高考數(shù)學二輪復習核心專題講練：三角函數(shù)與解三角形第3講 三角函數(shù)與解三角形解答題 解析版

第3講三角函數(shù)與解三角形解答題目錄第一部分：知識強化第二部分：重難點題型突破突破一：三角函數(shù)單調區(qū)間突破二：三角函數(shù)最值（值域）問題突破三：與三角函數(shù)有關的零點問題角度1：零點個數(shù)問題角度2：零點代數(shù)和問題突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問題突破五：三角形中線問題突破六：三角形角平分線問題突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問題突破八：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）突破九：三角形中邊長的代數(shù)關系突破十：四邊形（多邊形）問題突破十一：三角函數(shù)與解三角形實際應用

第三部分：沖刺重難點特訓第一部分：知識強化1、中線：在中，設是的中點角,,所對的邊分別為，，1.1向量形式：（記憶核心技巧，結論不用記憶）核心技巧：結論：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分線如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，2.1內角平分線定理：核心技巧：或2.2等面積法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;3、三角形面積的計算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).4、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.5、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.6、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結合余弦定理求周長取值范圍；7、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.第二部分：重難點題型突破突破一：三角函數(shù)單調區(qū)間1．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測）已知函數(shù)，其中向量，．(1)求的解析式及對稱中心和單調減區(qū)間；【答案】(1)，對稱中心為，單調減區(qū)間是【詳解】（1）

