為.由條件知（是某個正整數(shù)），則，即，因此必有，且，則，此時對任意正整數(shù)，，為中的一項(xiàng).因此，僅需考慮使成立的正整數(shù)的個數(shù).2019為兩個素?cái)?shù)3與673之積，則可取，1，3，673，這5個值，對應(yīng)得到5個滿足條件的等差數(shù)列.12.證明易知,,,2,3,，因此,,,,，將中的項(xiàng)及刪去之后,所得到的數(shù)列的通項(xiàng)為,,,1,2