令，對稱中心又令，所以單調減區(qū)間是2．（2022·寧夏·平羅中學高三期中（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中的圖像與軸的一個交點的橫坐標為.(1)求這個函數(shù)的解析式，并寫出它的遞增區(qū)間；【答案】(1)，【詳解】（1）由圖知，，，，，由得，故的遞增區(qū)間是3．（2022·陜西·渭南市瑞泉中學高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；【答案】(1)見詳解【詳解】（1），所以的最小正周期．令，，解得，，所以的單調遞減區(qū)間為，．4．（2022·河南·汝陽縣一高高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)求的最小值，并寫出此時x的取值集合；(2)若，求的單調遞減區(qū)間．【答案】(1)，此時x的取值集合為；(2)的單調遞減區(qū)間為和【詳解】（1）.當，即時，取得最小值，且，所以，此時x的取值集合為；（2）由，得，所以，所以的單調遞減區(qū)間為，又因為，所以的單調遞減區(qū)間為和5．（2022·浙江·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期以及在上的單調遞增區(qū)間；【答案】(1)，解：∵，∴的最小正周期為．∵，∴，∴，解得，所以的最小正周期為，在上的單調遞增區(qū)間為．6．（2022·山東濟寧·高一期中）已知函數(shù)(1)求的定義域和最小正周期；(2)求的單調區(qū)間．【答案】(1)定義域為；最小正周期為(2)單調遞減區(qū)間為(1)要使函數(shù)有意義，只需，解得，所以函數(shù)的定義域為．函數(shù)的最小正周期為．(2)由于正切函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，對于函數(shù)令，解得，即在上單調遞增而函數(shù)與單調性相反故函數(shù)單調遞減區(qū)間為突破二：三角函數(shù)最值（值域）問題1．（2022·全國·武功縣普集高級中學模擬預測（理））已知，．(1)若，且，時，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；(2)若，函數(shù)，求的最小值．【答案】(1)(2)的最小值為.【詳解】（1）當時，，若與的夾角為鈍角，則且與不能共線，，所以，又，所以，所以，當與共線時，，故，所以與不共線時，.綜上：.（2）令，則而函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時有最小值.故的最小值為.2．（2022·湖南·模擬預測）函數(shù)的初相為，且對任意的實數(shù)x都成立．(1)求的最小值；(2)在（1）的條件下，函數(shù)左平移個單位后，縱坐標不變，橫坐標伸長為原米的4倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的單調遞增區(qū)間以及最小值．【答案】(1)2(2)在上的單調遞增區(qū)間為，最小值為【詳解】（1）∵函數(shù)的初相為，∴，∴，．又對任意的實數(shù)x都成立，則有恒成立，，，即，又，∴當時，有最小值為2．（2）由（1）可知，函數(shù)左平移個單位后，得到的函數(shù)縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的4倍，得到．，整理可得，∴在上的單調遞增區(qū)間為．由，可得，∴當時，函數(shù)取得最小值．3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，函數(shù)．(1)若，求的面積；(2)當時，取最大值，求在上的值域.【答案】(1)若，的面積為，若，的面積為；(2)(1)因為，所以，即，或，由正弦定理可得,又，所以，若則所以，，當則所以，，(2)．因為在處取得最大值，所以，即．因為，所以，所以．因為，所以，所以，在上的值域為.4．（2022·浙江·杭州高級中學模擬預測）設.(1)若，求使函數(shù)為偶函數(shù)；(2)在（1）成立的條件下，當，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，因為，所以(2)在（1）成立的條件下，，因為，所以，所以所以5．（2022·上?！とA師大二附中模擬預測）已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求實數(shù)的值.【答案】(1)，；(2).【詳解】(1)∵由，得，解集為，(2)∵，∴，，①當時，當且僅當時，取得最小值，這與已知不相符；②當時，當且僅當時，取最小值，由已知得，解得；③當時，當且僅當時，取得最小值，由已知得，解得，這與相矛盾.綜上所述，.突破三：與三角函數(shù)有關的零點問題角度1：零點個數(shù)問題1．（2022·廣東·肇慶市外國語學校模擬預測）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域;(2)函數(shù)在上有10個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，所以，的值域為.（2）解：令，即，因為，所以，因為函數(shù)在上有10個零點，所以方程在上有10個實數(shù)根，所以，解得．所以，的取值范圍為.2．（2022·北京海淀·一模）設函數(shù).已知存在使得同時滿足下列三個條件中的兩個：條件①：；條件②：的最大值為；條件③：是圖象的一條對稱軸.(1)請寫出滿足的兩個條件，并說明理由；(2)若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.【答案】(1)②③，理由見解析(2)（1）函數(shù)，其中，對于條件①：若，則，對于條件②：的最大值為，則，得，①②不能同時成立，當時，，即不滿足條件③；當時，，，即滿足條件③；當時，，，即不滿足條件③；綜上可得，存在滿足條件②③.（2）由（1）得，當時，，由于在區(qū)間上有且只有一個零點，則，解得，即的取值范圍是.3．（2022·陜西·寶雞中學高三階段練習（理））已知向量，函數(shù)(1)求函數(shù)的單調增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)或【詳解】（1），令，解得.所以函數(shù)的單調增區(qū)間為.（2）由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點.即在區(qū)間上有且僅有兩個零點，直線與的圖像上有且僅有兩個交點，當，，設函數(shù)，在區(qū)間上單調遞增，，在區(qū)間上單調遞減，，在區(qū)間上單調遞增，，所以或，即或.4．（2022·江西·崇仁縣第二中學高三階段練習（文））已知是函數(shù)的兩個相鄰的對稱中心的點的橫坐標.(1)若對任意，都有，求的取值范圍；(2)若關于的方程在區(qū)間上有兩個不同的根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），因為是函數(shù)相鄰兩個對稱中心的橫坐標，所以，解得，，若對任意，都有，只需，由可得，故，所以，因此，即，解得或，因此；（2）關于的方程，化簡后得，，，作出圖象，如圖，由圖可知，當，即時，有兩根.5．（2022·北京市第十一中學實驗學校高三階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間[，m]上有且僅有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，得，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.（2）令，即，則，即，，當時，，當時，，當時，，當時，，因為函數(shù)在區(qū)間[，m]上有且僅有三個零點，所以，故m的取值范圍是.角度2：零點代數(shù)和問題1．（2022·遼寧·大連二十四中高三階段練習）已知函數(shù)，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差，_________，從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中．①函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱且；②函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，函數(shù)存在兩個不同零點，求的值．【答案】(1)(2)（1）又函數(shù)的最小正周期為，，選①，將函數(shù)向左平移個單位得到的圖象關于軸對稱，所得函數(shù)為，由于函數(shù)的圖象關于軸對稱，可得，解得，，所以，的可能取值為、，若，則，，符合題意，若，則，，不符合題意，所以，；選②，因為函數(shù)的一條對稱軸，則，解得，，所以，的可能取值為、，若，則，則，符合題意，若，則，則，不符合題意，所以，；（2）令，此時函數(shù)存在兩個不同零點等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點.當時，函數(shù)取到最大值.∴，即，∴.2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若方程在上有三個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍及的值．【答案】(1)(2)，（1）由圖示得：，又，所以，所以，所以，又因為過點，所以，即，所以，解得，又，所以，所以；（2）由已知得，當時，，令，則，令，則函數(shù)的圖象如下圖所示，且，，，由圖象得有三個不同的實數(shù)根，則，所以，即，所以，所以，故．3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)所在勻上有兩個不同的零點，，求實數(shù)的取值范圍，并計算的值．【答案】（1）最小正周期為，單調遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z；（2）m∈[，2），tan（x1′+x2′）＝．【詳解】函數(shù)f（x）＝4sin（x）cosx．化簡可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x＝sin2x（cos2x）＝sin2xcos2x＝2sin（2x）（1）函數(shù)的最小正周期T，由2x時單調遞增，解得：∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z．（2）函數(shù)g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]勻上有兩個不同的零點x1′，x2′，轉化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y＝m有兩個交點令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]可得f（x）＝sinu的圖象（如圖）．從圖可知：m在[，2），函數(shù)f（x）與函數(shù)y＝m有兩個交點，其橫坐標分別為x1′，x2′．故得實數(shù)m的取值范圍是m∈[，2），由題意可知x1′，x2′是關于對稱軸是對稱的：那么函數(shù)在[0，]的對稱軸x∴x1′+x2′2那么：tan（x1′+x2′）＝tan4．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)f(x)＝sinsinx－cos2x＋（1）求f(x)的最大值及取得最大值時x的值；（2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)，最大值為1；（2）.【詳解】（1）f(x)＝cosxsinx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin.當2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.（2）由（1）知，當x∈(0，π)時，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝π.又方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2.所以x1＋x2＝π，則x1＝π－x2，所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，又f(x2)＝sin＝，故cos(x1－x2)＝.5．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，當時，求函數(shù)的值域.（3）對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在，上的根從小到依次為，試確定n的值，并求的值.【答案】（1）；（2）；（3），.【詳解】（1）由題意，函數(shù)因為函數(shù)圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得.故（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，可得的圖像.再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖像.當時，，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.（3）由方程，即，即，因為，可得，設，其中，即，結合正弦函數(shù)的圖像，可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，即解得所以.突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問題1．（2022·北京市昌平區(qū)第二中學高三期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為所以的最小正周期為（2）“對恒成立”等價于“”因為所以當，即時的最大值為.所以，所以實數(shù)的取值范圍為.2．（2022·北京·北師大實驗中學高三期中）已知函數(shù).(1)求的值并求的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(2)求證：當時，恒有.【答案】(1)，最小正周期為，單調遞增區(qū)間為，；(2)證明見解析.【詳解】（1）因為，化簡可得所以，所以，的最小正周期.令，，解得，，∴單調遞增區(qū)間為，.（2）由，知：，則有的值域為，∴，即當時，，所以當時，恒有.3．（2022·北京·清華附中高三階段練習）已知函數(shù)，且．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(3)若對于任意的，總有，直接寫出m的最大值．【答案】(1)；(2)函數(shù)的最小正周期為，單調遞增區(qū)間為，；(3)m的最大值為.（1）因為，，所以，所以，所以，所以，（2）由(1)，化簡得，所以，所以函數(shù)的最小正周期，由，，得，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，；（3）由，可得，所以，所以，，化簡可得由對于任意的，總有可得的最大值為.4．（2022·山西·平遙縣第二中學校高三階段練習）已知點，是函數(shù)圖象上的任意兩點，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=對稱，且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，當時，的最小值為．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；(3)當x∈時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）由知，函數(shù)在處的函數(shù)值一個是最大值，另一個是最小值，又的最小值為，于是得函數(shù)的周期T=，即=，則，有，又函數(shù)f(x)的圖象關于直線對稱，因此，而，于是有，所以函數(shù)f(x)的解析式是．（2）由（1）知，，由，得，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為．（3）當時，，有，則，即有，因此，顯然，則當時，取得最大值，從而得，所以實數(shù)m的取值范圍是.5．（2022·河南省駐馬店高級中學模擬預測（理））已知函數(shù)，對任意都有．(1)求的解析式；(2)對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)（1）因為對任意都有，所以是函數(shù)的一條對稱軸，，解得，又，所以，.（2）因為對任意，不等式，所以，因為，，所以，所以.突破五：三角形中線問題1．（2022·廣東·深圳中學高二期中）如圖，在中，已知，，，BC邊上的中線為AM．(1)求的值；(2)求．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由余弦定理，得，即，．在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由與互補，則，解得．（2）在中，由余弦定理，得，因為，所以，

所以．2．（湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2022-2023學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）在中，角所對的邊分別為，且，的中線長為．(1)證明：；(2)求的面積最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）證明：左邊，∴，又，∴（2）解：法一：（角化邊）如圖，設為中點，設，，因為，所以，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以，，所以，當，即時，有最大值，所以，的面積最大值為.法二：（邊化角）由，，過點作，垂足為，所以，所以，，即，又因為，即，所以，所以所以的面積，當且僅當時，等號成立，所以，的面積最大值為.3．（2022·廣東·韶關市張九齡紀念中學高二期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求角B；(2)若的面積為，求BC邊上中線的長．【答案】(1);(2).【詳解】（1），，或或（舍）（2），即，得由正弦定理得，設邊的中點為，連接，如下圖,即，得.4．（2022·安徽·合肥一六八中學高三階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且向量與向量共線．(1)求角；(2)請從條件①、條件②條件③這三個條件選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，并求AC邊上中線的長．條件①：，；條件②：，；條件③，．【答案】(1)(2)選③；【詳解】（1）由向量與向量共線得：∴又因為，∴，∴，又，∴；（2）由①可知：所以，或，不唯一確定（舍去）由②可知：又，所以，即或，不唯一確定（舍去）由③可知：，，，∴5．（2022·山西太原·高三期中）已知函數(shù)．(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)記分別為內角的對邊，且，的中線，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，解得，的單調遞增區(qū)間為；（2）因為，可得，因為，所以即，由及可得，，所以所以即，當且僅當時取到等號，所以，故面積的最大值為.6．（2022·新疆·兵團第一師高級中學高三階段練習（理））已知中，內角，，所對的邊分別為，，，且(1)求；(2)若邊上的中線長為，，求的面積．【答案】(1)(2)（1）由已知得：，由正弦定理可化為：，即，由余弦定理知，又，故．（2）設邊上的中線為，則所以，即，所以，即①又，由余弦定理得，即②由①②得，所以．7．（2022·福建泉州·高一期末）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答．三個內角的對應邊分別為，且滿足．(1)求角B的大小；(2)若D為邊AC的中點，且，求中線BD長．注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)(1)若選①：可化為．由正弦定理，可得，因為，所以，因為，所以．若選②：由正弦定理，可得移項得即，又因為，所以，故．若選③：由正弦定理，可得，由余弦定理，可得．因為，所以(2)由余弦定理，可得，即因為D為邊AC的中點，所以，在中，由余弦定理，可得．在中，由余弦定理，可得，因為，所以，即，解得突破六：三角形角平分線問題1．（2022·全國·高三專題練習）1.已知，，分別是的內角，，所對的邊，，再從下面條件①與②中任選個作為已知條件，完成以下問題．(1)證明：為銳角三角形；(2)若，為的內角平分線，且與邊交于，求的長．①；②．【答案】(1)證明見解析(2)選擇①②結果相同，(1)方案一：選條件①由正弦定理，又，，，令，（），從而，由，解得：或（舍去）從而最大，又為銳角三角形方案二：選條件②由正弦定理，又，，，令，（），從而，解得：或（舍去）從而最大，又為銳角三角形(2)方案一：選條件①由，∴又由第一問可知：，∴，法一：由，∴，由面積公式得：由，從而，解得：．法二：，解得：由角平分線定理，，從而在中，由余弦定理，，解得：方案二：選條件②由，又由第一問可知：，，，由，解得：或（舍去）法一：故，由，∴，由面積公式得：由，從而，解得：．法二：由角平分線定理，，從而在中，由余弦定理，，解得：2．（2021·遼寧朝陽·高三開學考試）已知三角形的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，角的角平分線交于點，，求的長.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，即，因為，所以，故，因為，所以.（2）由（1）可知又；所以，，可得，所以，在中，由余弦定理可得，即，解得.3．（2019·安徽·二模（理））在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，；.（1）求角的大??；（2）在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若，，，求三角形的內角平分線的長.【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，在銳角三角形中，，即，，所以，所以，因為為銳角，所以；（2）因為，所以.在三角形中，由余弦定理得，，，即，解得，或.當時，，所以此時角為鈍角，不符合三角形為銳角三角形，所以.由正弦定理得，，所以，所以，，因為為內角平分線，所以，所以，所以.4．（2022·江蘇連云港·模擬預測）在△中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且，．(1)證明：；(2)從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求△的面積．條件①：△的中線；條件②：△的角平分線．【答案】(1)證明見解析(2)條件①，條件②(1)因為，由余弦定理可得：，又，設，則，解得或（舍），故；(2)由，可得，又，故，選①：△的中線，在△中解得或（舍），故．又，

則；選②：在△中，由正弦定理得，在△中，由正弦定理得．又，，得，由，得，

在△中，解得，又，

所以；綜上，條件①，條件②.5．（2022·全國·高三專題練習）在中，，．(1)求的大??；(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出的長．①；②截得角的角平分線的線段長為1；③面積為．【答案】(1)；(2)若選②，；若選③，(1)由正弦定理得，又，可得，即，又，故，又，故由可得，即，故，.(2)若選①，由（1）知，和矛盾，不存在；若選②，由為角的角平分線可知：，又，故，即，又，故；此時存在且唯一確定；若選③，，又，，解得；此時存在且唯一確定.突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問題1．（2022·云南師大附中高三階段練習）的內角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記，，的面積為，，，已知，．(1)求角B；(2)在①；②；③這三個條件中任選一個，判斷三角形是否存在？若存在，求出三角形面積，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）設內切圓半徑為r，因為，所以，化簡得：，所以，因為，所以．（2）若選擇①，因為，所以，由（1）知，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，面積．若選擇②，，所以，由（1）知，，所以，整理得，b無解，故不存在．若選擇③，因為，所以．由（1）知，，所以，整理得，解得或，經(jīng)檢驗，或，滿足題意，所以存在兩個．當時，的面積，當時，的面積．2．（2022·海南·高三階段練習）已知的內角的對邊分別為，.(1)求A；(2)若，且，求的面積.【答案】(1).(2).【詳解】（1）根據(jù)三角形面積公式有,因為，所以，得，，不適合該式，所以，由，得.（2）由題意，由余弦定理可得，可得，所以由可得得，于是，所以的面積.3．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習（理））已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若的外接圓半徑為，求面積的最大值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因為，∴，∴，得，因為，所以，∴，又，故，（2）由正弦定理得，即，解得，又由余弦定理得：，即，又因為，所以，當且僅當時取等號，，即的面積的最大值為4．（2022·河南·汝陽縣一高高三階段練習（理））已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．(1)求角C的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由以及，可得，即，即，即，即，由于，故，又，故，故或，解得或（舍去），故.（2）由正弦定理得，即，．所以的面積，．因為為銳角三角形，所以，所以，所以，故面積的取值范圍是．5．（2022·浙江杭州·高三期中）銳角中，已知．(1)求角B；(2)若，求的面積S的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵∴

由銳角，可知．（2）由（1）知，，，則又，，則由正弦定理知，，則，則∵，∴又，則，∴突破八：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）1．（2022·全國·高三專題練習）在中，已知．(1)若，求．(2)若，求．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由余弦定理得，所以.（2）依題意，由正弦定理得，由于，解得，，所以為銳角，所以，由余弦定理得，而，所以，解得，當時，，.當時，，.2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）在中，角的對邊分別為已知.(1)求角的大小；(2)邊上有一點，滿足，且，求周長的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得：...（2），化簡得：周長令，即又由復合函數(shù)單調性知在時單調遞增當時，.即的周長最小值為.3．（2022·山東煙臺·高三期中）在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到下面的橫線上，并給出解答．問題：已知中，角、、的對邊分別為、、，是邊的中點，，且______．(1)求的值；(2)若的平分線交于點，求的周長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：選擇①：設，則，在中，，在中，，∵，∴，即，所以，故．選擇②：由正弦定理得，，∵，∴，∴，即，于是，∴，設，，在中，，即（i），在中，，即（ii），聯(lián)立（i）（ii）解得，，，即，．（2）解：由題意得，，∴，∴，又∵，∴，∴故的周長為．4．（2022·廣東江門·高三階段練習）在中，內角的對邊長分別為，設為的面積，滿足.(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，其外接圓半徑為，求周長的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為中，面積為，又，，則，所以，又，所以.（2）若為銳角三角形，由（1）知，且外接圓的半徑為，由正弦定理得，可得，由正弦定理得，所以；因為，所以，又為銳角三角形，所以，且，又，則，所以，故；所以，則，所以周長的取值范圍是.5．（2022·浙江浙江·高三期中）在中，內角所對的邊分別為,已知．(1)求的值；(2)若的面積為，求周長的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，，因為，解得．所以．（2）由可知，．由的面積為，得，故．所以，即．（等號成立當且僅當）又（等號成立當且僅當）所以．故周長（等號成立當且僅當）．因此周長的最小值為．6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習）在①；②；③；在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．在銳角中，內角、、，的對邊分別是、、，且______(1)求角的大小；(2)若，求周長的范圍．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)（1）解：選①，由可得，，則，可得，；選②，由可得，即，即，，則，故，；選③，由及正弦定理可得，、，則，所以，，故，，，因此，.（2）解：由正弦定理可得，則，，，因為為銳角三角形，則，可得，所以，，則，故.突破九：三角形中邊長的代數(shù)關系1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三階段練習）在中，，，分別為內角，，的對邊，的面積．(1)若，求的值；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).（1）的面積，有，由余弦定理，，得，即，已知，由正弦定理，有，由，∴即，中，∴，，則，∴，令，則有，解得，由正弦定理，.（2）由（1）有：，為的內角，當時，有最大值.2．（2022·江蘇·南京市第十三中學高三階段練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)記的面積為，且的外接圓面積為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（1）由正弦定理，，故，因為，故，同理可得，，故，，即，因為，故，解得；（2）因為的外接圓面積為，故的外接圓半徑為，由正弦定理，；由余弦定理，，所以.（*），所以將（*）式代入，可得因為，所以由（*）式可得，即（當且僅當時等號成立），故，所以取值范圍為3．（2022·重慶·西南大學附中高三階段練習）記的內角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求；(2)記的面積為，求的最大值．【答案】(1)(2)的最大值為【詳解】（1）解：因為，由平面向量數(shù)量積的定義可得，即，整理可得，由正弦定理可得.（2）解：，由余弦定理可得，所以，，令，即，可得，為銳角，且，所以，，解得，此時，當時，取得最大值.故的最大值為.4．（2022·江蘇·南京師大蘇州實驗學校高三階段練習）在中，角A，B，C成等差數(shù)列，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．(1)若，判斷的形狀；(2)若不是鈍角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)為直角三角形.(2)（1）因為角A，B，C成等差數(shù)列，又，，即，，由余弦定理得：，由正弦定理得：，即，，即又，所以為直角三角形.（2），則由不是鈍角三角形，知，由正弦定理知當時，，當時，，，，，，綜上可知，的取值范圍時5．（2022·遼寧·鞍山一中二模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知(1)求角A；(2)若為銳角三角形，且的面積為S，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以，所以，又，所以，因為，所以．（2）由（1）可知，．則．因為銳角三角形，所以，整理得．因為，所以．令，則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，故的取值范圍為.6．（2022·河南·高三階段練習（理））在銳角中，內角所對的邊分別為，且(1)求；(2)若的外接圓的半徑為1，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（1）解：因為，所以，可得，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，可得．（2）解：設外接圓的半徑為，依題意，由正弦定理，所以，，因為，所以，因為是銳角三角形，所以，，可得，所以，因為，所以，所以，則，即.突破十：四邊形（多邊形）問題1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點，曲線CMD上任一點到O距離相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q關于OM對稱，MO⊥AB；(1)若點P與點C重合，求∠POB的大小；(2)P在何位置，求五邊形面積S的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）點P與點C重合，由題意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，由余弦定理可得，所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得，所以，解得，為銳角，所以∠POB的大小為.（2）如圖，連接QA，PB，OQ，OP，∵曲線CMD上任意一點到O距離相等，∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，P，Q關于OM對稱，設，，則，則五邊形的面積，其中，當時，五邊形的面積取得最大值.2．（2022·江西贛州·高三期中（理））“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設霍爾頓在一塊平面四邊形的麥田里成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，都為一個定值，請你證明霍爾頓的結論，并求出這個定值；(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關關系，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值．【答案】(1)證明見解析，；(2).【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，即，在中，，即，因此，即，所以．（2）顯然，，于是得，由（1）知，因此，在中，，在中，，則，由，得，即有，從而當時，，所以的最大值是．3．（2022·山西忻州·高三階段練習）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：連接，因為，，故為等邊三角形，，，則，由正弦定理得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，四邊形周長的最大值為.4．（2022·廣東·深圳中學高三階段練習）如圖，在平面四邊形中，，，．(1)若，求．(2)若，求．【答案】(1)(2)．（1）由已知，所以；（2）設，則，，，由正弦定理得，，，，，是銳角，，故解得，由正弦定理，所以．5．（2022·遼寧·朝陽市第一高級中學高三階段練習）如圖，在平面凹四邊形中，，，.(1)若且，求凹四邊形的面積；(2)若，求凹四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)（1）解：如圖，連接，在中，由正弦定理得，所以，同理可得，在中，有，因為，所以，即，又，都是銳角，所以.（也可由點向，作垂線，證明是角平分線）在中，由余弦定理得，即，解得，所以凹四邊形的面積.（2）解：如圖，連接，在中，由余弦定理得，故.在中，設，，因為所以，由余弦定理得，所以，即，當且僅當時等號成立，此時顯然點在的內部，所以.（不寫取等條件扣1分）又，所以凹四邊形的面積的最小值.6．（2022·湖南省臨澧縣第一中學高三階段練習）已知在四邊形中，，，且.(1)證明：；(2)若，求四邊形的面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在中，，在中，，因為，所以，因為，所以.因為，所以，因為，，，所以，即，所以，所以.（2）由（1）可設，則，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因為，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以四邊形的面積.突破十一：三角函數(shù)與解三角形實際應用

1．（2022·山東省實驗中學模擬預測）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，測得山頂P位于北偏東60°方向上，此時測得山頂P的仰角60°，若山高為2千米．(1)船的航行速度是每小時多少千米？(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處，問此時山頂位于D處的南偏東什么方向？【答案】（1）船的航行速度是每小時6(＋1)千米．（2）山頂位于D處南偏東.【詳解】(1)在△BCP中，tan∠PBC＝?BC＝2.在△ABC中，由正弦定理得：＝?＝，所以AB＝2(＋1)，船的航行速度是每小時6(＋1)千米．(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝，在△BCD中，由正弦定理得：＝?sin∠CDB＝，∠CDB所以，∠CDB＝所以，山頂位于D處南偏東.2．（2022·上海市青浦高級中學模擬預測）釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領土，如圖：點A、B、C分別表示釣魚島、南小島、黃尾嶼，點C在點A的北偏東47°方向，點B在點C的南偏西36°方向，點B在點A的南偏東79°方向，且A、B兩點的距離約為3海里.（1）求A、C兩點間的距離；（精確到0.01）（2）某一時刻，我國一漁船在A點處因故障拋錨發(fā)出求救信號.一艘R國艦艇正從點C正東10海里的點P處以18海里/小時的速度接近漁船，其航線為PCA（直線行進），而我東海某漁政船正位于點A南偏西60°方向20海里的點Q處，收到信號后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點M處，再折向點A直線航行，航速為22海里/小時.漁政船能否先于R國艦艇趕到進行救助？說明理由．【答案】(1)14.25海里；（2）漁政船能先于R國艦艇趕到進行救助．試題解析：（1）求得，由海里.（2）R國艦艇的到達時間為：小時.在中，得海里，所以漁政船的到達時間為：小時.因為，所以漁政船先到.答：漁政船能先于R國艦艇趕到進行救助.

3．（2022·上海市實驗學校模擬預測）如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，其中，為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會決定在直線海岸和上分別修建觀光長廊和AC，其中是寬長廊，造價是元/米，是窄長廊，造價是元/米，兩段長廊的總造價為120萬元，同時在線段上靠近點的三等分點處建一個觀光平臺，并建水上直線通道（平臺大小忽略不計），水上通道的造價是元/米．(1)若規(guī)劃在三角形區(qū)域內開發(fā)水上游樂項目，要求的面積最大，那么和的長度分別為多少米？(2)在(1)的條件下，建直線通道還需要多少錢？【答案】（1）和AC的長度分別為750米和1500米（2）萬元試題解析：（1）設長為米，長為米，依題意得，即，

=當且僅當，即時等號成立，所以當?shù)拿娣e最大時，和AC的長度分別為750米和1500米（2）在(1)的條件下，因為．由

得

，

元所以，建水上通道還需要萬元．

解法二：在中，

在中，

在中，=

元所以，建水上通道還需要萬元．

解法三：以A為原點，以AB為軸建立平面直角坐標系，則，,即，設由，求得，所以

所以，元所以，建水上通道還需要萬元．4．（2022·湖北孝感·高三階段練習）如圖，某地出土一塊三角形石器，其一角已破損．為了復原該三角形石器，現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：，，，．（參考數(shù)據(jù)：?。?1)求三角形石器另外兩邊的長；(2)求D，E兩點之問的距離．【答案】(1);(2)（1）如圖，延長交于點C,因為，所以，故,即另外兩邊的長皆為.（2）由題意得,，故，故D，E兩點之問的距離為.5．（2022·四川省綿陽南山中學高三階段練習（理））如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準備在河岸一側建造一個觀景臺，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長度均超過3千米），在兩條公路，上分別設立游客上下點，，從觀景臺到，建造兩條觀光線路，，測得千米，千米.(1)求線段的長度；(2)若，求兩條觀光線路與所圍成的面積的最大值.【答案】(1)3千米(2)平方千米（1）在中，由余弦定理得，，所以，所以線段的長度為3千米.（2）設，因為，所以，在中，由正弦定理得，，所以，，因此，因為，所以.所以當，即時，所圍成的面積的最大值為.所以兩條觀光線路與所圍成的面積的最大值為平方千米．6．（2022·安徽·肥東縣綜合高中高三階段練習）現(xiàn)代傳媒大廈是我市最高的標志性建筑.某學習小組要完成兩個實習作業(yè)：驗證百度地圖測距的正確性及測算傳媒大廈的高度.如圖（1）.龍城大道沿線的水平路面上有兩點A.B其中指向正西方向，首先利用百度地圖測距功能測出AB長度為2km，接著在飛龍路沿線選定水平路面上可直接測距的C.D兩點，測得，學習小組根據(jù)上述條件計算出CD長度，并將其與CD的實際長度2.84km進行比較，若誤差介于-20米~20米之間，則認為百度地圖測距是正確的.(1)通過計算說明百度地圖測距是否正確？（）(2)如圖（2），小組在A處測得現(xiàn)代傳媒大廈樓頂M在西偏北方向上，且仰角，在B處測得樓頂M在西偏北方向上，通過計算得，，若百度地圖測出的AB=2km是準確的，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)測算出傳媒大廈的高度（精確到1米）【答案】(1)答案見解析；(2)336米.【詳解】（1）設，等腰中，，在中，，，，可得.由正弦定理得，解得；在中，由余弦定理得，∵，∴，∵，∴百度地圖測距是準確的.（2）△ABN中，由正弦定理可得,設，，△ABN中由余弦定理可得，，，由，所以，，中，，答：測算出傳媒大廈高度約為336米.第三部分：沖刺重難點特訓一、解答題1．（2022·浙江紹興·一模）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，求的周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，因為，故；（2），而，即，故或，由，得或（舍去），由正弦定理得，故，，周長，為銳角三角形，則，，.2．（2022·四川省綿陽南山中學模擬預測（理））已知相鄰兩條對稱軸之間的距離為．(1)求的值及函數(shù)的單調遞減區(qū)間；(2)已知，，求的值．【答案】(1)，單調遞減區(qū)間：(2)（1），∵相鄰兩條對稱軸之間的距離為，∴，∴，∴；由，解得，∴的單調遞減區(qū)間為；（2）由（1）知，∵，∴，∴，∴，∴，．3．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)若銳角中角A、，所對的邊分別為、、，且，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)．（1），所以函數(shù)的最小正周期，又由，所以函數(shù)的增區(qū)間為；（2），則,由于銳角中角，，，三角形是銳角三角形，，，得，，故，，即．4．（2022·全國·模擬預測）銳角的內角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)（1）因為，所以，因為是銳角三角形，所以，即，故，所以.所以.（2）由正弦定理得，因為，所以，即.故的取值范圍是.5．（2022·遼寧·東北育才雙語學校一模）已知函數(shù)（，）.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個合理條件作為已知，條件①：的最大值為1；條件②：的一條對稱軸是直線；條件③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.求：(1)求函數(shù)的解析式；并求的單調遞增區(qū)間、對稱中心坐標；(2)若將函數(shù)圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移單位，得到函?shù)的圖象，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值.【答案】(1)；（）；（）(2)（1），當選條件①時，，解得；當選條件②時，，顯然條件②不合理；當選條件③時，，即，解得；綜上所述，條件①③能確定函數(shù)解析式，且；令，得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）；令，得，，所以函數(shù)的對稱中心坐標為，；（2）將函數(shù)圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖象，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，即；因為，所以，因為